北京昌平区高三二模理科数学试题

1、昌平区昌平区 2012201220132013 学年第二学期高三年级期第二次质量抽测学年第二学期高三年级期第二次质量抽测 数数学学试试卷（理科）卷（理科） （满分 150 分，考试时间 120 分钟）2013.42013.4 考生须知：考生须知： 1本试卷共 6 页，分第卷选择题和第卷非选择题两部分。 2答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填 写。 3答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答，第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹 的签字笔作答， 作图时可以使用 2B 铅笔。 请按照题号顺序在各题目的答题区内作答， 未在对应的答题区域内作答或超出答题

2、区域作答的均不得分。 4修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不 要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。 5考试结束后，考生务必将答题卡交交监考老师收回，试卷自己妥善保存。 第卷（选择题卷（选择题共共 4040 分）分） 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项) （1）已知集合A x|2 1，B x| x 1，则AI B A. x| x 1 B.x| x 0C.x|0 x 1D. x| x 1 （2）已知命题p:xR R，x2，那么下列结论正确的是 A. 命题p:xR R，x2B命题p:

3、xR R，x 2 C命题p:xR R，x2D命题p:xR R，x 2 x x 3t, (3)圆x (y2) 1的圆心到直线（t为参数）的距离为 y 2t 22 A. 2 B.1 C. 2 D.2 2 2 (4)设 x y 0, 2 与抛物线y 4x的准线围成的三角形区域 （包含边界）为D，P(x, y) x y 0 为D内的一个动点，则目标函数z x2y的最大值为 A.1B.0C.2D.3 (5) 在区间 0, 上随机取一个数x ，则事件“tan xgcosx 1 ”发生的概率为 2 A. 1123 B.C. D. 3234 (6) 已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示， 则此四棱锥的四个侧

4、面的面积中最大的是 A3 B2 5 C6 D8 （7）如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，BAD 60，E为CD的中点， o 3 3 4 正视图 22 2 俯视图 2 侧视图 D E C uuu r uuu r 则AEBD的值为AB A1B 3 C 5 D 7 (8)设等比数列an的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a11， a 99a100 1 0， a 99 1 0.给出下列结论： a 100 1 0 q 1； a 99 a 101 1 0； T 100 的值是Tn中最大的； 使Tn1成立的最大自然数n等于 198. 其中正确的结论是 A. B. C. D. 第卷（非选择题卷（非

5、选择题共共 110110 分）分） 一、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9）二项式(2x ) 的展开式中x的系数为_. 2 1 x 53 （10）双曲线x y 1(b 0)的一条渐近线方程为y 3x，则 b2 D E C O A 2 B b . （11） 如图，AB切圆O于点A,AC为圆O的直径， BC交圆O于点D，E为CD的中点，且 BD 5,AC 6,则CD _； AE _. （12）执行如图所示的程序框图， 若是i 6时，输出的S值为 ； 若是i 2013时，输出的S值为 . 开始 i 1,S 0 i 1 2 4 (x 4) 1 , （13）已知函数 f (

6、x) x log2x, (0 x 4) 若关于 x 的方程 f (x) k 有两个不同的实根，则实 数k的取值范围是 . （14）曲线C是平面内到直线 l 1 : x 1和直线 ai cos S S ai 否 输出S i i 1 是 结束 l 2 : y 1的距离之积等于常数 k2k 0的点 图 1 的轨迹.给出下列四个结论： 曲线C过点(1,1)； 曲线C关于点(1,1)对称； 若点P在曲线C上，点A,B分别在直线l 1,l2 上，则PA PB不小于2k. 设P 0 为曲线C上任意一点，则点P 0 关于直线x 1、点(1,1)及直线y 1对 2称的点分别为P 1 、P 2 、P 3 ，则四边

7、形P 0 PP 12 P 3 的面积为定值4k. 其中，所有正确结论的序号是 . 三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) （15） （本小题满分 13 分） 2 已知函数f (x) sin(2x) 2 3cos x,xR. （）求f ()； 6 （）求f (x)的最小正周期及单调递增区间. （16） （本小题满分 14 分） 如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形, 侧面PAD底面ABCD，且PA PD 2 AD, 2 E、F分别为PC、BD的中点 () 求证：EF /平面PAD； () 求证：面PAB平面PDC； () 在线

8、段AB上是否存在点G,使得 二面角C PDG的余弦值为 P D A F E C B 1 ？说明理由. 3 （17） （本小题满分 13 分） 某市为了提升市民素质和城市文明程度， 促进经济发展有大的提速， 对市民进行了“生活满 意”度的调查现随机抽取 40 位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分 布表： 满意级别非常满意 满意指数（分）90 满意 60 一般 30 不满意 0 151762人数（个） （I）求这 40 位市民满意指数的平均值； （II）以这 40 人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数， 若从全市市民（人数 很多）中任选3 人，记表示抽到满意级别为“非常满

9、意或满意”的市民人数求的分布 列； （III）从这 40 位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为m，然后再随机选另一个 人，记他的满意指数为n，求n m60的概率 （18） （本小题满分 13 分） 已知函数f (x) 1 2x aln x(a 0). 2 （）若a 2,求f (x)在(1,f (1)处的切线方程； （）求f (x)在区间1,e上的最小值； （III）若f (x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求a的取值范围. （19） （本小题满分 13 分） y M N P AF OH l Bx x2y2 如图，已知椭圆 2 2 1(a b 0)的长 ab 轴为AB，过点B的直线l与x

10、轴垂直，椭圆 的离心率e Q 3 ，F为椭圆的左焦点，且 2 AF gBF 1 . （I）求此椭圆的方程； （II）设P是此椭圆上异于A,B的任意一点，PH x轴，H为垂足，延长HP到点Q使 得HP PQ. 连接AQ并延长交直线l于点M,N为MB的中点，判定直线QN与以AB 为直径的圆O的位置关系 （20） （本小题满分 14 分） 设数列an对任意nN*都有(kn b)(a1 an) p 2(a1 a2L an)(其中k、b、 p是常数) （I）当k 0，b 3，p 4时，求a1 a2 a3L an； （II）当k 1，b 0，p 0时，若a3 3，a915，求数列an的通项公式； （III

11、）若数列a n中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭 数列”.当k 1，b 0，p 0时，设S n 是数列an的前n项和，a2 a 1 2， 试问：是否存在这样的“封闭数列” a n，使得对任意 nN*，都有Sn 0，且 1111111 L 若存在， 求数列an的首项a1的所有取值； 12S 1 S 2 S 3 S n 18 若不存在，说明理由 昌平区昌平区 2012201220132013 学年第二学期高三年级期第二次质量抽测学年第二学期高三年级期第二次质量抽测 数数 学学 试卷试卷 参考答案（理科）参考答案（理科） 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题5 分，共40

12、 分在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项) 题 号 答案 （1） C （2） B （3） A （4） D （5） C （6） C （7） A （8） B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ） （9）80（10） 3 （11）4；2 6（12）5；2013 （13）(1, 2)（14） 三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤) （15）(本小题满分 13 分) 解：（） f (x) sin(2x)2 3cos2x sin2x3cos2x3 2sin(2x)3.4 分 3 3 3 2 3.6 分f () 2si

13、n()3 2 6332 2 （）f (x) 2sin(2x )3的最小正周期T .8 分 32 5 又由2k 2x 2k k x k(kZ)可得 2321212 5 ,k (k Z).13 分 函数f (x)的单调递增区间为k 1212 （16）(本小题满分 14 分) ()证明证明：连结ACI BD F， ABCD为正方形，F为AC中点， E为PC中点. 在CPA中，EF/PA .2 分 且PA平面PAD，EF 平面PADEF / /平面PAD 4 分 ()证明证明：因为平面PAD平面ABCD，平面PADI面ABCD AD ABCD为正方形，CD AD，CD 平面ABCD 所以CD 平面PA

14、D. CD PA 6 分 又PA PD 且APD 2 AD，所以PAD是等腰直角三角形， 2 即PA PD 2 CDI PD D，且CD、PD面PDC PA面PDC 又PA面PAB， 面PAB 面PDC.9 分 () 如图,取AD的中点O, 连结OP,OF. PA PD,PO AD. 侧面PAD底面ABCD, z P D O A x G F B E C y 平面PAD平面ABCD AD, PO 平面ABCD, 而O,F分别为AD,BD的中点,OF / AB, 又ABCD是正方形,故OF AD. PA PD 2 AD,PA PD,OP OA1. 2 以O为原点,直线OA,OF,OP分别为x, y

15、,z轴建立空间直角坐标系, 则有A(1,0,0),F(0,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1). 若在AB上存在点G,使得二面角C PDG的余弦值为 设G(1,a,0)(0 a 2). 1 ，连结PG,DG. 3 uuu r 由()知平面PDC的法向量为PA (1,0,1). ruuu ruuu r 设平面PGD的法向量为n (x, y,z).DP (1,0,1),GD (2,a,0), r uuu rr uuu r x0 y z 02 由nDP 0,nGD 0可得,令x 1,则y ,z 1, a 2xa y0z 0 r uuu r rr uuu r 2nPA221 故n (1,1)c

16、os n,PA r uu,u r 4 3a4 n PA 2 22 2 a2 a 解得，a 1 . 2 1 2 1 . 3 所以，在线段AB上存在点G(1, ,0),使得二面角C PDG的余弦值为 . 14 分 （17） （本小题满分 13 分） 解： （）记X表示这 40 位市民满意指数的平均值，则 X 1 (9015601730602) 63.75（分）2 分 40 （）的可能取值为0、1、2、3. 1 0 4 0 1 3P( 0) C 3 ( ) ( ) 55125 12 1 4 1 1 2P(1) C 3 ( ) ( ) 55125 4148 P( 2) C 3 2( )2( )1 55

17、125 64 3 4 3 1 0P( 3) C 3 ( ) ( ) 55125 的分布列为 P 0123 1 125 12 125 4864 125125 8 分 （）设所有满足条件n m60的事件为A 1 34满足m 0且n 60的事件数为：A 2 1A 17 1 30满足m 0且n 90的事件数为：A 2 1A 15 1 90满足m 30且n 90的事件数为：A 6 1A 15 P(A) 34309077 2A 40 780 所以满足条件n m60的事件的概率为 （18） （本小题满分 13 分） 解： （I）a 2,f (x) 77 .13 分 780 1 2 2 x 2ln x, f

18、(x) x, 2x 1 f (1) 1, f (1), 2 f (x)在(1,f (1)处的切线方程为2x2y3 0.3 分 ax2a . （）由f (x) x xx 由a 0及定义域为(0,)，令f (x) 0,得x a. 若 a 1,即0 a 1,在(1,e)上，f (x) 0，f (x)在1,e上单调递增， 因此,f (x)在区间1,e的最小值为f (1) 若1 1 . 2 a e,即1 a e2,在（1, a)上，f (x) 0，f (x)单调递减；在（ a,e)上， f (x) 0，f (x) 单 调 递 增 ， 因 此 f (x) 在 区 间1,e上 的 最 小 值 为 f ( a

19、) 1 a(1lna). 2 2 若 a e,即a e ,在(1,e)上，f (x) 0，f (x)在1,e上单调递减， 因此,f (x)在区间1,e上的最小值为f (e) 综上，当0 a 1时，fmin(x) 当a e时，fmin(x) 2 1 2e a. 2 11 2 ；当1 a e 时，f min (x) a(1lna)； 22 1 2e a. .9 分 2 2 (III) 由（II）可知当0 a 1或a e 时，f (x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不 可能存在两个零点. 当1 a e 时，要使f (x)在区间(1,e)上恰有两个零点，则 2 1 2 a(1lna) 0, a

20、e 1 2 1 f (1) 0, 即，此时，e a e .1 222a e 2 1 2 f (e) e a 0, 2 所以，a的取值范围为(e, 1 2e ).13 分 2 （19） （本小题满分 13 分） 解： （）由题意可知，A(a,0),B(a,0) ， F(c,0)， AF gBF (ac)(ac) 1 a2c2 b21 3c2a2b2a213 2 2 ，解得a2 4又e ，e 2 22aaa4 x2 y215 分 所求椭圆方程为 4 （）设P(x0, y0)，则Q(x0,2y0) (x0 2,x0 2) 由A(2,0), 得k AQ 2y 0 x 0 2 2y 0(x2) x 0

21、2 所以直线AQ方程y 由B(2,0),得直线l的方程为x 2, M(2, 8y 0 4y 0)N(2,) x 0 2x 0 2 由k NQ 4y 02y 0 x 0 22x y 2 00 2 x 0 x 0 4 22 又点P的坐标满足椭圆方程得到：x0+4y0 4 ， 22 所以 x 0 4 4y 0 k NQ 2x 0 y 0 2x 0 y 0 x 0 x 0 244y 0 22y 0 x 0(x x 0 ) 2y 0 直线NQ的方程：y 2y 0 22 化简整理得到：x0 x 2yy0 x0 4y 0 4 即x0 x2yy0 4 所以点O到直线NQ的距离d 4 x 0 +4y 0 22

22、2 圆O的半径 直线NQ与AB为直径的圆O相切. 13 分 （20） （本小题满分 14 分） 解： （I）当k 0，b 3，p 4时， 3(a 1 a n ) 4 2(a 1 a 2 L a n )， 用n1去代n得，3(a 1 a n1 ) 4 2(a 1 a 2 L a n a n1 )， 得，3(a n1 a n ) 2a n1 ，a n1 3a n ，2 分 在中令n 1得，a 1 1，则a n 0， a n1 3， a n 数列a n 是以首项为 1，公比为 3 的等比数列， 3n1 a 1 a 2 a 3 L a n =.4 分 2 （II）当k 1，b 0，p 0时，n(a 1 a n ) 2(a 1 a 2 L a n )， 用n1去代n得，(n 1)(a 1 a n1 ) 2(a 1 a 2 L a n a n1 )， 得，(n 1)a n1 na n a 1 0，. 用n1去代