数学人教版八年级上册最短路径课件.ppt

1、八年级 上册,13.4 课题学习 最短路径问题 教师：周桂华,教学目标： 1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。 2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。 3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。 教学重点：将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法。 教学难点：探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理。,复习： 1、三角形三边有什么关系？ 2、线段的垂直平分线有什么性质？ 3、轴对称图形有什么性质？如何作 点A关于直线L的对称

2、点？,创设情景，引入新知。 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究实际生活中的最短路径问题。,如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？,两点之间线段最短,如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？,P,所以泵站建在点P可使输气管线最短,总结：当两点分别在直线的两侧时，连接两点的线段与直线的交点，即为所求。,问题1相传，古希腊亚历

3、山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？,探索新知,问题1这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线,探索新知,问题2你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？,（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多

4、处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；,思考： 1、对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？ 2、你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B； （2）连接AB，与直线l 相交 于点C 则点C 即为所求,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个

5、动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不 重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC 在ABC中， ABAC+BC ， AC +BCAC+BC 即AC +BC 最短,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小,探索新知,思考：1、证明AC +BC 最

6、短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC +BC？这里的“C”的作用是什么？,探索新知,2、回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？,总结：当两点在直线的同一侧时，利用轴对称的知识，通过作点A或点B的对称点A 或B ，再连接A B或AB 。由两点之间，线段最短可知：AC+BC或A C+BC最短。,运用新知,练习： 1、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径,基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”,2.已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小 分析：当AB、BC和AC三条边恰好能够在一条直线上 时，三