有限元课件ch5等参元单元.ppt

1、5.1 四结点四边形等参数单元PLANE42,1、 等参数单元的概念 四结点矩形单元难以应用于斜线边界。而四结点任意四边形单元容易适应这种边界，但采用整体坐标表示的位移函数将不能满足位移协调条件，并且在计算k、pe时不容易确定积分的上、下限。 为了解决这个矛盾，可以通过坐标变换将xy坐标系下的任意四边形单元变换成另一个坐标系下的矩形单元。这样，矩形单元位移函数式 就能用于下的基本单元。,2.5.5 坐标变换,通过进行坐标变换，使(，)坐标系中形状简单的母单元，在(x，y，z)坐标系中变换为具有曲线(面)边界的形状复杂的单元，变换后的单元称为子单元。子单元在几何上可以适应各种实际结构的复杂外形。

2、经过这样处理，单元具有双重特性：一方面，子单元的几何特征、荷载等等，都来自实际结构，充分反映了实际情况，另一方面，大量计算工作是在母单元内进行的，由于它的形状简单而且规则，计算比较方便，并便于循环，特别有利于在电子计算机上进行计算。因此兼有两方面的优点。,平面坐标变换,二维线性单元,坐标变换公式为,直线24的方程,形心坐标,子单元的4条边都是二次曲线，局部坐标系（，）是曲线坐标,空间坐标变换,经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线，原来的平面将变成空间曲面。 母单元正六面体，将变为具有曲棱、曲面的六面体子单元。,例 相邻单元公共边连续性验证,选择坐标变换式：,式中i、i是结点i的局部坐标

3、,通过这一变换，两单元的点具有一一对应的关系。对于变换后的基本单元，取位移模式：,单元的位移模式和坐标变换式采用等同的形函数（阶次相等），同时用以规定单元形状的结点数等于用以规定单元位移的结点数，这种单元称为等参数单元。,2、单元的特性分析,采用类似四结点矩形单元的特性分析，可以建立单元应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵、结点力向等的计算公式。但要将对整体坐标x，y的导数计算和积分计算转换为对局部坐标，的微分和积分计算。 单元应变：,由于Ni是，的函数， ，是x，y的函数，根据复合求导规则，有：,矩阵表示：,式中J称为雅可比矩阵： 由上式可得：,应力矩阵：,单元刚度矩阵是一个88的矩阵 ，仍为,由于

4、B是用局部坐标系、给出，因此有：,3、等效结点力计算,（1）体积力：设单元的体积力为(pvx，pvy),则,（2）表面力：设单元的某边（如=1）上作用有表面力（psx，psy） ，则,5.2 八结点四边形等参数单元,四结点四边形等参数单元仍然不够理想。原因是：（1）实际单元为直线边界，不能准确拟合物体的曲线边界；（2）位移模式的阶次还不够高，影响计算精度。为此，下面介绍一种精度较高、应用广泛的八结点四边形形等参数单元。其实际单元和基本单元如下图所示。,1、基本单元的位移模式,采用形函数表示：,2、坐标变换式,仿照位移模式，将坐标变换式取为,该坐标变换式将平面上的正方形映射为xy平面上的曲边四边

5、形。xy平面上每一条边都是一条二次曲线，它由对应边上3个结点的坐标唯一确定。因此，单元是协调的，同时也可证明，单元的位移函数反映刚体位移和常应变，具有完备性。满足收敛性要求。,3、单元分析,单元特性分析与结点力计算过程与上节四结点等参数单元完全相同，具体公式形式也一致。区别仅在于两种单元有关矩阵的维数不同。见下表：,单元应变,式中：,由于Ni是，的函数， ，是x，y的函数，根据复合求导规则，有：,矩阵表示：,式中J称为雅可比矩阵： 由上式可得：,应力矩阵：,单元刚度矩阵是一个1616的矩阵 ，仍为,由于B是用局部坐标系、给出，因此有：,3、等效结点力计算,（1）体积力：设单元的体积力为(pvx

6、，pvy),则,（2）表面力：设单元的某边（如=1）上作用有表面力（psx，psy） ，则,受内压厚壁圆筒算例,作为八结点等参数单元法的应用，现考察受内压情况下厚壁圆筒的有限元解。该问题属平面应变问题，几何尺寸如图所示。由于对称性，只需将1/4区域离散成9个八结点等参数单元。材料的弹性模量E=1000，泊松比u=0.3，厚度取1.0，厚壁筒受内压为10。圆筒内半径为5，外半径为20。N-M-C 。,网格划分,受内压厚壁圆筒的径向、环向应力分布,5.3 二十结点六面体等参数单元,由于精度高，容易适应不同边界，在平面问题中常选用八结点四边形等参数单元。与此类似，在三维问题中常选用二十结点六面体等参

7、数单元。如下图。,Solid95 in ANSYS,四面体,角锥体,棱柱体,1、位移模式,采用与平面8结点四边形等参元类似的位移模式与坐标变换式：,其形函数为：,2、单元中应变,子块矩阵,根据复合函数求导规则，有,J为雅可比矩阵，其表达式为：,3、单元中应力,4、单元刚度矩阵(60X60),5、等效结点荷载 （1）体积力,（2）面力,某面面力,5.4 高斯（Gauss）积分,在计算单元刚度矩阵和结点载荷向量式时，由于被积函数比复杂，一般很难直接积分求出，通常采用数值积分。基本思路是：在单元上选择某些特征点（积分点），求出被积函数在这些积分点上的数值，然后用一些权函数乘这些函数值，最后求和就可得

8、到近似积分值。有限元分析中，最常用的高斯数值积分法。下面作简单介绍。,一维高斯积分公式,二维高斯积分公式,式中积分点和权函数仍按上表采用。,等参元数值积分中一般取2-3就可取得足够精度,2.5.11 数值积分,在求解刚度矩阵和结点荷载时，需计算如 的积分。但 一般是很复杂的，通常难以用显式表示其积分，一般都用数值积分方法计算积分 值，即在单元内选出某些点，称为积分点，求出被积函数 在这些点的 值，然后根据这些数值求出积分值。 数值积分有两类方法，一类方法积分点是等间距的，如辛普生方法；另一类方法 积分点是不等间距的，如高斯方法。,一维高斯积分公式,和 是根据计算精度最高而选定的，积分点 应是勒让德多项式 的根。 加权系数 按下式计算。,二维及三维高斯积分公式,先令 保持常数，计算沿 方向的积分,再沿 方向积分,对三重积分有,一般采用222高斯积分,等