有限元第二章(2).ppt

1、2-6 单元刚度矩阵,讨论单元内部的应力与单元的结点力的关系，导出用结点位移表示结点力的表达式。 由应力推算结点力，需要利用平衡方程。第一章中已经用虚功方程表示出平衡方程。,2-6 单元刚度矩阵,考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为： 任意虚设位移，结点位移与内部应变为,2-6 单元刚度矩阵,令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为,2-6 单元刚度矩阵,计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。,2-6 单元刚度矩阵,微小矩形的内力虚功为 整个弹性体的内力虚功为,2-6 单元刚度矩阵,根据虚功原理，得 这就是弹性平面

2、问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。 虚应变可以由结点虚位移求出： 代入虚功方程,2-6 单元刚度矩阵,接上式，将应力用结点位移表示出 有 令 则 建立了单元的结点力与结点位移之间的关系， 称为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。,2-6 单元刚度矩阵,由于D中元素是常量，而在线性位移模式下，B中的元素也是常量，且 因此 可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。,2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,已经求出

3、了下列关系,2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,结点力和结点位移的关系：(以简单平面桁架为例) 平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体在结点载荷的作用下，结点对单元、单元对结点都有作用力与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为结点力。 结点力和结点位移的关系前面已经求出：,2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,单元刚度矩阵的物理意义： 将 写成分块矩阵 写成普通方程 其中 表示结点S(S=i,j,m)产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上所需要施加的结点力的大小。,2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,单元刚度矩阵的物理意义： 将结点力列矩阵 与结点位移列矩阵 均展开

4、成(6*1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6*6)阶方阵： 元素K的脚码，标有“-”的表示水平方向，没有标“-”的表示垂直方向。,2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,单元刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。 表示结点S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向产生单位位移时，在结点r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平结点力和垂直结点力的大小。例如 表示结点j在垂直方向产生单位位移时，在结点i所需要施加的水平结点力的大小。,2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,单元刚度矩阵的性质： 1)对称性： 是对称矩阵 2)奇异性： 是奇异矩阵， 单元刚度矩阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚度矩阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。,2-7 单元刚度矩阵的物理意义及其性质,单元刚度矩阵的性质： 例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设,1、求B 2、求D 3、求S 4、求,2-8 整体分析,将各单元组合成结构，进行整体分析。,整体分析分4