MATLAB运用第十一章.ppt

1、,大学计算机基础 系统工具与环境 （理工科用）,赵 欢 肖德贵 李丽娟 洪跃山 编著,第三部分 仿真及计算工具 第11章 MATLAB应用,大学计算机基础 系统工具与环境（理工科用）,本章内容提要,11.1 MATLAB在高等数学中的应用 11.2 MATLAB绘图 11.3 MATLAB图像处理 11.4 小结,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,符号运算 1. 定义符号常量 符号数学工具箱中的函数sym( )可以将一个数值常量A 定义成一个符号常量。其一般的使用形式为 sym(A) 例如 将一组数值常量定义成符号常量。 x=sym(sin(15) x = sin(15) y=sym

2、(3*4-2)/5+1) y = (3*4-2)/5+1,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,2. 定义符号变量 定义符号变量可以有两种方法：使用函数sym( )或命令syms。其使用形式为 sym(x) 或 syms x y 例如 定义符号变量及其表达式 a=sym(x) a = x b=sym(y) b = y f=a2+b2 f = x2 + y2,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,在该例中，定义符号x并赋值到符号变量a，同时利用a定义解析式f。需要注意的是，使用函数sym()每次只能定义一个符号变量，而使用syms一次可以定义多个符号变量。 例如 定义符号变量及表达式 s

3、yms x y f=x2+y2 f = x2 + y2,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,3. 表达式求值 通过符号变量定义符号表达式以后，可以通过函数eval来求表达式的值。 例如 符号常量表达式求值。 x=sym(sin(15); eval(x) ans = 0.6503 包含符号变量的表达式求值时，应对符号变量赋初值。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,包含符号变量的表达式求值时，应对符号变量赋初值。 例如 符号变量表达式求值。 syms x y f=x2+y2 f = x2 + y2 x=5; y=4; eval(f) ans = 41,11.1 MATLAB在高等数学

4、中的应用,4. 表达式化简 MATLAB 提供了化简和美化符号表达式的各种函数，具体有：合并同类项(collect)、多项式展开(expand)、因式分解(factor)等。 (1). 合并同类项(collect): 函数collect( )调用的格式有两种。 R = collect(S)：对于多项式S 按默认独立变量的幂次降幂排列。 R = collect(S,v)：对指定的对象v 计算，操作同上。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,(2). 表达式展开(expand) 利用函数expand( )来展开符号表达式。其命令格式如下： R = e

5、xpand(S) 对符号表达式S 中每个因式的乘积进行展开计算。该命令通常用于计算多项式函数、三角函数、指数函数与对数函数等表达式的展开式。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用, syms x y a b c t e1 = expand(x-2)*(x-4)*(y-t) e1 = 8*y - 8*t + 6*t*x - 6*x*y - t*x2 + x2*y e2 = expand(cos(x+y) e2 = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) e3 = expand(exp(a+b)3) e3 = exp(3*a*b2)*exp(3*a2*b)*exp(a3)*

6、exp(b3),11.1 MATLAB在高等数学中的应用,e4 = expand(log(a*b/sqrt(c) e4 = log(a*b)/c(1/2) e5 = expand(sin(2*t), cos(2*t) e5 = 2*cos(t)*sin(t), cos(t)2 - sin(t)2 e6 = expand(x+1)3) e6 = x3 + 3*x2 + 3*x + 1,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,(3). 因式分解(factor) 利用函数factor( )来进行符号表达式的因式分解。其使用格式为: factor(X) 参量X 可以是正整数、符号表达式矩阵。若X 为

7、一正整数，则factor(X)返回X 的质数分解式。若X 为多项式或整数矩阵，则factor(X)分解矩阵的每一元素。 例如 因式分解示例。 syms a b x y f1 = factor(x4-y4) f1 = (x-y)*(x+y)*(x2+y2) f2 = factor(a2-b2, x3+y3) f2 = (a-b)*(a+b), (x+y)*(x2-x*y+y2),11.1 MATLAB在高等数学中的应用,符号运算 1. 多项式表示 在 MATLAB 中，多项式被表示成行向量的形式，它的系数是按降幂排列的，即按降幂次序将多项式的系数组成行向量，就可以在MATLAB 中建立一个多项式

8、。例如，多项式 在MATLAB 中，按下面方式组成一个行向量 f = -4 3 18 5 1 MATLAB 会将长度为n+1 的向量解释成一个n 次多项式。因此，若多项式某些项系数为零，则必须在向量中相应位置补零。,2. 多项式求值 在MATLAB中多项式被表示为一个行向量，因此任何一个行向量都可当作一个多项式，可以通过调用函数polyval来求多项式的值，使用格式为: y = polyval(p,x) 其中，p为行向量，x作为参数，计算前必须赋值。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,3. 多项式求根 多项式求根的函数是roots，返回结果可能是复数根。其使用格式为 y=roots(p

9、) 其中p为行向量，用于表示一个多项式。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,4. 符号多项式 当已知多项式的系数时，可以利用函数poly2sym来构造符号多项式。 例如 对于多项式系数向量p=-4 3 18 5 1构造符号多项式并求值。 p=-4 3 18 5 1; f=poly2sym(p) f = - 4*x4 + 3*x3 + 18*x2 + 5*x + 1 x=5; y=eval(f) y = -1649,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,5. 从根创建多项式 假定已知多项式的根，则可以使用函数poly函数来求多项式向量，这个函数与roots是互逆函数。 例如 已知多项

10、式的根为2、5、1，求多项式。 r=2;5;1; s=poly(r) s = 1 -8 17 -10 这里创建了多项式 ，根分别为2、5、1。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,函数极限 1. 一元函数的极限 假设已知函数 ，则极限问题一般描述为 其中L 可以是一个确定的值，也可以不是 ，对于某些问题来说，还可以是左右极限 ，在MATLAB中，直接调用函数limit来求极限，格式如下 (1) limit(expr, x,x0)，其中expr为函数表达式，一般为符号表达式，x是变量，x0为极限点。 (2) limit(expr, x, x0, left)，expr、x、x0与上面格式相同

11、，如果为左极限，则最后一个参数为left，否则为right。 在上面格式中，极限点x0可以是inf或-inf，表示正、负无穷大。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,2. 多元函数的极限 多元函数极限一般可表示为 在MATLAB中，同样是通过调用函数limit来实现，格式如下 (1) limit(limit(expr, x, x0), y, y0) (2) limit(limit(expr, y, y0), x, x0) 如果x0或y0不是确定的值，而是另外一个变量的函数 ，则顺序不能改变。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,11.1 M

12、ATLAB在高等数学中的应用,函数求导 1. 函数的导数和高阶导数 如果函数和自变量都已知，则可以调用函数diff来求各阶导数，使用格式如下 (1) y=diff(expr, x)，expr为函数表达式，x为自变量，求一阶导数 (2)y=diff(expr, x, n)，求函数的n阶导数,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,2. 多元函数偏导数 多元函数偏导数仍然是通过调用diff来实现的，使用格式为 f=diff(diff(expr, x, m), y, n) 或者 f=diff(diff(expr, y, n), x, m),11.1 MATLAB在高等数学中的应用,函数积分 不定积

13、分 在MATLAB中，调用int函数直接求出符号函数表达式的不定积分解析式，使用格式为 F=int(expr, x)，expr为函数的表达式，x为积分变量。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,2. 定积分 在MATLAB中，函数int同样可以用于求定积分，使用格式为F=int(expr, x, a, b)，expr为函数的表达式，x为积分变量, a, b为积分区间。,级数运算 1. 泰勒(Taylor)展开式 根据泰勒定理，函数f(x)在x0的展开形式为: 其中R， 为截断误差，也称为拉格朗日余项。如果 ，上式又称为麦克劳林(Maclaurin)公式。 事实上，要使用泰勒公式求函数的近

14、似值是一件非常困难的事情，因为需要计算多项，特别是要计算高阶导数，调用MATLAB中的函数taylor可以直接导出泰勒公式，其使用格式为 (1) taylor(expr, x, k)，expr为函数符号表达式，x为自变量，该方式为将函数在 0处做泰勒展开，k为展开项数。 (2) taylor(expr, x, k, a)，该方式为将函数在a 处做泰勒展开。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,2. 级数求和 对于具有通项公式的级数，MATLAB提供了函数symsum来计算级数和，具体使用格式为 symsum(expr, n, a,b) expr为

15、通项公式表达式，n为级数变量，a和b分别表示开始项和结束项。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,矩阵及线性方程组 1. 零矩阵、幺矩阵和单位矩阵 在矩阵理论中，将所有元素全为0的矩阵称为零矩阵，把所有元素全为1的矩阵称为幺矩阵，而将对角线元素全为1而其余元素全为0的矩阵称为单位矩阵。使用格式分别如下： (1) A=zeros(m)，B=ones(m)，C=eye(m)，分别生成mm阶零矩阵A、幺矩阵B和单位矩阵C。 (2) A=zeros(m，n)，B=ones(m，n)，C=eye(m，n)，分别生成mn阶零矩阵A、幺矩阵B和单位矩阵C。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,例

16、如 下面分别生成零矩阵、幺矩阵和单位矩阵。, A=zeros(3) A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B=ones(3) B = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C=eye(3) C = 1 0 0 0 1 0 0 0 1, D=zeros(2,3) D = 0 0 0 0 0 0 E=ones(2,3) E = 1 1 1 1 1 1 F=eye(2,3) F = 1 0 0 0 1 0,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,2. 随机矩阵和魔方矩阵 使用函数rand()可以生成一个01之间的随机数，而使用rand(m,n)则可以生成一个mn阶随机矩阵，使用rand(m)生

17、成的是mm阶随机方阵 魔方矩阵是指生成的方阵行、列、对角线之和相等的矩阵，通过函数magic(m)来实现。 例如 生成23阶随机方阵以及5阶魔方矩阵。 rand(2,3) ans = 0.7655 0.1869 0.4456 0.7952 0.4898 0.6463, magic(3) ans = 8 1 6 3 5 7 4 9 2,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,3. 对角矩阵 对角矩阵的生成是通过调用函数diag来实现的，其基本格式为 (1) diag(p)，生成以向量p的元素构成的对角矩阵，矩阵大小由p的元素个数决定。 (2) diag(p, k)，将向量p的元素分布在对角线偏

18、上或偏下的斜列上，k0，代表上部，k0代表下部，k=0时与(1)相同，生成的矩阵阶数=p的元素个数+k。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,3、矩阵行列式、秩、逆和条件数 在MATLAB中，通过调用函数det、rank、inv、cond即可分别求的矩阵的行列式的值、秩、矩阵的逆和条件数。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,4. 线性方程组求解 考虑线性方程组 ，很显然，利用矩阵的逆可以直接求解线性方程组: 这也称为直接法;也可以直接利用之前介绍的反除，即 。,5. 矩阵的三角分解 根据线性代数理论，如果矩阵A是非奇异矩阵，则它一定可以分解为一个非奇异的单位下三角矩阵和非奇异上三

19、角矩阵，使得 成立，但由于需要涉及到选主元来交换某些行，因此还需要增加一个置换矩阵P来构成完整的三角分解 ，在MATLAB中，通过调用函数lu来实现上述过程。,6. 矩阵特征多项式和特征值 求矩阵特征多项式和特征值是线性代数中经常遇到的问题，在MATLAB中通过调用函数eig来实现，其调用格式为 (1) v=eig(A)，求矩阵A的特征值，返回形式为由特征值组成的列向量。 (2) b,v=eig(A)，返回结果b是由特征向量组成的矩阵，而v为以特征值为对角线的对角矩阵。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,方程求根 1. 函数零点 罗尔(Role)零点定理证明了对于 ，且 ，则必存在区间

20、 内的一点 ，使得 ， 就是函数的零点。在MATLAB中使用函数fzero很容易求得零点，使用方式为 (1) fzero(myfun, x0)，表示求函数fun在x0附近的零点，其中fun为函数句柄。 (2) fzero(myfun, a b)，表示求函数fun在区间a,b上的零点。,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,11.1 MATLAB在高等数学中的应用,11.2 Matlab绘图,二维图形 在 MATLAB 中，plot是最基本的二维绘图函数，其调用格式有: (1) plot(Y)：若Y为实向量，则以该向量元素的下标为横坐标，以Y的各元素值为纵坐标，绘制二维曲线；若Y为复数向量，

21、则等效于plot(real(Y),imag(Y)；若Y为实矩阵，则按列绘制每列元素值相对其下标的二维曲线，曲线的条数等于Y的列数；若Y为复数矩阵，则按列分别以元素实部和虚部为横、纵坐标绘制多条二维曲线。 (2) plot(X,Y)：若X、Y为长度相等的向量，则绘制以X和Y为横、纵坐标的二维曲线；若X 为向量，Y是有一维与Y同维的矩阵，则以X为横坐标绘制出多条不同色彩的曲线，曲线的条数与Y的另一维相同；若X、Y为同维矩阵，则绘制以X和Y对应的列元素为横、纵坐标的多条二维曲线，曲线的条数与矩阵的列数相同。,11.2 Matlab绘图,(3) plot(X1,Y1,X2,Y2,Xn,Yn)：其中的每

22、一对参数Xi 和 Yi(i=1,2,.,n)的取值和所绘图形与(2)中相同。 (4) plot(X1,Y1,LineSpec,.)：以LineSpec 指定的属性，绘制 所有Xn、Yn 对应的曲线。 (5) plot(.,PropertyName,PropertyValue,.)：对于由plot 绘制的所有曲线，按照设置的属性值进行绘制， PropertyName 为属性名，PropertyValue 为对应的属性 值。,11.2 Matlab绘图,例如 按不同颜色和线型绘图。 x=0:0.2:8; y1=0.2+sin(-2*x); y2=sin(x.0.5); figure plot(x,

23、y1,g-+,x,y2,r-d); 曲线y1 采用绿色、实线、加号标记，曲线y2 采用红色、虚线、菱形标记，结果如图11.3所示。,11.2 Matlab绘图,MATLAB 在绘图时会根据数据的分布范围自动选择坐标轴的刻度范围，通过调用函数axis指定坐标轴的刻度范围的格式为： axis(xmin,xmax,ymin,ymax)， 其中 xmin,xmax,ymin,ymax 分别表示x轴的起点、终点，y 轴的起点、终点； 使用函数xlabel(option )和ylabel(option )来实现x轴y轴加标签； 使用函数title(option )为图形加标题； 使用函数legend(op

24、tion )加标注； 使用命令grid on/off添加或取消网格线； 调用text(x, y, string)在指定的坐标(x，y)处加上文字。,例如 添加坐标标注、标题、网格以及标注的图形。 x=0:0.05:5 ; figure y1=exp(0.4.x)-1.5; y2=sin(x*4); plot(x,y1,x,y2,r-.) xlabel(Input); ylabel(Output); title(My Graphics); legend(y1=exp(0.4.x)-1.5,y2=sin(x*4) grid on,例如 为图形加上文字标注。 plot(0:pi/20:2*pi,si

25、n(0:pi/20:2*pi) text(pi,0, leftarrow sin(pi),FontSize,18) 使用text加标注时，可以增加符号，如上面的leftarrow表示左前头，同时可以设定字体大小，如图11.5所示。,11.2 Matlab绘图,三维曲线图 用函数 plot3 可以绘制三维图形，其调用格式主要有以下几种： (1) plot3(X1,Y1,Z1,.)：X1、Y1、Z1 为向量或矩阵，表示图形的三维坐标。该函数可以在同一图形窗口一次画出多条三维曲线，以X1,Y1,Z1,. Xn,Yn,Zn 指定各条曲线的三维坐标。 (2) plot3(X1,Y1,Z1,LineSpe

26、c,.)：以LineSpec 指定的属性绘制三维图形。 (3) plot3(.,PropertyName,PropertyValue,.)：对以函数plot3 绘制的图形对象设置属性。,例如：绘制三维曲线图 (sin(x), cos(x), x)。 x=0:0.05:20; figure plot3(sin(x),cos(x),x); grid; text(0,0,0,0); title(Three Dimension); xlabel(sin(x) ); ylabel(cos(x) ); zlabel(z); 这里，以向量组(sin(x), cos(x), x) 绘制三维曲线，如图11.6所

27、示。,11.2 Matlab绘图,三维曲面图 在MATLAB中，可以通过调用函数surf来绘制三维曲面图，其使用格式为 (1) surf(X,Y,Z)：以Z 确定的曲面高度和颜色，按照X、Y 形成的“格点”矩阵，创建一渐变的三维曲面。X、Y 可以为向量或矩阵，若X、Y 为向量，则必须满足m= size(X)，n =size(Y)，m,n = size(Z)。 (2) surf(X,Y,Z,C)：以Z 确定的曲面高度，C 确定的曲面颜色，按照X、Y 形成的“格点”矩阵，创建一渐变的三维曲面。,例如 绘制球面图 figure X,Y,Z=sphere(50); surf (X,Y,Z); %绘制球

28、体的三维图形 xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z); title(Globle); 这里调用了函数sphere(n)来生成球体坐标，其中n表示将整个球体坐标划分的网络数，即生成的向量组(x,y,z)的大小。如图11.7所示。,可以通过函数表达式来绘制三维曲面图。 例如 绘制方程 ，其中 的曲面图。 x,y = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); z = x .* exp(-x.2 - y.2); surf(x,y,z),这里meshigrid（x，y）的作用是产生一个以向量x为行，向量y为列的矩阵，而x、y是从-2开始到2，每间隔0.2记下一个数据。如

29、图11.8的图形，网格就是利用meshgrid完成的。,还可以调用函数surfl来绘制亮度曲面图，如将上例改为 x,y = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); z = x .* exp(-x.2 - y.2); surfl(x,y,z) shading interp; colormap(gray) 则可产生如图11.9 的光亮效果。,隐函数绘图 利用符号函数，可以通过函数 ezplot 绘制任意一元函数，其调用格式为 (1) ezplot(f)：按照x 的默认取值范围(-2*pix2*pi)绘制f=f(x)的图形。对于f=f(x,y)，x、y 的默认取值范围：-2*pi x

30、 2*pi,、-2*pi y2*p，绘制f(x,y) = 0 的图形。 (2) ezplot(f,min,max)：按照x的指定取值范围(minxmax)绘制函数f=f(x)的图形。,而对于二元隐函数，则可以调用函数ezmesh来绘图，使用格式为 (1) ezmesh(f) ：按照x、y 的默认取值范围(-2*pix2*pi, -2*piy2*pi)绘制函数f(x,y) 的图形。 (2) ezmesh(f,domain)：按照domain 指定的取值范围绘制函数f(x,y)的图形，domain 可以是14的向量：xmin, xmax, ymin, ymax；也可以是12的向量：min, max

31、，此时，minxmax，min y max。,11.3 Matlab图像处理,图像基础 1. 图像及其类型 MATLAB 图像处理工具箱支持4种基本图像类型：索引图像、灰度图像、二进制图像和真色彩(RGB)图像。 (1) 索引图像 索引图像包括图像矩阵和色图矩阵。其中色图是按图像中颜色值进行排序后的矩阵。对于每个像素图像矩阵包含一个值，这个值就是色图矩阵中的索引。色图为m3的双精度值矩阵，各行分别指定红绿蓝(RGB)的单色值，RGB 为值域是0，1的实数值，0代表最暗，1 代表最亮。,(2) 灰度图像 灰度图像保存在一个矩阵中，矩阵的每个元素代表一个像素点。矩阵可以是双精度类型，值域为0，1；

32、也可以为unit8类型，值域为0，255。矩阵的每个元素值代表不同的亮度或灰度级，0 表示黑色，1(或unit8的255)代表白色。 (3) 二进制图像 表示二进制图像的二维矩阵仅由0和1构成。二进制图像可以看作一个仅包括黑与白的特殊灰度图像，也可以看作共有两种颜色的索引图像。二进制图像可以保存为双精度或unit8 类型的数组，显然，用unit8 类型可以节省空间。在图像处理工具箱中，任何一个返回二进制图像的函数都是以unit8 类型逻辑数组来返回的。,(4) 真彩色(RGB)图像 真彩色图像用RGB这3个亮度值表示一个像素的颜色，真彩色(RGB)图像各像素的亮度值直接存在图像数组中，图像数组为mn3，m、n表示图像像素的行数和列数。 2. 数字图像格式 计算机数字图像文件常用格式有：BMP(Windows 位图文件)、HDF(层次数据格式图像文件)、JPEG(联合图像专家组压缩图像文件)、PCX(Windows 画笔图像文件)、TIF(标签图像格式文件)、XWD(X Windows Dump 图像格式文件)等。,11.3 Matlab图像处理,图像的读和写 1. 读入图像 从图像文件中读入图像数据用函数imread，常用格式如下： (1)