《线性代数的应用》PPT课件.ppt

1、线性代数的应用,西安理工大学应用数学系,内容提纲,本篇通过三个具体的应用实例介绍线性代数在工程技术、经济管理等领域中的应用，并给出利用Matlab软件来求解这些具体问题的方法。 药方配制问题 交通流量分析 人口迁徙问题,一、药方配制问题,通过中成药药方配制问题，达到理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量空间等线性代数的知识 问题：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1（单位：克）,一、药方配制问题,（1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。 （2）现在该医院想

2、用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？,一、药方配制问题,解：（1）把每一种特效药看成一个九维列向量，分析7个列向量构成向量组的线性相关性。 若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药； 若向量组线性相关，并且能找到不含 的一个最大线性无关组，则可以配制3号和6号药品。,一、药方配制问题,在Matlab窗口输入 u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8; u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2; u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12; u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0; u5=20;35;5;15;5

3、;35;2;10;0; u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6;,一、药方配制问题,u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20; U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7 U0,r=rref(U) 计算结果为,一、药方配制问题,U0= r= 1 2 4 5 7 1 0 1 0 0 0 0 从最简行阶梯型U0中可以看 0 1 2 0 0 3 0 出，R（U）=5，向量组线性 0 0 0 1 0 1 0 相关，一个最大无关组为 0 0 0 0 1 1 0 u1，u2，u4，u5，u7， 0 0 0 0 0 0 1 u3=u1+2u2 四个零行 u6=3u2+u4

4、+u5 故可以配制新药,一、药方配制问题,（2）三种新药用v1，v2，v3表示，问题化为v1，v2，v3能否由u1-u7线性表示，若能表示，则可配制；否则，不能配制。 令U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3 U0,r=rref(U) 由U0的最后三列可以看出结果,一、药方配制问题,计算结果为 可以看出 v1=u1+3u2+2u4 v2=3u1+4u2+2u4+u7 v3不能被线性表示， 所以无法配制,二、交通流量的分析,通过一个简单的城市交通模型，练习方程组的建立与求解 问题：某城市有如图的交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车流量。 针对每一个

5、十字路口，进入和离开的车辆数相等。 请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量xi（i=1,2,3,4）,二、交通流量的分析,260,251,D,C,320,357,360,260,A,B,220,292,单行道4节点交通图,二、交通流量的分析,解：根据已知条件，得到各节点的流通方程 A： B： C： D：,二、交通流量的分析,整理得方程组为 在Matlab窗口输入,二、交通流量的分析,计算结果为,二、交通流量的分析,三、人口迁徙模型,设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%

6、的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？,三、人口迁徙模型,这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示。 一年以后，市区人口为xc1 (10.06) xc00.02xs0，郊区人口xs1 0.06xc0 (10.02)xs0 用矩阵乘法来描述，可写成：,三、人口迁徙模型,从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为 输入：A0.94,0.02;0.06,0.98, x00.3;0.7 x1A*x0, x10A10*x0, x30A30*x0, x50A50*x0 得到：,三、人口迁徙模型,本题特征值和特

7、征向量的意义： 无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。 为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A的效果，先求A的特征值和特征向量，得到,三、人口迁徙模型,令 它是特征向量的整数化，得到,四、其他应用：情报检索模型,情报检索模型： 假如数据库中包括了n个文件，而搜索所用的关键词有m个。可以把数据库表示为mn的矩阵A。比如有7本书，6个关键词x（初等，代数，矩阵，理论，线性，应用）：则A就是67的矩阵。书名中有此关键词的就将该对应元素置1。 搜索结果可以表示为乘积yATx，它是n1列向量。于是y的各个分量

8、就表示各书与搜索向量匹配的程度。y值最大的元素对应于匹配最好的书籍，是读者可能最需要的。,四、产品成本的计算：,产品成本的计算： 某厂生产三种成品，每件产品的成本及每季度生产件数已知。试提供该厂每季度在每种产品上的成本表。 成本矩阵为M， 季度产量矩阵为P,四、产品成本的计算,将M和P相乘，得到的矩阵设为Q，Q的第一行第一列元素为 Q(1,1)0.140000.320000.1558001870 不难看出，Q表示了夏季消耗的原材料总成本。从线性变换的角度来看，Q矩阵把以件数为单位的产品空间映射到了以元为单位的成本空间。,四、用逆阵进行保密编译码,在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是把英文字

9、母用一个整数来表示。然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别高的数字，很可能对应于字母E。 可以用乘以矩阵A的方法来进一步加密。假如A是一个行列式等于1的整数矩阵，则A1的元素也必定是整数。而经过这样变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译。 接收方只要将这个消息乘以A1就可以复原。,四、网络和图,图为1，2，3，4四个城市之间的空运航线，用有向图表示。则该图可以用下列航路矩阵表示： 经过一次转机（也就是坐两次航班）能到达的城市，可以由邻接矩阵的平方A2A12来求得。,四、信号流图模型,信号流图是用来表示和分析复杂系统内的信号变换关系的工具。

10、 右图方程如下： 写成矩阵方程 x=QxPu 移项整理，可以得到求信号向量x的公式。,u,x1,x2,-G2,G1,四、信号流图模型,( I Q ) x= Pu，x = inv( I Q )*Pu 定义系统的传递函数W为输出信号与输入信号之比x/u，则W可按下式求得： W=x/u = inv( I Q )*P,四、平板稳态温度的计算,四、化学方程的配平,确定x1,x2,x3,x4，使两边原子数相等称为配平，方程为 写成矩阵方程,四、现代飞行器外形设计例,把飞行器的外形分成若干大的部件，每个部件沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。对一个飞行器，小立方体的数目可以多达400,000个，而要解的联立方程可能多达2,000,000个。,四、卫星遥感图象处理,卫星上用三种可见光和四