(计算机图形学)三维变换与投影.ppt

1、第六章,三维变换与投影,6.1 三维图形几何变换 6.2 三维基本几何变换矩阵 6.3 三维复合变换 6.4 坐标系变换 6.5 平行投影 6.6 透视投影 6.7 本章小结,本章内容,三维几何变换算法,同二维变换类似，三维变换同样引入了齐次坐标技术，在四维空间（x,y,z,w）内进行讨论。定义了规范化齐次坐标以后，三维图形几何变换就可以表示为物体顶点集合的规范化齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形式。用规范化齐次坐标表示的三维图形几何变换矩阵是一个44方阵，简称为三维几何变换矩阵。,6.1 三维图形几何变换,6.1.1三维几何变换矩阵,（6-1）,T =,旋转、比例、错切、对称,平移,透视投影

2、,总体比例,6.1.2 三维几何变换,（6-2）,6.2 三维基本几何变换矩阵,6.2.1 平移变换,（6-3）,6.2.2 比例变换,（6-4）,（6-5）,其中Sx，Sy，Sz分别为沿x，y，z轴方向的比例因子。 对点进行比例变换： x y z 1Ts = Sx Sy Sz 1 = x y z 1,注意：针对原点的比例变换,6.2.3对称(反射)变换,三维对称变换包括对坐标轴和对坐标平面的对称： 对x轴的对称变换,(2)对y轴的对称变换,(3)对z轴的对称变换,(4) 对xoy平面的对称变换,变换矩阵：,(5) 对xoz平面的对称变换,变换矩阵为：,(6) 对yoz平面的对称变换,变换矩阵

3、为：,上述的对称变换结果如图所示。,图 分别对XOY（左）、XOZ（中）和YOZ（右）平面对称变换结果,错切变换是指三维立体沿x，y，z三个方向产生错切，错切变换是画斜轴测图的基础，其变换矩阵为：,x y z 1Tsh = x+dy+hz bx+y+iz cx+fy+z 1 = x y z 1 由变换结果看出，一个坐标的变化受另外两个坐标变化的影响。,6.2.4 错切变换,变换矩阵：,错切变换： x y z 1Tsh,x(y) = x+dy y z 1 = x y z 1, 沿x含z错切,变换矩阵：,错切变换： x y z 1Tsh,x(z) = x+hz y z 1 = x y z 1, 沿

4、x含y错切, 沿y含x错切,变换矩阵:,错切变换： x y z 1Tsh,y(x) = x y+bx z 1 = x y z 1, 沿y含z错切,变换矩阵：,错切变换： x y z 1Tsh,y(z) = x y+iz z 1 = x y z 1, 沿z含x错切,变换矩阵：,错切变换： x y z 1Tsh,z(x) = x y z+cx 1 = x y z 1, 沿z含y错切,变换矩阵：,错切变换： x y z 1Tsh,z(y) = x y z+fy 1 = x y z 1,与二维旋转变换类似，三维旋转变换可分为绕坐标轴旋转变换和绕任意轴的旋转变换，这里我们先讨论前者。,三维旋转变换可以看

5、作是三个二维旋转变换，且旋转轴分别为x，y，z轴。,6.2.5旋转变换,旋转角度为时，点的旋转方向： 旋转轴 相应的旋转方向 x轴从y轴到z轴 y轴从z轴到x轴 z轴从x轴到y轴,绕X轴变换 空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。,x = x y = cos(+) = y*cos- z*sin z = sin(+) = y*sin+z*cos,绕Y轴旋转 此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。,x = sin(+) = x*cos + z*sin y = y z = cos(+) = z*cos- x*sin,绕Z轴旋转 此时，Z坐标不变，X，Y坐标相

6、应变化。,x = cos(+) = x*cos - y*sin y = sin (+) = x*sin+ y*cos z = z,图 物体分别绕x（左）、y（中）、z（右）轴旋转90变换结果,物体分别绕x，y，z轴旋转90变换结果如图所示。,三维图形几何变换,与二维组合变换一样，通过对三维基本变换矩阵的组合，可以实现对三维物体的复杂变换。 用三维组合变换的方法来解决绕任意轴旋转的问题。如图所示，设空间一般位置的旋转轴是P1P2， P1的坐标是(xP1，,yP1，zP1)，P2的坐标是(xP2，yP2，zP2)，空间一点P(x，y，z)绕P1P2轴旋转角到P(x，y，,z)，即：,图 绕任意轴旋

7、转,6.3 三维复合变换,逆时针旋转角的分步变换矩阵。,在3个坐标轴上的方向余弦分别为,，求空间一点,P(x，y，z)绕,例6-1 已知空间矢量,(1) 将P0(x0，y0，z0)点平移到坐标原点,(4)将P(x，y，z)点绕z轴逆时针旋转角,绕直线P1P2旋转角的过程可分解为下列步骤： 把点P1 (x1, y1, z1)移至原点； 绕x轴旋转，使直线与xoz平面重合； 绕y轴旋转，使直线与z轴重合； 绕z轴旋转角； 执行步骤(3)的逆变换； 执行步骤(2)的逆变换； 执行步骤(1)的逆变换；, 将点P与旋转轴P1P2一直起作平移变换，使旋转轴P1P2过原点， P1与原点重合，其变换矩阵为：,

8、 令P1P2轴首先绕X轴逆时针旋转角，使其与XOZ平面共面，然后再绕Y轴顺时针旋转角，使其与Z轴重合，该变换矩阵为：,绕X轴旋转角 绕Y轴旋转角,其中，和角可通过旋转轴的两个端点的坐标计算得到。, 对步骤作逆变换，将P1P2旋转回到原来的位置，变换矩阵为：, 对步骤作逆变换，将旋转轴平移回到原来的位置，变换矩阵为：, 将P点绕Z轴（即P1P2轴）逆时针旋转角，变换矩阵为：,上述五步连起来，便组成绕任意轴的旋转变换矩阵：,注意：变换的过程有多种选择。如果中间的几个旋转次序变了，则各个矩阵的对应矩阵参数也会不同。,在二维屏幕上如何表示三维物体？ 显示器屏幕、绘图纸等是二维的,显示对象是三维的。解决

9、方法？ 投影 三维显示设备 要把现实世界的三维物体在计算机的二维屏幕上表示出来，必须经过投影变化这一步骤，把物体从三维表示形式转化为二维表示形式。,根据投影中心（COP）与投影平面之间的距离（无限和有限），投影变换可分为平行投影以及透视投影。,平行投影：真实感不强，图形比例不变，用于工程制图等,透视投影：真实感强，近大远小,投影变换分类,6.5 平行投影,由于显示器只能用二维图像表示三维物体，因此三维物体就要靠投影来降低维数得到二维平面图形，因此把三维坐标转变为二维坐标的过程称为投影变换。 根据投影中心与投影面之间的距离的不同，投影可分为平行投影和透视投影。投影中心到投影面的距离为无限大时得到

10、的投影称为平行投影，而对于透视投影，这个距离是有限的。平行投影又可分为斜投影和正交投影。投影方向不垂直于投影面的平行投影称为斜投影，投影方向垂直于投影面的平行投影称为正交投影。正交投影的最大特点是无论物体距离视点（眼睛或摄像机）多远，投影后的物体尺寸保持不变，常用于绘制物体的三视图。,根据投影线是否垂直于投影平面，平行投影可分为： 正交（正平行）投影 三视图:三个投影面和坐标轴相互垂直 正轴测投影:投影面和坐标轴呈一定的关系（即不垂直） 斜平行投影,35,正交投影：投影方向垂直于投影平面时称为正平行投影 三视图 正轴侧投影,三视图：三个投影面和坐标轴相互垂直。正投影面V（ZOX)，侧投影面W（

11、YOZ），水平投影面H（XOY） 三视图的生成就是把x、y、z 坐标系下的形体投影到x=0，y=0，z=0的平面，一般还需将三视图在一个平面上画出。,6.5.1. 正交投影,顶(俯)视图H,6.5.2 三视图,1、主视图（投影）:将物体向正面（XOZ面）投影得到 令Y=0，变换矩阵为：,点在XOZ面上投影的坐标变换为：,2俯视图: 将物体向XOY面投影，在XOZ平面上得到的俯视图,Z = 0,绕X轴顺时针旋转90，使其与XOZ面共面,沿负Z方向平移一段距离，以使正视图和俯视图之间保持一段距离。,点在XOZ面上投影的坐标变换为：,变换矩阵为：,3侧视图:将物体向YOZ面作正投影，在XOZ面得到侧

12、视图。,令X=0 绕Z轴逆时针旋转90，使其与XOZ面共面 为保证与正面投影有一段距离，再沿负X方向平移一段距离，这样即得到侧视图。,dx,点的侧面投影变换为：,由上述我们可以看出，三个视图中y均为0，这是由于变换后三个视图均落在XOZ平面上的缘故。这样，可用x，z坐标直接画出三个视图。,变换矩阵为：,包含平移变换的三视图变换矩阵,，,，,（6-39）,下面3组三视图中，虽然主视图和侧视图完全相同，但俯视图的细微差异导致了物体的三种不同结构。,(1) (2) (3),三视图平移矩阵,优点：保留了长度、角度。及物体的形状。 缺点：没有立体感。（丢失了许多面的信息,只有一个面的信息）,正轴测图,如

13、何得到？利用三视图。先将物体绕坐标轴旋转，再进行投影。,正轴测投影的形成过程如下：,将空间一立体绕某一坐标轴正向旋转角；（取Z轴）,注：由于这种投影的投影平面不与立体的轴线垂直，同时可见到物体的多个面，因而可产生立体效果。经过正轴测投影变换后，物体线间的平行性不变，但角度有变化。,然后再绕另一坐标轴反向旋转角；（取X轴）,最后向包含这两个坐标轴的平面正投影。（取XOZ平面）,正轴测投影变换矩阵 正轴测投影是将物体绕Z轴逆时针旋转角，再绕X轴顺时针旋转角然后向V面（XOZ面）投影而得到。变换矩阵为：,原坐标轴经轴测投影变换后，其在V(XOZ)面上的投影长度发生变化，我们把OX/OX=x，OY/O

14、Y =y ，OZ/OZ =z 分别称为OX轴，OY轴和OZ轴的轴向变形系数。,为了便于讨论，我们沿X，Y，Z方向各取一单位长度，可得三点的齐次坐标分别为：A1 0 0 1，B0 1 0 1，C0 0 1 1 。对其进行正轴测投影变换，变换得：,这样，x，y，z三个轴向的变形系数为：,正等轴测：三个轴线方向上缩放率（投影缩短系数）等（即三个轴上投影等同缩短） 正二轴测：两个轴线方向上缩放率等 正三轴测: 三个轴线方向上缩放率不等,正轴侧图分类,解： 将=45，= 3516代入 得到正等轴测投影变换矩阵为：,由于这种投影的投影平面不与立体的轴线垂直，同时可见到物体的多个面，因而可产生立体效果。 经

15、过正轴测投影变换后，物体线间的平行性不变，但角度有变化。线条比例发生变化。 真实感差。（没有远小近大的效果）,投影变换分类,三视图,6.5.3 斜投影,将三维物体向投影面内作平行投影，但投影方向不垂直于投影面得到的投影称为斜投影。与正交投影相比，斜投影具有较好的立体感。斜投影也具有部分类似正交投影的可测量性，平行于投影面的物体表面的长度和角度投影后保持不变。,斜等测投影 投影平面与一坐标轴垂直，投影线与投影平面成45角，与投影平面垂直的线投影后长度不变 斜二测投影 投影平面与一坐标轴垂直，投影线与该轴夹角成 arcctg(1/2)角，该轴轴向变形系数为 。即与投影平面垂直的线投影后长度变为原来

16、的一半。,OP = OP,OP = 2OP,斜平行投影求法,设物体被投影到XOZ平面上，物体上的一点(x,y,z)在XOZ平面上投影后(xs,ys,zs),(x,0,z),结论：斜平行投影由沿x含y错切，沿z含y错切，向XOZ平面投影组合而成,投影变换分类,三视图,6.6 透视投影,与平行投影相比，透视投影的特点是所有投影线都从空间一点（称为视点或投影中心）投射，离视点近的物体投影大，离视点远的物体投影小，小到极点消失，称为灭点（vanishing point）。一般将屏幕放在观察者和物体之间。投影线与屏幕的交点就是物体上一点的透视投影。视点代表人眼或照相机、摄像机的位置，是观察坐标系的原点。

17、视心是屏幕坐标系的原点。,视径R,屏幕,视点,物体,视距d,透视变换中屏幕的位置,6.6 透视投影,产生透视的原因，可用下图来说明：,近大远小,若连接abc及abc，它们的连线汇聚于一点。这点我们称之为灭点。,一点透视：只有一个主灭点，此时画面平行投影对象的一个坐标平面，因此也称为平行透视， 二点透视:有两个主灭点，此时画面平行于投影对象的一根坐标轴（例如Z轴），而与二个坐标平面成一定的角度（一般为20-30），因此也称之为成像透视； 三点透视:有三个主灭点，此时投影平面与投影对象的三根坐标轴均不平行，因此也称做斜透视。,主灭点:平行于坐标轴的平行线产生的灭点，即坐标轴上灭点称为主灭点。它的个

18、数由与投影平面相交的坐标轴个数确定。,6.6.1基本概念,6.6.1基本概念,一点透视图,两点透视图,三点透视图,68,具有真实感。 与投影面不平行的平面中，线条的平行关系、长度、及角度会发生改变。,一点透视有一个主灭点，即屏幕仅与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 若投影平面仅切割Y轴，则Y轴是投影平面的法线。平行于XOZ平面的直线也平行于投影平面，因而没有灭点，所以只在Y轴上有一个主灭点。,6.6.2一点透视,P:(x,y,z) P :(x,y,z) S ：视点(0,y2,0) 点P的透视：PS与平面的交点,根据三角关系有：,如令O，O重合，则画面就是XOZ平面（V面），即令y=0，上

19、式可简化为：,把这种简单的透视投影变换写成矩阵的形式：,令 , 则主灭点在y轴上 处、画面为XOZ平面的一点透视变换矩阵为：,思考：q的取值与投影图大小关系,q值越大，则灭点离中心点越近，则投影图越大,思考： 除了用三角关系得到一点透视矩阵外，还可以用其它方法吗？,直线方程,对点进行一点透视投影变换：,为了增强透视效果，通常将物体置于面V(XOZ)之后，水平面H(XOY)之下，若物体不在该位置时，应首先把物体平移到此位置，然后再进行透视投影变换。q的选择决定了视点的位置，一般选择视点位于面V之前。,对物体上的每一个顶点都作上述处理，在画面上就可得到这些顶点的透视，顺序连接这些点，即得到物体的一

20、点透视图。,类似，若主灭点在 X轴或Z轴上，变换矩阵可分别写为：,构造一点透视 的步骤：,例：对一个长方体(0,8,0),(10,8,0)(10,8,6)(0,8,6)(0,0,0)(10,0,0)(10,0,6)(0,0,6)进行一点透视投影变换,为增加立体效果，平移量为k=30，m= 8，n= 20，设q= 0.1 解：首先将长方体平移到V面后，H面下，然后进行一点透视投影变换：,(1)将三维体平移到适当位置k,m,n (2)视点设在Y轴，进行一点透视 (3)向XOZ平面作正投影，结果投影在XOZ平面上,=,变换结果如图所示。,图 长方体的一点透视投影图,例：设一点P（1，5，-10），以

21、XOY为投影平面 （1）采用正交投影，计算正投影点PV坐标。 （2）采用一点透视，以Q（0，0，8）为中心，计算透视投影点PW坐标。,规格化后：,（2）方法一：,（2）方法二： 根据直线参数方程有：,向XOY平面投影，故z=0 即:,透视投影点PW坐标为,6.6.3二点透视： 二点透视有两个主灭点，即屏幕仅与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行,人眼观看的立方体是绕Z轴旋转一个角度之后，再进行透视投影。三坐标轴中oz轴与投影平面平行，这时除平行于oz轴的那组平行线外，其它两组平行线的透视投影分别在投影平面的左右两侧，作出的立方体透视图产生两个主灭点。,变换矩阵：改变物体与画面的相对位置，即使物体

22、绕Z轴旋转角，以使物体上的主要平面（XOZ，YOZ平面）与画面成一定角度，然后进行透视投影变换即可获得二点透视投影图。,80,如果物体所处位置不合适，则需对物体进行平移，为使旋转变换不受平移量的影响，平移变换矩阵应放在旋转变换矩阵与透视投影变换矩阵之间。,构造二点透视 的步骤,(1)绕Z轴旋转一个角度，方向满足右手定则 (2)将三维体平移到适当位置k,m,n (3)视点设在Y轴，进行透视变换 (4)向XOZ平面作正投影，结果投影在XOZ平面上,解：设=30，q=0.1，平移量为：k=8，m=6，n=10。先对图形进行旋转变换，然后再进行平移变换，最后进行透视投影变换：,例：对一个长方体进行二点

23、透视投影变换,=,变换结果：,图 长方体的二点透视投影图,6.6.4三点透视,三点透视有三个主灭点，即屏幕与三个坐标轴都相交，这时的三组平行线均产生主灭点。,变换矩阵：把物体绕Z轴旋转角，再绕X轴旋转角，使物体上的三个平面与画面都倾斜，然后进行透视投影变换，即可得到物体的三点透视图。,如果需要把物体平移到合适的位置，则应把平移变换矩阵放在旋转变换矩阵与透视变换矩阵之间。,构造三点透视 的步骤,绕Z轴旋转一个角度，方向满足右手定则 绕X轴旋转一个角度，方向满足右手定则 将三维体平移到适当位置k,m,n 视点设在Y轴，进行透视变换 向XOZ平面作正投影，结果投影在XOZ平面上,轴测投影与透视投影的

24、区别,轴测投影不改变三维实体中平行线段的平行性；透视投影至少会改变某一方向上的平行线段的平行性 轴测投影立体感较强；透视投影真实感较强 工程设计一般使用轴测投影；艺术方面一般使用透视投影,投影变换分类,三视图,物体是三维坐标系，屏幕是二维坐标系。投影就是将三维转换为二维，也就是处理掉z坐标。 观察坐标系的三维坐标转换为屏幕坐标系的二维坐标的方法有以下几种：,1.,直接不写z坐标是正交投影,2.,线性运算是斜投影,3.,非线性运算是透视投影,6.6.5 三维图形显示流程及视向变换,世界坐标系：右手直角坐标系 观察坐标系：左手直角坐标系（Z轴向视线方向，Y轴向视线正上方）,三维空间到二维平面,三维

25、空间到二维平面,6.6.5.1 视向变换矩阵,把世界坐标系中的点P(x,y,z)转换为观察坐标系中的点P*(x*,y*,z*)的过程称为“视向变换”。视向变换也是一种坐标变换（只有平移和旋转），可以用矩阵的形式表示为：,x* y* z* 1 = x y z 1T 式中的T称为视向变换矩阵。因为视向变换是不能靠一次单一的简单变换就可以实现的，所以视向变换矩阵T是一个包括平移和旋转的多次变换的级联。,世界坐标系统到观察坐标系变换（二维视向变换）,平移变换矩阵,坐标系的旋转变换 使用相反方向的旋转变换矩阵。如绕z轴的逆时针旋转变换，应使用顺时针旋转变换矩阵，反之亦然。,（6-30）,（6-29）,二

26、维视向变换矩阵,三维视向变换矩阵T的推导过程：, 因为观察坐标系的原点设置在观察点，所以一旦选定了观察点，观察坐标系的原点也就确定了。这一步把坐标系原点变到观察点位置的变换，是通过把坐标系原点从世界坐标系的原点平移到观察点E(x,y,z）来完成的。,三维视向变换矩阵,因为是原坐标系的原点作了一次平移动，所以原坐标系中的点变为新坐标系中的点时，新坐标值则为原来的值减去这个平移量。故该平移变换矩阵T1为：, 第二步是将经过平移后的坐标系绕x轴逆时针旋转90，改变y轴和z轴的指向，使得y轴垂直向上，z轴垂直指向xwozw坐标平面，如图所示的那样，该旋转变换矩阵为：, 第三步是将经过上两次变换后的坐标

27、系绕y轴顺时针旋转一个值为的角度，使得新坐标系的z轴垂直指向原来世界坐标系的zw 轴，见图所示。 这次绕y旋转的变换矩阵为：,其矩阵中的三角函数值可以用直角三角形的关系求得。即：, 第四步是将经过以上三次变换后的坐标系再一次绕x轴逆时针旋转角，将新坐标系的z轴指向原世界坐标系的原点，见图所示。,这次旋转的变换矩阵为：,同样可以由直角三角形的关系推导出矩阵中三角函数的值：, 经过以上的四次变换后，我们已经使得新的坐标系的原点放置到了观察点，并使z轴指向了原世界坐标系的原点（观察点），y轴指向上面。,唯一所差的是x轴还未变为指向右边。所以这最后的一步变换是要调整x轴的指向，使其由原来指向左边改变成

28、指向右边。从而最终使得坐标系由原来的右手系改变成了左手系，完成了视向变换的全过程。 实现改变x轴指向的变换矩阵为：,先后经过上述的五次变换，实现了由原来世界坐标系到观察坐标系的转变，从而完成了视向变换，所以视向变换矩阵T就是上面五个基本变换矩阵的级联，即：,x，y，z为观察点的三坐标值。,式中：,6.6.5.2 窗口与视区,窗口 “窗口”一词对大家并不陌生，在日常生活中也常遇到。例如，我们坐在教室里，透过窗户向外看，尽管外面的世界是无限的，然而映入我们眼帘的仅仅是一小部分，其余的均被窗户周围的墙遮挡了。这里，窗户就是一个窗口，即观察区域。,在计算机中，窗口是图形的可见部分，是在用户坐标系中定义的确定显示内容的一个矩形区域，只有在这个区域内的图形才能在设备坐标系下输出，而窗口外的部分则被裁掉。,如图所示，我们用矩形的左下角点的坐标（Wxl，Wyb）和右上角点的坐标（Wxr，Wyt）来确定窗口的大小和位置，通过改变窗口的大小、位置和比例，可以方便地观察局部图形，控制图形的大小。,图 窗口的定义,视区 视区是窗口映射到显示设备上的区域。 在设备坐标系（通常是屏幕）