3.3函数的和、差、积、商的导数

1、函 数 的 和、差、积、商 的 导 数,一、复习：,1.求函数的导数的方法是:,2.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率.,3.常见函数的导数公式:,公式1: .,公式2: .,公式3: .,公式4: .,二、新课：,由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y=2x,那么,对于一般的二次函数y=ax2+bx+c,它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.,1.和(差)的导数:,法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导 数的和(差),即:,证:,即:,2.积的导数:,法则2:两个函数的积的导数,等于

2、第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数 的导数 ,即,证:,因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当x0时, v(x+x) v(x).从而:,即:,3.商的导数:,推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数, 即:,法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母 的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母 的平方,即:,思考:你能否仿照积的导数的推导过程,证明商的导数 公式吗?,有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、商构成的函数,而不必从导数定义出发了.,三、例题选讲：,例1:求下列函

3、数的导数:,答案:,例2:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)= f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件,A,(2)下列函数在点x=0处没有切线的是( ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= +cosx,D,(3)若 则f(x)可能是下式中的( ),B,(4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( ),D,例3:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4

4、t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零?,解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.,即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.,例4:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.,解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).,对于 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(

5、x-x1),即y=2x1x-x12.,对于 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.,因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.,所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.,注:此题为p.238第12题.,例5:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应 的切点,并证明曲线关于此点对称.,解:由于 ,故当x=2时, 有最小值.,而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12).,记曲线为S,设P(x,y)S,则有y=x3-6x

6、2-x+6.,又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证QS.,将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.,即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是QS.,这就证明了曲线S关于点A中心对称.,练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐 标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标.,解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1

7、,-4).,所以切线的斜率k=12-6-18= -12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8.,故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0).,事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为-a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中心.,练习2:设三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行 于l1的另一条切线为l2. (1)求l1、l2的方程; (2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线 l3、l4的方程. (3)求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积.,答案

8、:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.,(2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.,(3).9/8.,例6:用求导的方法求和:,对(1)由求导公式 可联想到它是另一个和式x+x2+x3+xn的导数.,例7:已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=x2+a,如果直线l 同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线 上两个切点之间的线段,称为公切线段. ()a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出 此公切线的方程; ()若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线 段互相平分.(2003天津高考(文)题),()解:函数y=x2+2x的导数y=2x

9、+2,曲线C1在点P (x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2) (x-x1),即 y=(2x1+2)x-x12;,函数y=-x2+a的导数y=-2x,曲线C2 在点Q(x2, -x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即 y=-2x2x+x22+a . ,如果直线l是过P和Q的公切线,则式和式都是l的方程.,所以 消去x2得方程:2x12+2x1+1+a=0.,若判别式=442(1+a)=0时,即a=-1/2时解得x1=-1/2,此时点P与Q重合.,即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由得公切线方程为y=x-1/4.,()证:由()可知:当a-1/2时C1和C2有两条公切线.,设一条公切线上切点为:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中P在C1上,Q在C2上,则有:,x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2 +a=-1+a.故线段PQ的中点为:,同理,另一条公切线段PQ的中点也是,所以公切线段PQ和PQ互相平分.,四、小结：,五、作业：,第一次p.235236课后强化训练第110题; 第二次p.237238课后强化训练第11