理论力学第2版范钦珊陈建平主编第7章刚体的平面运动.ppt

1、第七章刚体的平面运动,在第5章中，已研究了刚体平移和定轴转动的运动描述，这一章来讨论 刚体平面运动的规律。 对于刚体运动的研究，既要研究刚体整体运动描述，又要研究刚体上任 一点的运动性质。二者既有联系，又有区别。 考察刚体运动与参考点的运动相似，可以在一个参考系中，也可以同时 在两个参考系中进行。后者称为刚体的复合运动。它是研究点的复合运动 的延伸和扩展。本章主要使用这一方法。, 7-1 刚体平面运动方程,1、刚体平面运动的定义,一. 刚体平面运动的力学模型的建立,在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持 相等的距离，这种运动称为平面运动。,平面运动工程实例,刚体上每一点都在与固定平面

2、S1平行的平面内运动。,若作一平面S2与平面S1平行,并以此去截割刚体得一平面图形S。 可知该平面图形S始终在平面S2内运动。,因而垂直于图形S的任一条直线A1A2必然作平移运动（因为刚体上各点无相对运动，故保持与S垂直）。,A1A2的运动可用其与图形 S的交点A的运动来替代。,刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。,2.运动模型的简化,平面图形S的位置可由其上的任意直线AB完全确定，即这一直线的运动可以代表平面图形S的运动，也就是刚体的平面运动。,刚体的平面运动可以简化为平面图形S的平面运动。,于是，研究刚体的平面运动可以简化为平面图形S或 其上任一线段AB 的运动。,确定

3、直线AB在Oxy参考系中的位置，需要3个独立变量(xA , yA , )。其中xA , yA确定点A在平面内的位置； 确定直线AB的方位。,二.刚体平面运动方程,由刚体的平面运动方程可以看到，如果图形中的A点固定不动，则刚体将作定轴转动；如果线段AB的方位不变（即=常数），则刚体将作平移。 可见，平面图形的运动可以看成是平移和转动的合成运动。,平面运动的运动方程式分析,=,+,平面运动 = 随 的平移+绕 点的转动,平移坐标系, 7-2 平面运动分解为平移和转动,通常将这一平移的动系的原点 称为基点，则平面图形的运 动可分解为随基点的平动（牵连运动）及绕基点的定轴转动 （相对运动）。,一般刚体

4、平面运动的分解特点,平移与基点选择有关（ 平移的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。），转动与基点选择无关（平面运动的转动角速度以及角加速度都与基点的选择无关）。,平移与基点选择有关（ 平移的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。），转动与基点选择无关（平面运动的转动角速度以及角加速度都与基点的选择无关）。,一 个 实 例,一般刚体平面运动的分解结论,即平面图形相对于平移系的角速度就是它的绝对角速度。,7-3 平面图形内各点速度分析,一.基点法,动点：M,绝对运动 ：待求,牵连运动 ：平移,动系： (平移坐标系),相对运动 ：绕 点的圆周运动,已知O点的速度及平面图形转动的角速度，求M点的速

5、度。,任意A，B两点,平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。,已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。,求：B端的速度以及尺AB的角速度。,例7-1,A,vA,B,1. AB作平面运动 基点： A,解：,已知：曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 。如曲柄OA以匀角速度转动。,求：当 时点 的速度。,例7-2,1. AB作平面运动 基点：A,解：,此时， AB作瞬时平移,二.速度投影定理,同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。,沿AB连线方向上投影,由,速度投影定理反映了刚体中两点间距离不变的特性。,解：由速

6、度投影定理得,解得,例7-3,思考：用速度投影定理能否求得AB的角速度 ？为什么？,已知连杆AB的长度l = 20 cm，滑块A的速度vA=10 cm/s ， 求连杆与水平方向夹角为30时，滑块B的速度。,即选速度为零的C*点为基点，则平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕C*转动的速度。,1、瞬时速度中心法的思想：,三、瞬时速度中心法,*,若能在平面运动刚体上找到速度为零的点C*，并选该点为基点，则刚体上任一点B的速度：,2个问题：,1）、速度为零的点C*是否存在？,2）、如果存在，如何寻找？,?,结论：在每一瞬时,平面图形或其扩展部分上都唯一存在一个速度为零的点，这一点称为瞬时速度中心，简

7、称速度瞬心。,三、瞬时速度中心法,2、 C*唯一存在性的证明,*,因为基点速度vA为均匀分布，相对速度呈线性分布，所以，在直线AN的这部分上唯一存在一点C*，使,在t瞬时，表征平面图形S运动的物理量 如图示。在平面图形S上，过点A作垂直于该点速度的直线AN。AN上任一点M的速度由基点法可知：,3.速度瞬心的确定方法,已知 的方向， 且 不平行于 。,瞬时平移(瞬心在无穷远处),且不垂直于,纯滚动(只滚不滑)约束,确定瞬心的一般方法：,例7-4,解： AB作平面运动,A,vA,B,30,C,瞬心在C点,用速度瞬心法解例7-3。,例7-5 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径为r。求轮子

8、上A1、A2、A3和A4点的速度。,A3,w,A2,A4,A1,解：很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即A1,各点的速度方向分别为各点与A点连线的垂线方向，转向与w相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零。,O,45,90,90,O1,O,B,A,D,例7-6 已知四连杆机构中O1Bl，AB3l/2，ADDB，OA以w绕O轴转动。求：(1) AB杆的角速度；(2) B和D点的速度。,w,解：AB作平面运动，OA和O1B都作定轴转动，C点是AB杆作平面运动的速度瞬心。,C,7-4 用基点法求平面图形内各点的加速度,平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加

9、速度和法向加速度的矢量和。,例7-7 图示曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长0.2 m，连杆AB长1m，OA以匀角速度w =10 rad/s绕O轴转动。求图示位置滑块B的加速度和AB杆的角加速度。,解：AB作平面运动，瞬心在C点，则,O,w,wAB,45,A,45,B,C,AB作平面运动，以A点为基点，则B点的加速度为,其中,O,45,A,B,x,将B点加速度投影到h轴上得,h,将B点加速度投影到x轴上得,已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度绕O 轴转动。ODADBDl。,求：当时，尺AB的角加速度和点A的加速度。,例7-8,1. AB作平面运动，瞬心为 C。,解：,求：车轮上速度瞬

10、心的加速度。,已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心O的速度为，加速度为，车轮与地面接触无相对滑动。,例7-9,1. 车轮作平面运动，瞬心为 C。,3.选为基点,解：,8-5 运动学综合应用举例,1.运动学综合应用 ： 机构运动学分析。,2.已知运动机构 未知运动机构,3.连接点运动学分析,求：该瞬时杆 OA的角速度 与角加速度。,已知：图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为,例9-11,1.杆BE作平面运动，瞬心在O点。,取E为基点,沿BE方向投影,解：

11、,绝对运动 ：直线运动(BD) 相对运动 ：直线运动(OA) 牵连运动 ：定轴转动(轴O),2.动点 ：滑块B 动系 ：OA杆,沿BD方向投影,沿BD方向投影,求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。,已知：在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速v 平移，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O 与杆AC距离为l。图示瞬时杆AB与杆AC夹角为。,例9-12,1. 动点 ： 铰链A 动系 ： 套筒O,解：,另解： 1.取坐标系Oxy,2. A点的运动方程,3.速度、加速度,求：此瞬时AB杆的 角速度及角加速度。,已知：如图所示平面机构，AB长为l，滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度绕轴O转动，滑块B以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为。,例9-13,2.动点 ：滑块 A，动系