逻辑代数基础(周林计科).ppt

1、2010-4,都江堰校区 周 林,1,教 学 安 排,数字电子技术,教学时数 ：总学时48学时；其中理论课时38学时，实验10学时。 周 数 ： 10-17周； 教学内容 ：第1章；第2章部份内容；第3章；第4章；第5章1-2节。 推荐参考书：数字电子技术，西安电子科技大学出版社，江晓安主编,2010-4,都江堰校区 周 林,2,课程性质：“数字电子技术”是计算机各专业及电子类专业必修的一门重要专业基础课。本课程主要介绍有关数字系统基本知识、基本理论、及常用数字集成电路，重点讨论数字逻辑电路分析方法，了解其设计的基本方法。 从计算机的层次结构上讲， “数字逻辑”是深入了解计算机“内核” 的一门

2、最关键的基础课程。,教学目标：本课程的教学目标是使学生了解组成数字计算机和其它数字系统的各种数字电路，能熟练地运用基本知识和理论对各类电路进行分析，并能根据客观提出的设计要求用合适的集成电路芯片完成各种逻辑部件的设计。,2010-4,都江堰校区 周 林,3,一.掌握课程特点,1.本课程是一门既抽象又具体的课程。在逻辑问题的提取和描述方面是抽象的,而在逻辑问题的实现上是具体的。因此，学习中既要有抽象分能力，又要善于结合实际。,2.逻辑设计方法十分灵活。数字系统中，逻辑电路的分析与设计具有很大的灵活性。许多问题的处理没有固定的方法和步骤，很大程度上取决于操作者的逻辑思维推理能力、知识广度和深度、以

3、及解决实际问题的能力。换而言之，逻辑电路的分析与设计具有较大的弹性和可塑性。,3.理论知识与实际应用结合十分紧密。该课程各部分知识与实际应用直接相关，学习中必须将理论知识与实际问题联系起来。真正培养解决实际问题的能力。,2010-4,都江堰校区 周 林,4,二.重视课堂学习,1.认真听课：听课时要紧跟教师授课思路，认真领会每一个知识要点，抓住书本上没有的内容，琢磨重点与难点。,2. 做好笔记：适当地记录某些关键内容，尤其是那些重点、难点、疑点，以便课后复习、思考。,3. 主动思考：听课时围绕教师所述内容及提出的问题，主动思考问题，寻找自己的见解。,三.培养自学能力,1. 认真阅读教材内容。,2

4、. 善于总结、归纳。,3. 加强课后练习。,2010-4,都江堰校区 周 林,5,第 一 章 逻辑代数基础, 1.1： 基本概念、公式和定理,概述,1.3：逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换。, 1.2：逻辑函数的化简方法,2010-4,都江堰校区 周 林,6,概 述,一、数字系统,数字系统是一个能对数字信号进行加工、传递和存储的实体，它由实现各种功能的数字逻辑电路相互连接而成。例如，数字计算机。,2、数字信号,例如，学生成绩记录，工厂产品统计,电路开关的状态等。,信号的变化在时间上和数值上都是断续的，或离散的,对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。,模拟信号：信号随时间连续变化的

5、量。对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。,1、什么是数字系统?,2010-4,都江堰校区 周 林,7,例如,某控制系统框图如下图所示。,数字系统中处理的是数字信号，当数字系统要与模拟信号发生联系时，必须经过模/数(A/D)转换和数/模(D/A)转换电路，对信号类型进行变换,2010-4,都江堰校区 周 林,8,二、数字逻辑电路,用来处理数字信号的电子线路称为数字电路。由于数字电路的各种功能是通过逻辑运算和逻辑判断来实现的，所以数字电路又称为数字逻辑电路或者逻辑电路。,(1)电路的基本工作信号是二值信号。它表现为电路中电压的“高”或“低”、开关的“接通”或“断开”、晶体管的“导通”或

6、“截止”等两种稳定的物理状态。 (2)电路中的半导体器件一般都工作在开、关状态。,数字逻辑电路具有如下特点：,(3)电路结构简单、功耗低、便于集成制造和系列化生产；产品价格低廉、使用方便、通用性好。,(4)由数字逻辑电路构成的数字系统工作速度快、精度高、功能强、可靠性好。,2010-4,都江堰校区 周 林,9,三、逻辑代数,逻辑关系-事物间的因果关系 逻辑代数-反映和处理这种逻辑关系的数学工具 布尔代数-逻辑代数是英国数学家(George Boole)布尔在19世纪中叶创立的一门数学学科。所以又叫布尔代数 开关代数-20世纪30年代美国工程师(Claude E.Shannon)克劳德香浓将逻辑

7、代数运用到开关电路的分析中。因此又称为开关代数,逻辑变量- 逻辑代数中的变量,用字母表示。 二值逻辑-变量中取值只有“1”咱“0”两种,逻辑代数是分析和设计数字电路的基本数学工具，它的基本和常用运算也是数字电路要实现的重要操作。,2010-4,都江堰校区 周 林,10,（一） 进位计数制,数制是人们对数量计数的一种统计规律。按进位的原则进行计数，称为进位计数制。日常生活中广泛使用的是十进制，而数字系统中使用的是二进制。每一种进位计数制都有一组特定的数码，例如十进制数有10个数码， 二进制数只有两个数码，而十六进制数有16个数码。,四 数制及其转换,十进制中采用了0、1、9共十个基本数字符号，进

8、 位规律是“逢十进一”。当用若干个数字符号并在一起表示一个数时，处在不同位置的数字符号，其值的含意不同。,1、十进制,同一个字符6从左到右所代表的值依次为600、60、6。即 (666)10=6102+6101+6100,2010-4,都江堰校区 周 林,11, 基数 N=10：采用 10 个不同的数码0、 1、 2、 、 9和一个小数点(.)。 进位规则：是“逢十进一”。 权：10i,再如：,注：我们把十进制数的10个基本数码定义为“基数”，在不同位数代表的数值大小的常数10i定义为“权”，则十进数的特点可总结如下：,上述十进制数的表示方法也可以推广到任意进制数。,2010-4,都江堰校区

9、周 林,12,广义地说，一种进位计数制包含着基数和位权两个基本 的因素：,基数: 指计数制中所用到的数字符号的个数。在基数为N计数制中，包含0、1、N-1共N个数字符号，进位规律是 “逢N进一”。称为N进位计数制，简称N进制。,2. N进制,位权: 是指在一种进位计数制表示的数中，用来表明不同数位上数值大小的一个固定常数。不同数位有不同的位权， 某一个数位的数值等于这一位的数字符号乘上与该位对应的位权。N进制数的位权为N的整数次幂。 例如，十进制数的位权是10的整数次幂，其个位的位权 是100，十位的位权是101。,一个N进制数D可以有两种表示方法：,2010-4,都江堰校区 周 林,13,(

10、2) 多项式表示法(又称按权展开法),(D)N = Kn-1Nn-1 + Kn-2Nn-2 +K1N1 + K0N0 + K-1R-1 + K-2N-2+ + K-mN-m,其中：N 基数；n整数部分的位数； m 小数部分的位数； Ki N进制中的一个数字符号，其取值范围为 0 Ki N-1 (-min-1)。,(3) 位权是N的整数次幂，第i位的权为Ni (-min-1)。,N进制的特点可归纳如下：,(1) 有0、1、N-1共N个数字符号;,(2) “逢N进一”，“10”表示N;,2010-4,都江堰校区 周 林,14,基数N=2的进位计数制称为二进制。二进制数中只有0和1两个基本数字符号，

11、进位规律是“逢二进一”。二进制数的位权是2的整数次幂。任意一个二进制数D可以表示成,3、二进制,其中：n整数位数；m小数位数； Ki 为0或者1， -min-1。,(D)2 = (Kn-1Kn-2K1K0.K-1K-2K-m)2 = Kn-12n-1+Kn-22n-2+K121+K020 +K-12-1+K-22-2+K-m2-m,2010-4,都江堰校区 周 林,15,例如，一个二进制数1011.01可以表示成: (1011.01)2 = 123+022+121+120+02-1+12-2,2010-4,都江堰校区 周 林,16,例如，二进制数A=11001,B=101,则A+B、A-B、A

12、B、AB的运算为,2010-4,都江堰校区 周 林,17,因为二进制中只有0和1两个数字符号，可以用电子器件的两种不同状态来表示一位二进制数。例如，可以用晶体管的截止和导通表示1和0，或者用电平的高和低表示1和0等。所以，在数字系统中普遍采用二进制。,二进制的优点: 运算简单、物理实现容易、存储和传送方便、可靠。,二进制的缺点：数的位数太长且字符单调，使得书写、记忆和阅读不方便。 因此，人们在进行指令书写、程序输入和输出等工作时，通常采用八进制数和十六进制数作为二进制数的缩写。,2010-4,都江堰校区 周 林,18,4、二进制数的缩写形式-八进制和十六进制,（1）八进制数：基数N=8的进位计

13、数制称为八进制。八进制数中有0、1、7共8个基本数字符号，进位规律是“逢八进一”。八进制数的位权是8的整数次幂。,其中：n整数位数；m小数位数； Ki07中的任何一个字符，-m i n-1。,例(37.41)8=381+780+48-1+18-2,2010-4,都江堰校区 周 林,19,（2）、十六进制,基数N=16的进位计数制称为十六进制。十六进制数中有0、1、9、A、B、C、D、E、F共16个数字符号，其中，AF分别表示十进制数的1015。进位规律为“逢十六进一”。十六进制数的位权是16的整数次幂。,任意一个十六进制数N可以表示成,其中：n整数位数；m小数位数；Ki表示09、AF中的任何一

14、个字符，-m i n-1。,例:2A.7F=2161+A160+716-1+F16-2 =216+101+7/16+15/256=42.4961,2010-4,都江堰校区 周 林,20,十进制数015及其对应的二进制数、八进制数、十六进制数如下表所示。,2010-4,都江堰校区 周 林,21,(二） 几种常用进制数之间的转换,方法：多项式替代法,1、二进制数与十进制数之间的转换,（1）二进制数转换为十进制数（二-十转换）,将二进制数表示成按权展开式，并按十进制运算法则进行计算，所得结果即为该数对应的十进制数。 例如，（10110.101）2 =（？）10,(10110.101)2= 124+1

15、22+121+12-1+12-3 = 16+4+2+0.5+0.125 = (22.625)10,数制转换是指将一个数从一种进位制转换成另一种进位制。从实际应用出发，要求掌握二进制数与十进制数、八进制数和十六进制数之间的相互转换。,2010-4,都江堰校区 周 林,22,方法：基数乘除法,十进制数转换成二进制数时，应对整数和小数分别进行处理。 整数转换采用“除2取余”的方法； 小数转换采用“乘2取整”的方法。,(2.1) 整数转换 “除2取余”法：将十进制整数D除以2，取余数计为K0；再将所得商除以2，取余数记为K1；。依此类推，直至商为0，取余数计为Kn-1为止。即可得到与N对应的n位二进制

16、整 数Kn-1K1K0。,（2）十进制数转换为二进制数 （十-二转换）,2010-4,都江堰校区 周 林,23,分析：假设某十进数为D10,对应二进制数为(Kn-1Kn-2K1K0)，则：,D10=(Kn-1Kn-2K1K0). = Kn-12n-1+Kn-22n-2+K121+K0 =2（ Kn-12n-2+Kn-22n-3+K1）+K0,将上式两边同时除以2，两边的商和余数相等，所得的商为（ Kn-12n-2+Kn-22n-3+K1），而余数为K0，同理将这个商写成：,两边再同时除2，则所得之余数为K1，以此类推，就可求出对应的二进制数的第一位系数。这就叫除2取余法。用到其它进制就叫除基取

17、余法。,2010-4,都江堰校区 周 林,24,例如，（35）10 =（？）2,0 1 （K5） 高位,即 (35)10=(100011)2,2010-4,都江堰校区 周 林,25,例如，（0.6875）10 =（？）2,(2) 小数转换 “乘2取整”法：将十进制小数 D 乘以2，取积的整数记为K1；再将积的小数乘以2，取整数记为K2；。依此类推，直至其小数为0或达到规定精度要求，取整数记作Km为止。即可得到与 D对应的m位二进制小数0.K-1K-2K-m。,即: (0.6875)10=(0.1011)2,2010-4,都江堰校区 周 林,26,注意:当十进制小数不能用有限位二进制小数精确表示

18、时，可根据精度要求，求出相应的二进制位数近似地表示。一般当要求二进制数取m位小数时，可求出m+1位，然后对最低位作0舍1入处理。,即 (0.323)10=(0.0101)2,例如，（0.323）10 =（？）2 (保留4位小数)。,2010-4,都江堰校区 周 林,27,即 (25.625)10=(11001.101)2,若一个十进制数既包含整数部分，又包含小数部分，则需将整数部分和小数部分分别转换，然后用小数点将两部分结果连到一起。 例如，（25.625）10 =（？）2,2010-4,都江堰校区 周 林,28,2、二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换,由于八进制的基本数字符号07正好和

19、3位二进制数的取值000111对应。所以，二进制数与八进制数之间的转换可以按位进行。,1二进制数与八进制数之间的转换,(1)、二进制数转换成八进制数：以小数点为界，分别往高、往低每3位为一组，最后不足3位时用0补充，然后写出每组对应的八进制字符，即为相应八进制数。,例如，（11100101.01）2 = （？）8,即 (11100101.01)2=(345.2)8,2010-4,都江堰校区 周 林,29,即： (56.7)8 = (101110.111)2,例如，（56.7）8 = （？）2,（2）、八进制数转换成二进制数时，只需将每位八进制数用3位二进制数表示,小数点位置保持不变。,2010

20、-4,都江堰校区 周 林,30,二进制数与十六进制数之间的转换同样可以按位进行 ，只不过是4位二进制数对应1位十六进制数，即4位二进制数的取值00001111分别对应十六进制字符0F。,2二进制数与十六进制数之间的转换,（1）、二进制数转换成十六进制数：以小数点为界，分别往高、往低每4位为一组，最后不足4位时用0补充，然后写出每组对应的十六进制字符即可。,例如，（101110.011）2 = （？）16,即: (101110.011)2 = (2E.6),2010-4,都江堰校区 周 林,31,（2）、十六进制数转换成二进制数时，只需将每位十六进制数用4位二进制数表示，小数点位置保持不变。,例

21、如，（5A.B）16 = （？）2,即(5A.B)=(1011010.1011)2,2010-4,都江堰校区 周 林,32,五 二进制代码,一、 十进制数的二进制编码（BCD码）,用4位二进制代码对十进制数字符号进行编码，简称 为二十进制代码，或称BCD(Binary Coded Decimal)码。 BCD码既有二进制的形式，又有十进制的特点。常用的BCD码有8421码、2421码和余3码。,用二进制数表示文字，符号等信息的过程叫做编码。用来进行编码之后的二进数数称为二进制代码。,（一）、8421码,8421码：是用4位二进制码表示一位十进制字符的一种有权码，4位二进制码从高位至低位的权依次

22、为23、22、21、20，即为8、4、2、1,故称为8421码。,2010-4,都江堰校区 周 林,33,按8421码编码的09与用4位二进制数表示的09完全一样。所以，8421码是一种人机联系时广泛使用的中间形式。,(1) 8421码中不允许出现10101111六种组合(因为没有十进制数字符号与其对应)。,(2) 十进制数字符号的8421码与相应ASCII码的低四位相同，这一特点有利于简化输入输出过程中BCD码与字符代码的转换。,注意：,8421码与十进制数之间的转换是按位进行的，即十进制数的每一位与4位二进制编码对应。,(3) 8421码与十进制数之间的转换,(258)10 = (0010

23、 0101 1000)8421码 (0001 0010 0000 1000)8421码 = (1208)10,2010-4,都江堰校区 周 林,34,例如： (28）10 =（11100）2 =（00101000）8421,28421码与二进制的区别,（二）、2421码,2421码: 是用4位二进制码表示一位十进制字符的另一种有权码，4位二进制码从高位至低位的权依次为2、4、2、1,故称为2421码。 若一个十进制字符X的2421码为a3 a2 a1 a0，则该字符的值为 X = 2a3 + 4a2 + 2a1 + 1a0,例如，(1101)2421码 = (7)10,(1)2421码不具备单

24、值性。例如，0101和1011都对应十 进制数字5。为了与十进制字符一一对应，2421码不允许出 现01011010的6种状态。,2注意,2010-4,都江堰校区 周 林,35,(2)2421码是一种对9的自补代码。即一个数的2421码只要自身按位变反,便可得到该数对9的补数的2421码。例如，,具有这一特征的BCD码可给运算带来方便，因为直接对BCD 码进行运算时，可利用其对9的补数将减法运算转化为加法运算。,(3) 应与二进制数进行区别!,2010-4,都江堰校区 周 林,36,2. 余3码与十进制数进行转换时，每位十进制数字的编码都应余3。例如， (256)10 = (0101 1000

25、 1001)余3码 (1000 1001 1001 1011)余3码 = (5668)10,注意:1.余3码中不允许出现0000、0001、0010、1101、1110 和1111六种状态。,3. 余3码是一种对9的自补代码；,（三）、余3码,余3码：是由8421码加上0011形成的一种无权码，由于它的每个字符编码比相应8421码多3，故称为余3码。例如，十进制字符5的余3码等于5的8421码0101加上0011，即为1000。,2010-4,都江堰校区 周 林,37,十进制数字符号09与8421码、2421码和余3码的对应关系如下表所示。,2010-4,都江堰校区 周 林,38,本次课小结,

26、1、了解数字信号、数字系统的基本概念。 2、了解逻辑代数的基本概念。 3、熟悉和掌握进位计数制间的转换。 4、熟悉常用进制代码。,作业：P68 1-2 (1、2、3、4) 1-3（3、4、5）,2010-4,都江堰校区 周 林,39,1.1 基本概念、公式和定理,1.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算；,1.1.2 公式和定理及规则 ；,公理和定理；,若干常用公式,关于等式的三个规则；,2010-4,都江堰校区 周 林,40,1.1.1 逻辑变量及基本逻辑运算,一变量：逻辑代数和普通代数一样，是用字母表示其值可以变化的量，即变量。所不同的是：,1在普通代数中，变量的取值可以是任意实数，而逻辑代数是

27、 一 种二值代数系统，任何逻辑变量的取值只有两种可能性取值0或取值1。,2逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪的形式符号，无大小、正负之分。在数字系统中，开关的接通与断开，电压的高和低，信号的有和无，晶体管的导通与截止等两种稳定的物理状态，均可用1和0这两种不同的逻辑值来表征。,2010-4,都江堰校区 周 林,41,二基本逻辑关系和基本逻辑运算,描述一个数字系统，必须反映一个复杂系统中各开关元件之间的联系，这种相互联系反映到数学上就是几种逻辑运算关系。 对应这几种逻辑关系，逻辑代数中定义了“与” 、“或”、 “非”三种基本运算。,（一）与逻辑关系及与逻辑运算,1、与逻辑关系：当决定

28、一件事的各个条件全部具备时，这件事才会发生，这样的因果关系称之为与逻辑关系。,例如，在右上图所示电路中，两个开关串联控制同一个 灯。显然，仅当两个开关均闭合时，灯才能亮，否则，灯灭。这个电路就是一个与的逻辑关系。,2010-4,都江堰校区 周 林,42,2、“与”逻辑运算,分析事件的逻辑运算关系的步骤为： （1）设定变量：用A、B表示开关；Y表示灯,则电路中灯Y和开关A、B之间的关系即可用功能表表示出来。 （2）状态赋值：假定开关闭合状态用1表示，断开状态用0表示，灯亮用1 表示，灯灭用0表示， （3）列真值表：用“穷举法”描述逻辑函数中各逻辑变量的取值组合和逻辑函数值对应关系的表格。,“与”

29、逻辑关系如真值表所示。由表反映的逻辑关系可得出与逻辑的代数表达式,Y = AB或者Y = AB 即：若A、B均为1，则Y为1；否则，Y为0。在逻辑代数中，“与”逻辑关系用“与”运算描述。其运 算符号为“”，有时也用“”表示。,2010-4,都江堰校区 周 林,43,3、“与”运算的运算法则: 0 0 = 01 0 = 0 0 1 = 01 1 = 1 与逻辑功能：“见0得0，全1为1” 数字系统中，实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。,（二）“或”逻辑关系及或逻辑运算 1、或逻辑关系：如果决定某一事件是否发生的多个条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系称之为“

30、或”逻辑。,例如，用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路。可以看出，当开关S1、S2中有一个闭合或者两个均闭合时，灯H即亮。因此，灯H与开关S1、S2之间的关系是“或”逻辑关系。,2010-4,都江堰校区 周 林,44,2、或逻辑运算。,同样：假定开关断开用0表示，开关闭合用1表示；灯灭用0表示，灯亮用1表示，则灯Y与开关A、B的关系如真值表所示。 即：A、B中只要有一个为1，则Y为1；仅当A、B均为0时，Y才为0。,由表可得出：Y = A + B或者Y = A B 读作“Y等于A或B”。 逻辑代数中，“或”逻辑用“或”运算描述。其运算符号为“+”，有时也用“”表示。两变量“或”运算的关系可表

31、示为,2010-4,都江堰校区 周 林,45,3、“或”运算的运算法则： 0 + 0 = 01 + 0 = 1 0 + 1 = 11 + 1 = 1 或逻辑功能：“见1得1，全0为0” 实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门。,（三）“非” 逻辑关系及“非”逻辑运算 1、 “非” 逻辑关系：如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。,例如，在右图所示电路中，开关与灯并联。显然，仅当开关断开时，灯亮；一旦开关闭合，则灯灭。则电路中灯Y与开关A的关系即为 “非”逻辑关系。,2010-4,都江堰校区 周 林,46,3、“非”运算的运算法则

32、： ； 数字系统中实现“非”运算功能的逻辑电路称为“非”门， 有时又称为“反相器”。,2、“非”逻辑运算,在逻辑代数中，“非”逻辑用“非”运算描述。其运算符 号为“”，有时也用“”表示。“非”运算的逻辑关系可 表示为,令开关断开用0表示，开关闭合用1表示，灯亮用1表示，灯灭用0表示，则电路中灯Y与开关A的关系即为下表所示“非”运算关系。,读作“Y等于A非”。即：若A为0，则Y为1；若A为1，则Y为0。,2010-4,都江堰校区 周 林,47,三、逻辑函数及几种常用复合逻辑运算,逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义类似，即是随自变量变化的因变量。但和普通代数中函数的概念相比，逻辑函数具有如

33、下特点：,1逻辑函数和逻辑变量一样，取值只有0和1两种可能 ；,2函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、 “非”三种基本运算决定的 :Y = AB； Y = A + B叫逻辑表达式；式中A、B称为逻辑输入变量，Y为逻辑输出变量，字母上面无反号的为原变量，有反号的叫做反变量。 Y = AB中A、B之间是与的逻辑关系，Y是A和B的与函数；而Y = A + B中A、B之间是或逻辑关系，Y是A和B的或函数。,（一）、逻辑函数的定义,2010-4,都江堰校区 周 林,48,逻辑电路输出函数的取值是由逻辑变量的取值和电路本身的结构决定的。 任何一个逻辑电路的功能都可由相应的逻辑函数完全描述，因此，能够借

34、助抽象的代数表达式对电路加以分析研究。,从数字系统研究的角度看，逻辑函数的定义如下:,一般说来，如果某逻辑电路的输入逻辑变量A1、A2的取值确定之后，输出逻辑变量Y的值也被唯一地确定了。那么就称Y是A1、A2的逻辑函数，并写成 Y=F(A1、A2)如右图所示。,2010-4,都江堰校区 周 林,49,逻辑函数和普通代数中的函数一样存在是否相等的问题。 什么叫做两个逻辑函数相等呢？ 有两个相同变量的逻辑函数 Y1 = f1( A 1,A 2, ,A n) 和Y2 = f2( A 1,A 2, ,A n) 若对应于逻辑变量 A1 ,A2 , , An的任何一组取值，Y1和Y2的值都相同，则称函数Y

35、1和Y2相等，记作Y1 = Y2 。,如何判断两个逻辑函数是否相等？ 通常有两种方法,一种方法是真值表法，即两个真值表完全相同；另一种方法是代数法，两个 逻辑表达式一样。,2010-4,都江堰校区 周 林,50,（二）、几种常用复合逻辑运算及符号,1、与非逻辑运算:,逻辑功能：“见0得1；全1为0”。 实现与非逻辑的门电路称为“与非”门。,A B,2010-4,都江堰校区 周 林,51,2. 或非运算：,3. 与或非运算：,逻辑功能：见1得0；全0为1。 实现或非逻辑的门电路称为“或非”门。,逻辑功能：仅当每一个“与项”均为0时，才能使Y为1， 否则Y为0。 实现与或非逻辑的门电路称为“与或非

36、”门。,AB,CD,A+B,2010-4,都江堰校区 周 林,52,4. 异或运算：异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。,实现异或运算的逻辑门称为“异或门” 。,2010-4,都江堰校区 周 林,53,1、 逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题 2、与、或、非是3种基本逻辑关系，也是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑运算复合而成的4种常用逻辑运算。 3、作业：P68 1-2(1) (

37、3) (5) 1-4,本次课小结,2010-4,都江堰校区 周 林,54,上次课复习,1、与运算：Y = AB,2、或运算：Y = A + B,异或运算：,2010-4,都江堰校区 周 林,55,1.1.2 公式和定理及规则,因为二值逻辑中只有0和1两个常量，逻辑变量的取值不是0就是1。而最基本的逻辑运算又只有与、或、非三种，所以常量之间的关系也只有下面给出常用的组,它们既是逻辑代数中的基本运算规则同，又叫公理。,一、基本公式 ：常量之间的关系,公式 1 0 0 = 0 公式2 0 1 = 0 公式3 1 1 = 1 1 + 1 = 1 1 + 0 = 1 0 + 0 = 0,公理是一个代数系

38、统的基本出发点，无需加以证明。,公式4,2010-4,都江堰校区 周 林,56,三、基本定律 ：与普通代数相似的定理 对于任意逻辑变量A、B、C，有 交 换 律 公式8 AB = B A 公式8 A + B = B + A 结 合 律 公式9 ( AB ) C = A( B C ) 公式9 (A + B) + C = A + ( B + C ) 分 配 律 公式10 A( B + C) = AB + AC 公式 10 A + ( BC ) = (A + B)(A + C),2010-4,都江堰校区 周 林,57,交换律，结合律与普通代数的相应定律在形式上完全相同，而分配律在普通代数中只有乘法对

39、加法的分配律（公式10所示），而在逻辑代数中，还有加法对乘法的分配律（公式10所示），为了区别，将（公式10）和（公式10）分别称为第一分配律和第二分配律。以上各个定律证明可以用真值表来进行，将各个变量分别用1和0代入等式的左右来验证。但应注意，必须考虑变量的所有可能的取值组合。例如第二分配律，可列出真值表，可见等式两边相等，原等式成立。,例如证明公式 10 A + ( BC ) = (A + B)(A + C),0 0 0 0 0,0 0 0 1 0,0 0 1 0 0,1 1 1 1 1,0 1 1 1 1,0 1 1 1 1,0 1 1 1 1,1 1 1 1 1,2010-4,都江堰校

40、区 周 林,58,四、逻辑代数的一些特殊定理：,反演律：公式12,还原律：公式13,同一律：公式11 A A = A A + A = A ；,加法对乘法的分配律,2010-4,都江堰校区 周 林,59,公式13 = A,2010-4,都江堰校区 周 林,60,五、关于等式的三个重要规则,逻辑代数有3条重要规则，即代入规则、反演规则和对偶规则。,例如，给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若等式中的C都用 (C+D)代替，则该逻辑等式仍然成立，即 AB+(C+D)= AB+A(C+D) 代入规则的正确性是显然的，因为任何逻辑函数都和逻 辑变量一样，只有0和1两种可能的取值。,任何一个含有变量A的

41、逻辑等式,如果将所有出现A的位 置都代之以同一个逻辑函数Y，则等式仍然成立。这个规则 称为代入规则。,（一）、代入规则,2010-4,都江堰校区 周 林,61,代入规则的意义： 利用代入规则可以将逻辑代数公理、定理中的变量用任 意函数代替，从而推导出更多的等式。这些等式可直接当作 公使用，无需另加证明。,注意：使用代入规则时,必须将等式中所有出现同一变量的地方均以同一函数代替，否则代入后的等式将不成立。,例如，若用逻辑函数Y = f(A1,A2,，An)代替公理A + = 1 中的变量A，便可得到等式 f(A1,A2,，An) + (A1,A2,，An) = 1 即一个函数和其反函数进行“或”

42、运算，其结果为1。,2010-4,都江堰校区 周 林,62,（二）、反演规则,反演规则实际是公式12的推广，可通过公式12和代入规则得到证明。显然，运用反演规则可以很方便地求出一个函数的反函数。,例如，已知函数，根据反演规则可得到,2010-4,都江堰校区 周 林,63,注意: 使用反演规则时，应保持原函数式中运算符号的优先顺序不变。不是一个变量上的反号应保持不变。,（三）、对偶规则,如果将逻辑函数表达式Y中所有的“”变成“+”,“+”变成 “”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，变量不变，并保持原函数中的运算顺 序不变，则所得到的新的逻辑表达式称为函数Y的对偶式， 并记作Y。例如，,例如，

43、已知函数，根据反演规则 得到的反函数应该是 而不应该是！错误,2010-4,都江堰校区 周 林,64,注意：如果Y的对偶式是Y，则Y的对偶式就是Y。即，(Y)=Y,可见Y和Y互为对偶式。,若逻辑函数表达式的对偶式就是原函数表达式本身，即Y=Y，则称函数Y为自对偶函数。,多次应用分配律,2010-4,都江堰校区 周 林,65,注意:求逻辑表达式的对偶式时，同样要保持原函数的运算顺序不变。,显然，利用对偶规则可以使定理、公式的证明减少一半。,若两个逻辑函数表达式Y和F相等，则其对偶式Y和F也相等。这一规则称为对偶规则。 根据对偶规则，当已证明某两个逻辑表达式相等时，即可知道它们的对偶式也相等。,例

44、如已知AB+ C+BC=AB+ C，根据对偶规则对等式两 端的表达式取对偶式，即可得到等式 (A+B)( +C)(B+C)=(A+B)( +C),2010-4,都江堰校区 周 林,66,公式14AB + A = A ( A + B ) ( A+ ) = A,六、若干常用公式,(合并律),公式15A + A B = A；A ( A + B ) = A,（吸收律1),公式15说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项是另一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。,2010-4,都江堰校区 周 林,67,公式16 （吸收律2),公式17 （吸收律3),公式16说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积

45、项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。,证明：,2010-4,都江堰校区 周 林,68,公式17证明,公式17 （推论),2010-4,都江堰校区 周 林,69,公式18,公式19,2010-4,都江堰校区 周 林,70,七、关于异或运算的一些公式；,前面对异或运算已有了定义，其表达式为：,同或逻辑与异或逻辑的关系既互为相反，又互为对偶。即有：,2010-4,都江堰校区 周 林,71,1、交换律： AB=B A 2、结合律： （AB）C= A(BC) 3、分配律： A（BC）= ABAC,5、 异或逻辑的因果互换关系： 如果 AB = C 则有 AC = B BC = A,证明： A

46、BB = CB A0 =CB A = BC,2010-4,都江堰校区 周 林,72,1、 正理解代入规则，反演规则，对偶规则。 2、逻辑代数的公式和定理是推演、变换及化简逻辑函数的依据，要掌握常用公式及定理，如合并公式，吸收公式。 3、作业：P69 1-5,本次课小结,2010-4,都江堰校区 周 林,73,（一）、代入规则,（二）、反演规则,（三）、对偶规则,公式14AB + A = A ( A + B ) ( A+ ) = A,公式15A + A B = A；A ( A + B ) = A,公式16 （吸收律2),公式17 （吸收律3),上次课复习,2010-4,都江堰校区 周 林,74,

47、1.2 逻辑函数的化简方法,化简逻辑函数，经常用到的方法有两种：一种叫做公式法化简，就是用逻辑代数中的公式定理进行化简；另一种称为图形法化简，用来进行化简的工具是卡诺图。一般地说，逻辑函数的表达式越简单，实现它的电路也越简单，经济可靠。 在讲逻辑函数化简前，先介绍一下逻辑函数表达的基本形式及标准形式。,实现某一逻辑功能的逻辑电路的复杂性与描述该功能的逻辑表达式的复杂性直接相关。一般说，逻辑函数表达式越简单，设计出来的相应逻辑电路也就越简单。 为了降低系统成本、减小复杂度、提高可靠性，必须对逻辑函数进行化简。,由于“与-或”表达式和“或-与”表达式可以很方便地转换成任何其他所要求的形式。因此，从

48、这两种基本形式出发讨论函数化简问题，并将重点放在“与-或”表达式的化简上。,2010-4,都江堰校区 周 林,75,一、 逻辑函数表达式的两种基本形式,两种基本形式：指“与-或”表达式和“或-与”表达式。,（一）、“与-或”表达式,“与-或”表达式：是指由若干“与项”进行“或”运算构成的表达式。每个“与项”可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相“与”组成。,概述： 逻辑函数表达式的形式与变换,任何一个逻辑函数，其表达式的形式都不是唯一的。下面从分析与应用的角度出发，介绍逻辑函数表达式的基本形式、标准形式及其相互转换。,2010-4,都江堰校区 周 林,76,“与项”有

49、时又被称为“积项”，相应地“与-或”表达式又称为“积之和”表达式。,（二）、“或-与”表达式,“或项”有时又被称为“和项”，相应地“或与”表达式又称为“和之积”表达式。,“或-与”表达式：是指由若干“或项”进行“与”运算构成的表达式。 每个“或项”可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相“或”组成。例如，、D 均为“或项”，将 这4个“或项”相“与”便可构成一个4变量函数的“或-与”表 达式。即,2010-4,都江堰校区 周 林,77,该逻辑函数是“与或”式？不是！是“或与”式？也不是！但不论什么形式都可以变换成两种基本形式。,1.2.1 逻辑函数的标准与或式和最简式,

50、逻辑函数的两种基本形式都不是唯一的。例如,为了在逻辑问题的研究中使逻辑功能能和唯一的逻辑表达式对应，引入了逻辑函数表达式的标准形式。逻辑函数表达式的标准形式是建立在最小项和最大项概念的基础之上的。,逻辑函数表达式可以被表示成任意的混合形式。例如,2010-4,都江堰校区 周 林,78,一、标准与或表达式：,（1）定义：如果一个具有n个变量的函数的“与项”包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现一次，且仅出现一次，则该“与项”被称为最小项。有时又将最小项称为标准“与项”。,（一）最小项的概念,（2）最小项的数目：n个变量可以构成2n个最小项。,例如，3个变量A、B、C可以构成8个最小

51、项。,2010-4,都江堰校区 周 林,79,（3）最小项的表示方法(最小项编号)：通常用符号mi来表示最小项。 下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。,如：3变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：,2010-4,都江堰校区 周 林,80,（4）最小项的性质：,任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。取1的机会最小,故 称“最小项”。, n个变量的全部最小项之和必为1。,任意两个不同最小项相之积必为0。即 mi mj = 0,2010-4,都江堰校区 周 林,81,

52、性质4： n个变量构成的最小项有n个相邻最小项。,任意两个相邻项是满足互补律的；,相邻最小项：是指除一个变量互为相反外，其余部分均相同的最小项。例如 ，三变量最小项A B C有三个相邻项。,（二）标准与或表达式,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式，是组成逻辑函数的基本单元。,2010-4,都江堰校区 周 林,82,1、定义：如果一个具有n个变量函数的“或项”包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现一次，且仅出现一次，则该“或项”被称为最大项。有时又将最大项称为标准“或项”。,*二标准或与表达式,数目：n个变量可以构成2n 个最大

53、项。 例如，3个变量A、B、C可构成以下8个最大项。,(一) 最大项的概念,2010-4,都江堰校区 周 林,83,3、性质：最大项具有如下四条性质。,2、最大项的简写表示法：用Mi表示最大项。 下标i的取值规则是：将最大项中的原变量用0表示，反变量用1表示，由此得到一个二进制数，与该二进制数对应的十进制数即下标 i 的值。例如，3变量A、B、C构成的最大项 可用 M5 表示。因为,2010-4,都江堰校区 周 林,84,（1） 任意一个最大项，仅有一组变量取值使其值为0。其值为1的变量取值组合数最多的一种“或项”，因而将其称为最大项。,（2） 相同变量构成的两个不同最大项相“或”为1。即 M

54、 i + M j = 1,（3） n个变量的全部最大项相“与”为0。记为,2010-4,都江堰校区 周 林,85,性质4 ：n个变量构成的最大项有n个相邻最大项。相邻最大项是指除一个变量互为相反外，其余变量均相同的最大项。,4最小项和最大项的关系,在同一问题中，下标相同的最小项和最大项互为反函数。或者说，相同变量构成的最小项mi和最大项Mi之间存在互补关系。即,例如，由3变量A、B、C构成的最小项m3和最大项M3之间有,2010-4,都江堰校区 周 林,86,（二）标准“或-与”表达式,由若干最大项相“与”构成的逻辑表达式称为标准“或-与”表达式，也叫做最大项表达式 。,该表达式又可简写为,2

55、010-4,都江堰校区 周 林,87,（一）最简与或式：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式，叫最简与或表达式。,(二)、最简与非与非式：非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非与非式。 写法：在最简与或表达式的基础上，两次取反，再用反演律去掉下面的反号。,三、逻辑函数的最简表达式,2010-4,都江堰校区 周 林,88,解：,（三）、最简或与式：括号个数最少，每个括号中相加的变量的个数也最少的或与式。 写法：在反函数最简与或表达式的基础上，取反，再用反演律对掉反号。,解：写出上式的反函数：,取反：,例如 写出函数 的最简或与式,2010-4,都江堰校区 周

56、林,89,(四)、最简或非-或非式：非号个数最少，非号下面相加变量的个数最少的或非-或非式。 写法：在最简或与式基础上，两次取反，再用反演律去掉下面的反号。,例如 写出函数 的最简或非-或非表达与式,（五）、最简与或非式：在非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式，叫最简与或非表达式。 写法：在最简或非-或非式基础上，用反演律去掉大反号下面的小反号。,结论：只要得到了函数的与或式，再用摩根定理进行适当变换，任何一个逻辑函数式都可以通过逻辑变换写成以上五种形式。,2010-4,都江堰校区 周 林,90,1.2.2 逻辑函数的公式化简法,公式化简法就是运用逻辑代数

57、的公理、定理和规则对逻辑函数进行化简的方法。 这种方法没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对逻辑代数中公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。,一、“与-或”表达式的化简,几种常用方法如下：,1并项法,利用定理，将两个“与”项合并成一 个“与”项，合并后消去一个变量。例如，,2010-4,都江堰校区 周 林,91,解：先用摩根定理展开与非项，再用吸收法即可得,2010-4,都江堰校区 周 林,92,实际应用中遇到的逻辑函数往往比较复杂，化简时应灵活使用所学的公理、定理及规则，综合运用各种方法。 下面举例说明。,2010-4,都江堰校区 周 林,93,例1 化简,解：,例2 化简,解,2010

58、-4,都江堰校区 周 林,94,二、“或-与”表达式的化简,用代数化简法化简“或-与”表达式可直接运用公理、定理中的“或-与”形式，并综合运用前面介绍“与-或”表达式化简时提出的各种方法进行化简。,例如，化简,解,吸收定理,多余项定理,2010-4,都江堰校区 周 林,95,当对公理、定理中的“或-与”形式不太熟悉时，可以采 用两次对偶法。具体如下：,第一步：对“或-与”表达式表示的函数Y求对偶，得到“与-或”表达式Y；,第二步：求出Y的最简“与-或”表达式；,第三步：对Y再次求对偶,即可得到Y的最简“或-与” 表达式。,例如，化简,解：第一步：求Y的对偶式Y；,第二步：化简Y ；,第三步：对Y求对偶, 得到Y的最简“或-与”表达式。,2010-4,都江堰校区 周 林,96,解：,例1.2.16 化简逻辑函数：,（利用 ）,再举几个例子：,例1.2.17 化简逻辑函：,解法1：,解法2：,Y,Y,2010-4,都江堰校区 周 林,97,解：,（利用反演律 ）,（配项法）,（利用 ）,（利用A+AB=A）,（利用A+AB=A）,（利用 ）,例3.1.7 化简逻辑函数：,Y,2010-4,都江堰校区 周 林,98,1、正确理解最小项概念：,2、熟悉