1.2.1充要条件

1、从前面的学习中, 我们知道命题的条件和结论是相对的, 在一个命题中是条件, 在另一个命题中就可能是结论. 今天我们研究同一个命题中条件和结论的关系.,1.2.1充分条件与必要条件,q是 p 的充要条件.,1. “若 p, 则 q”为真命题,这时, 我们就说, 由 p 可推出 q,p是q 的充分条件,q是p 的必要条件,2. “若 p, 则 q”为假命题,那么由 p 推不出 q.,p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件,p是q的充要条件,p与q互为充要条件,温故知新,也说成“p与q等价”,“q当且仅当 p”等.,原命题真,逆命题假,原命题真,原命题真,逆命题真,【要点1】 如何判断“p是

2、q的充分条件”、 “必要条件”、 “充要条件”?,【剖析】主要看 “p”与 “q”谁能推出谁,pq,p 是 q 的充分条件;,q是p的必要条件;,p与q互为充要条件.,p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.,【要点2】 如何从集合的角度去理解充分条件、必要条件的概念?,【剖析】首先建立与 p, q 相应的集合,q: Bx|q(x).,AB,A=B,p 是 q 的充分条件,p 是 q 的充分不必要条件,p 是 q 的充要条件,p: Ax|p(x).,B,B,p 既不是 q 的充分条件又不是q的必要条件,“小推大”!,x5,x3?,例1 下列“若 p, 则 q”形式命题中，哪些命题的p是

3、q的充分条件?,(1) 若x=1,则x24x3=0;,(2) 若f(x)=x,则f(x)为增函数;,(3) 若x为无理数,则x2无理数;,解: 命题(1)(2)是真命题,所以命题(1)(2)中的p是q的充分条件.,题型1 充分条件与必要条件的判断,所以命题(1)(2)中的q是p的必要条件.,原命题真 ?,命题(3)是假命题.,哪些命题的q是p的充分条件?,pq,题型1 充分条件与必要条件的判断,例2:下列形如“若 p, 则 q”的命题是否是真命题?它的,逆命题是真命题吗? p 是 q 的什么条件?,(1)若直线 a 与平面的一条直线垂直, 则 a; (2)若两直线平行, 则它们的斜率相等;,(

4、3)若数列的通项公式为 ann, 则它的前 3 项为 a11,a22, a33.,自主解答:(1)原命题是假命题,逆命题是真命题,故 p 是q 的必要但不充分条件.,(2)原命题和逆命题都是假命题, 故 p 是 q 的既不充分也不必要条件.,(3)原命题是真命题, 故 p 是 q 的充分但不必要条件.,pq,逆命题是假命题,例3 下列各命题中，哪些p是q的充要条件?,(1) p:b=0, q:f(x)=ax2bxc是偶函数;,(2) p:x0, y0, q:xy0;,(3) p:ab, q:acbc;,解: 在(1)(3)中,所以(1)(3)中的p是q的充要条件.,在(2)中,所以(2)中的p

5、不是q的充要条件.,题型1 充分条件与必要条件的判断,p是q的充分不必要条件.,例1 下列“若 p, 则 q”形式命题中，哪些命题的p是q的充分条件?,(1) 若x=1,则x24x3=0;,(2) 若f(x)=x,则f(x)为增函数;,(3) 若x为无理数,则x2无理数;,解: 命题(1)(2)是真命题, 命题(3)是假命题.,所以命题(1)(2)中的p是q的充分条件.,(1) 若 x=y, 则x2=y2;,(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等,(3) 若ab, 则acbc;,例2 下列“若 p, 则 q”形式命题中，哪些命题的q是p 的必要条件?,解: 命题(1)(2)是真命题

6、, 命题(3)是假命题.,所以命题(1)(2)中的q是p 的必要条件.,【变式与拓展】 1.指出下列各组命题中, p是q的什么条件? (1)p: (x2)(x3)0; q:x20. (2)p: 四边形的对角线相等; q:四边形是平行四边形.,题型1 充分条件与必要条件的判断,p是q的必要不充分条件,p是q的既不充分也不必要条件.,(1),(2),【变式与拓展】 2.“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,C,题型1 充分条件与必要条件的判断,mn0,方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭

7、圆,【变式与拓展】 3. (2012 年安徽)设平面与平面相交于直线 m, 直线 a 在平面内，直线 b 在平面内，且 bm，则“” 是“ab”的( ),A,A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件,m,b,a,m,b,a,ab,题型2 充分条件与必要条件的应用 例4:不等式(ax)(1x)0 成立的一个充分不必要条件是,2x1，则实数 a 的取值范围是( ),Aa2 Ba2 Ca2 思维突破:将命题用集合表示出来, 探究充分条件和必要条件.,解: 设p: (ax)(1x)0;,q: 2x1;,(1) a1:,a2,(2) a1:,p: 1 xa;,C,q,q,(

8、1) a1:,a2,p: ax1;,(3) a=1:,(2) a1:,p: ;,不符合,然后再用集合的观点(小推大),p,p,不符合,【变式与拓展】 4. 不等式 2x2 5x30 成立的一个充分不必要条件是,(,),C,Bx0,Ax0,1 2,Cx1,3,5,解、不等式 2x2 5x30的解集,按小推大的原则,m9,思考题: 已知p:2x10, q: 1mx1m (m0) 若p 是q 的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.,【剖析】首先建立与 p, q 相应的集合,p: A2,10.,q: B1m,1m.,若p 是q 的必要而不充分条件,A,B,B,1m2,101m,m3,m9,能否取“=”