北京市西城区高三一模试卷数学文科含

1、北京市西城区 2013 年高三一模试卷 高三数学（文科） 2013.4 第卷第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 1已知全集U xZ Z| x|5，集合A2,1,3,4，B 0,2,4，那么AI UB （A）2,1,4 2复数 （B）2,1,3（C）0,2（D）2,1,3,4 1i i （B）1i（C）1i（D）1i（A）1i 3执行如图所示的程序框图若输出y 3，则输入 角 （A） 6 （B） 6 （C） 3 （D） 3 4设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且a 1 0若S 2 2a 3

2、 ，则q的取值范围是 1 2 1 （C）(,1)U ( ,) 2 （A）(1,0)U (0, )（B）(,0) U (0,1) （D）(,)U (1,) 1 2 1 2 5某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主） 视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表 面积是 （A）6 3 （B）12 3 （C）122 3（D）242 3 x1 0, 6设实数x，y满足条件x y1 0,则y4x的最大值是 x y 2 0, （A）4 7已知函数f (x) x bxc，则“c0”是“x0R R，使f (x0) 0”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 8如图，正方体ABCD A 1B1C1D1 中，E

3、是棱B 1C1 的 中点，动点P在底面ABCD内，且PA 1 A 1E ，则 点P运动形成的图形是 （A）线段 （C）椭圆的一部分 （B）圆弧 （D）抛物线的一部分 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 2 （B） 1 2 （C）4（D）7 第卷第卷 （非选择题共 110 分） 二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9已知向量i i (1,0)，j j (0,1)若向量i i j j与i i j j垂直，则实数 _ log 2 x, x 0, 1 10已知函数f (x) x 则f ( ) f (2) _ 4x 0, 2 , 11抛物线y 2x的准线方程是_；

4、该抛物线的焦点为F，点M(x0, y0)在此抛物线上，且 2 MF 5 ，则x0_ 2 12某厂对一批元件进行抽样检测经统计，这批元件 的长度数据 (单位：mm)全部介于93至105之间 将长度数据以2为组距分成以下6组：93， 95)， 95， 97)，97， 99)，99， 101)，101， 103)， 103,105，得到如图所示的频率分布直方图若长 度在97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直 方图，估计这批产品的合格率是_ 13在ABC中，内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且 则ABC的面积是_ cos Ab3 若c 10， cosBa4 a n ,a n是偶数,na

5、 S 14 已知数列 n 的各项均为正整数， 其前项和为 n 若a n1 2 且S3 29， 3an 1, a n是奇数, 则a 1 _；S 3n _. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 13 分） 已知函数f (x) sin xacosx的一个零点是 （）求实数a的值； （）设g(x) f (x) 2sin x，求g(x)的单调递增区间 22 3 4 16 （本小题满分 14 分） 在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB/CD， AC 3，AB2BC 2，AC FB （）求证：AC 平面

6、FBC； （）求四面体FBCD的体积； （）线段AC上是否存在点M，使EA/平面FDM？ 证明你的结论 17 （本小题满分 13 分） 某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元， 超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算） 现有甲、乙二人在该商区临 时停车，两人停车都不超过4小时 （）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为 停车付费恰为6元的概率； （）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概 率 15 ，停车付费多于14元的概率为，求甲 312 18 （本小题满分 13 分） 已知函数f (x)

7、 e ax，g(x) axln x，其中a0 （）求f (x)的极值； （）若存在区间M，使f (x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围 19 （本小题满分 14 分） x x2y2 1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A,B两点，线段AB的中 如图，已知椭圆 43 点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点 （）若点G的横坐标为 1 ，求直线AB的斜率； 4 （）记GFD的面积为S1，OED（O为原点）的面 积为S2试问：是否存在直线AB，使得S1 S2？说明理由 20 （本小题满分 13 分） 已知集合S n X | X (x 1,x2 ,L ,x n ), x

8、i N N*,i 1,2,L ,n(n 2) uuu r 对于A (a 1,a2 ,L ,a n )，B (b 1,b2 ,L ,b n )S n ，定义AB (b 1 a 1,b2 a 2 ,L ,b n a n )； (a 1,a2 ,L ,a n ) (a 1, a 2 ,L ,a n ) (R R)；A与B之间的距离为d(A,B) |a i b i | i1 n （）当n5时，设A (1,2,1,2,5)，B (2,4,2,1,3)，求d(A,B)； uuu ruuu r （）证明：若A,B,CSn，且 0，使ABBC，则d(A,B)d(B,C) d(A,C)； （） 记I (1,1,

9、 L ,1)S20若A，BS20，且d(I,A) d(I,B) 13，求d(A,B)的最大值 北京市西城区 2013 年高三一模试卷 高三数学（文科）（文科）参考答案及评分标准 2013.42013.4 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1 B；2A；3D；4B；5C；6C；7A；8B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 90；10 71 ；11x ，2； 42 1280%；1324；145，7n22 注：注：1111、141

10、4 题第一问题第一问 2 2 分，第二问分，第二问 3 3 分分. . 三、三、解答题：解答题：本大题共本大题共 6 6 小题，小题，共共 8080 分分. .若考生的解法与本解答不同，若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分正确者可参照评分标准给分. . 15 （本小题满分 13 分） （）解：依题意，得f ( 3 ) 0，1 分 4 即sin 3322a acos 0， 3 分 4422 解得 a 1 5 分 （）解：由（）得 f (x) sin xcosx 6 分 g(x) f (x)22sin2x (sin xcosx)22sin2x sin2xcos2x 8 分 2sin(

11、2x)10 分 4 由2k 2x 2k， 242 3 得k x k，kZ Z12 分 88 3 所以 g(x)的单调递增区间为k ,k ，kZ Z 13 分 88 16 （本小题满分 14 分） （）证明：在ABC中， 因为 AC 3，AB 2，BC 1， 所以 AC BC 2 分 又因为 AC FB， 所以 AC 平面FBC 4 分 （）解：因为AC 平面FBC，所以AC FC 因为CD FC，所以FC平面ABCD6 分 在等腰梯形ABCD中可得 CB DC 1，所以FC 1 所以BCD的面积为S 3 7 分 4 13 S FC 9 分 312 所以四面体FBCD的体积为：VFBCD （）解

12、：线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA/ 平面FDM，证明如下： 10 分 连结CE，与DF交于点N，连接MN 因为 CDEF为正方形，所以N为CE中点 11 分 所以EA/MN12 分 因为 MN 平面FDM，EA平面FDM， 13 分 所以EA/平面FDM 所以线段AC上存在点M，使得EA/平面FDM成立14 分 17 （本小题满分 13 分） （）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，1 分 则P(A) 1( 151 ) 3124 1 4 4 所以甲临时停车付费恰为6元的概率是 分 （）解：设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a,b 6,14,22,306 分 则甲、乙二人

13、的停车费用构成的基本事件空间为： (6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22), (22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30) ，共16种情形10 分 其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意12 分 故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为P 18.（本小题满分 13 分） （）解：f (x)的定义域为R R， 且 f (x) e a 2 分 当a 0时，f (x) e，故f (x)在R R上单调递增

14、 从而f (x)没有极大值，也没有极小值4 分 当a0时，令f (x) 0，得x ln(a) x x 41 13 分 164 f (x)和f (x)的情况如下： x(, ln(a)ln(a)(ln(a),) f (x) f (x) 0 故f (x)的单调减区间为(,ln(a)；单调增区间为(ln(a),) 从而f (x)的极小值为f (ln(a) aaln(a)；没有极大值6 分 （）解：g(x)的定义域为(0,)，且g(x) a 1ax1 8 分 xx 当a 0时，f (x)在R R上单调递增，g(x)在(0, )上单调递减，不合题意 9 分 当a0时，g(x) 0，g(x)在(0, )上单

15、调递减 当1 a 0时，ln(a) 0， 此时f (x)在(ln(a), )上单调递增， 由于g(x)在(0, ) 上单调递减，不合题意11 分 当a1时，ln(a) 0，此时f (x)在(,ln(a)上单调递减，由于f (x)在(0, )上 单调递减，符合题意 综上，a的取值范围是(,1)13 分 19 （本小题满分 14 分） （）解：依题意，直线AB的斜率存在，设其方程为y k(x1)1 分 x2y2 1，整理得(4k23)x28k2x4k212 0 3 分将其代入 43 8k2 设A(x 1, y1) ，B(x2, y2)，所以 x 1 x 2 4 分 4k23 x 1 x 2 4k2

16、 2 故点G的横坐标为 24k 3 4k21 ，6 分依题意，得 24k 34 解得k 1 7 分 2 （）解：假设存在直线AB，使得 S 1 S 2 ，显然直线AB不能与x, y轴垂直 4k23k , 2 ) 8 分由（）可得 G( 24k 3 4k 3 因为 DG AB， 3k 24k 3 k 1，所以 4k2 x D 24k 3 k2k2 ,0) 10 分解得 x D ， 即 D( 224k 34k 3 因为 GFDOED， 所以 S 1 S 2 |GD|OD| 11 分 所以 k24k2 2 3k 2 k2 ( 2 ) ( 2 ) ，12 分 4k 34k234k 34k23 2 整理

17、得 8k 9 0 13 分 因为此方程无解， 所以不存在直线AB，使得 S 1 S 2 14 分 20 （本小题满分 13 分） （）解：当n5时，由d(A,B) |a b |， ii i1 5 得 d(A,B) |12|24|12|21| |53| 7， 所以 d(A,B) 7 3 分 （）证明：设A (a 1,a2 ,L ,a n )，B (b 1,b2 ,L ,b n )，C (c 1,c2 ,L ,c n ) uuu ruuu r 因为 0，使ABBC， 所以 0，使得(b 1 a 1,b2 a 2 ,L ,b n a n ) (c 1 b 1,c2 b 2 ,L ,c n b n )

18、， 所以 0，使得b i a i (c i b i )，其中i 1,2,L ,n 所以 b i a i 与cib i (i 1,2,L ,n)同为非负数或同为负数 6 分 所以d(A,B)d(B,C) |a b | |b c | iiii i1i1 nn (|b i a i |c i b i |) i1 n n |c i a i | d(A,C) 8 分 i1 （）解法一：d(A,B) |b a | ii i1 20 设b i a i (i 1,2,L ,20) 中 有m (m 20)项 为 非 负 数 ，20m项 为 负 数 不 妨 设 i 1,2,L ,m时b i a i 0；i m1,m2,L ,20时，b i a i 0 所以 d(A,B) |b a | ii i1 20 (b 1 b 2 L b m )(a 1 a 2 L a m )(a m1 a m2 L a 20 )(b m1 b m2 L b 20 ) 因为 d(I, A) d(I,B) 13， 所以 (a 1)(b 1)， 整理得 a b iiii i1i1i1i1 20202020 所以 d(A,B) |b a | 2b b ii1 i1 20 2 L b m (a 1