北师大椭圆及其标准方程精品课件.ppt

1、第三章 圆锥曲线与方程,汝南高中高二数学组,公元1609年德国天文学家开普勒发现许多天体的运行轨道 是椭圆；在这一时期，意大利物理学家伽利略发现抛掷物体的轨迹是抛物线；法国科学家买多尔日发现了圆锥曲线在光学中的应用.随着人们对圆锥曲线的进一步认识，圆锥曲线的应用越来越广泛.,背景,定义,我们用平面去截圆锥，根据截面与圆锥轴的夹角不同，所得截面的周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，所以，人们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.,椭圆及其标准方程,定义 ：平面内与定点距离等于定长的点的集合叫做圆,标准方程的推导,由两点间的距离公式可知,即,2.圆的定义及标准方程,复习回顾,1.圆的形成,

2、演示,与一定点的距离等于定长的点的集合是圆.,那么,又是什么图形呢？,与两定点的距离之和为一定长的点的集合,新课导入,它得到的图形，我们叫它定义为椭圆.,椭圆是与F1,F2的距离的和等于定长（大于|F1F2|）的集合,由上述的画图过程可知,一、椭圆的定义：,平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合叫做椭圆。,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。,几点说明：,1、F1、F2是两个不同的定点；,2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；,3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a2c（？）；,4、如果2a = 2c，则

3、M点的轨迹是线段F1F2.,5、如果2a 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）,下面我们来求椭圆的标准方程.,1.求动点轨迹方程的一般步骤：,坐标法,(1)建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标;,(2)写出适合条件P(M);,(3)用坐标表示条件P(M),列出方程 ;,(4)化方程为最简形式;,(5)证明以化简后的方程为所求方程(可以省略 不写,如有特殊情况，可以适当予以说明),二、椭圆的标准方程,(1)如何求到两个定点 的距离之和等于定值2a 的点的轨迹。,(2)求曲线方程的步骤是什么？,建系设点，列式，代入，化简，证明,(3)那么此题如何建立坐标系呢

4、？,建立直角坐标系一般应符合简单的原则，注意要充分利用图形的特殊性。,2.推导椭圆的标准方程,以两定点F1、F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建 立直角坐标系(如图),设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-c，0)，F2(c，0)，且M到F1，F2的距离和为2a.,由椭圆的定义, 可知：|MF1|+|MF2|=2a,3.方程的推导过程,由两点间的距离公式，可知：,即：,两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因2a2c，即ac，故a2-c20，

5、令a2-c2=b2，其中b0，代入上式 , 可得：,两边同时除以a2(a2-c 2) 得：,这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)这里c2=a2-b2,我们把方程 叫做椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、 F2(c，0)这里c2=a2b2,如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c).这里c2=a2-b2方程是怎样呢？,4.椭圆标准方程分析,由两点间的距离公式，可知：,设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，,又由椭圆 的定义可得：|

6、MF1|+ |MF2|=2a,与上述同样的方法我们可以的得到,这个也是椭圆的标准的方程,它表示的椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)这里c2=a2-b2 .,总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式,焦点在y轴：,焦点在x轴：,5.椭圆的标准方程,图 形,方 程,焦 点,F1(-c，0) F2(c，0),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0),定 义,注:,共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.,不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母

7、较大.,哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！,F1(0，-c) F2(0，c),思考交流,(1),教材P63,演示,(2),演示,练习1.下列方程哪些表示椭圆？,若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 ，写出焦点坐标.,?,练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：,(2)焦点为F1(0,3)，F2(0,3),且a=5；,(1)a= ,b=1,焦点在x轴上；,(3)两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；,(4)经过点P(2,0)和Q(0,3).,小结：求椭圆标准方程的步骤：,定位：确定焦点所在的坐标轴；,定量：求a, b的值.,练习3. 已知椭圆的方程为： ，请填空： (1) a=_，b=_，c=_，焦点坐标为_，焦距等于_. (2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点， 并且|CF1|=2,则|CF2|=_.,变式： 若椭圆的方程为 ,试口答完成（1）.,5,4,3,6,(-3,0)、(3,0),8,三、课堂小结,1. 椭圆的定义及焦点，焦距的概念；,2. 椭圆 的标准方程：,（1）当焦点在X轴上时，,（2）当焦点在Y轴上时，,3. 椭圆标准方程中的