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文档简介

1、第二节数学模型的线性化,第二章自动控制系统的数学模型,绝大多数物理系统在参数某些范围内呈现出线性特性。当参数范围不加限制时，所有的物理系统都是非线性的。,对每个系统都应研究其线性特性和相应的线性工作范围。,第二节数学模型的线性化,线性系统具有叠加性和齐次性。,叠加性：,x1(t),y1(t),x2(t),则,y2(t),x1(t)+x2(t),y1(t)+y2(t),y=x2,二阶系统是非线性的,因为它不满足叠加性,齐次性：,为常数,x(t),y(t),则,x(t),y(t),y=mx+b,系统也不是线性的，因为它不满足齐次性。,第二节数学模型的线性化,y=mx+b,对在工作点(x0,y0)附

2、近作小范围变化的变量x和y而言，则是线性的。,非线性系统,设,又,则,x=x0+x,y=y0+y,y0=mx0+b,y0+y=y=mx+b,=mx0+b+mx,y=mx,大部分非线性系统在一定的条件下可近似看成线性系统。,第二节数学模型的线性化,y(t)=gx(t),线性化：,设非线性元件为:,系统的正常工作点为x0,有条件地把非线性数学模型近似处理成线性数学模型。,若非线性函数连续，且各阶导数存在，可在工作点附近按泰勒级数展开.,当(x- x0)小范围波动时，略去高于一次的小增量项，方程可简化为 ：,=y0+m(x-x0),m为工作点处的斜率。最后可改写成下列线性方程：,y=mx,(y-y0

3、)=m(x-x0),或,第二节数学模型的线性化,例 将液位控制系统非线性微分方程线性化.,解：,按泰勒级数展开为,略去高于一次的增量项得,得：,由于,得,即,第二节数学模型的线性化,线性化处理中应注意以下几点：,（1）必须确定系统处于平衡状态时各部 件的工作点，在不同的工作点，非 线性曲线的斜率是不同的。,（2）线性化是以直线代替曲线，略去了 式中二阶以上项，如果系统工作范 围较大，将带来较大误差，所以非 线性数学模型的线性化是有条件的。,（3）对于某些典型非线性系统，其非 线性特性是不连续的，在不连续 点附近不能得出收敛的泰勒级数， 因而就不能进行线性化，只能采 用非线性理论进行分析处理。,典型非线性系统,第二节数学模型的线性化,近似

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