第四讲 速度分布函数,麦克斯韦速率

1、第三章 气体分子热运动速率和能量分布 3.1 气体分子的速率分布律 3.2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布 3.3 玻尔兹曼分布率 重力场中微粒按高度的分布 3.4 能量按自由度均分定理,第一章我们引入了平衡态和温度的概念，但在热力学范围内不能得到深刻的认识。第二章以分子运动论为基础，认识了压强和温度的微观本质，对平衡态下分子热运动的规律有了初步认识，我们有一个基本的统计公理（假设）。这个公理只解决了分子热运动速度方向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率大小取值的概率，无法作进一步的定量分析。分子热运动情况是分子物理的重要研究对象，我们必须讨论速率大小取值的概率问题。由于分子数目如此巨大，

2、速率的取值从0到，这个取值区间非常大，分子在任何一个微小速率范围内的取值其概率都不会大，但到底有多小却不易判断。所以，这是一个大数量偶然微观运动的集体效应的问题，既统计的问题，对应的规律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复杂，我们以理想气体为基础来开展讨论。,31 麦克斯韦气体速率分布律,引言： 气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律气体速率分布律。,气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上

3、导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律。,麦克斯韦（James Clerk Maxwell 18311879),19世纪伟大的英国物理学家、数学家。经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。,他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波的存在。 1873年，他的电磁学通论问世，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的自然哲学的数学原理并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。 在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分布的统计规律。,统计规律性,分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成

4、的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。（例：理想气体压强）,人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规律性称为统计规律性,速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：1。由于分子受到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，要某一分子具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔内出现的概率；2。哪怕是相同的速率间隔，例如都是100ms-1，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200 ms-1和500-600 ms-1有相同的速率间隔，但第一

5、个间隔总的来说速率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比如，速率接近为0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我们自然要问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。,1、气体分子的速率分布律,速率分布函数的定义： 一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区间 vv+dv内的分子数， dN/N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率。 实验规律： 在不同的速率附近，给定的速率间隔dv内，比值dN/N是不同的。容易想见

6、，速率间隔越大， dN/N？ dN/N 是 v 的函数； 当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与区间大小成正比。,1、速率分布函数,为此，规定以单位速率间隔为比较标准，即 ，这样，比值 就反映出了分布随速率v的改变而改变。为此我们规定；,速率分布函数,定义：处于一定温度下的气体，分布在速率v附近的单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比只是速率v的函数，称为速率分布函数。,理解分布函数的几个要点： 1.条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，T和m是一定的； 2.范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv； 3.数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。,

7、物理意义： 速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的概率，或概率密度。,表示速率分布在vv+dv内的分子数占总分子数的概率,表示速率分布在v1v2内的分子数占总分子数的概率,归一化条件,应注意的问题: 分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以： 1）少数分子谈不上概率分布 偶然事件少了，或分子数少了，就不能表现出稳定的统计特性。 例如，抛两分的硬币，抛的次数越多，币制和国徽朝上的次数才更加接近相等，否者将有很大差异。 2）统计规律表现出涨落 所谓涨落就是对稳定的统计结果的偏差，统计规律必然伴随着涨落。例如，在某一速率v附

8、近dv间隔内求出的比值dN/N是0.06，表示有6%的分子，它们的速率取值分布在（v，v+dv）内，但并不是说，每时每刻就一定是0.06，也有可能是0.05998，0.0601，等等，但长时间的平均值仍是0.06。,3）“具有某一速率的分子有多少”是不恰当的说法 f (v)是针对v 附近单位速率间隔的，离开速率间隔来谈分子数有多少就没有意义了。 4）气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现的。 因此，分子间的碰撞是使分子热运动达到并保持确定分布的决定因素。,课堂练习1速率分布函数 的物理意义为： （）具有速率 的分子占总分子数的百分比 （）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子数占总分

9、子数的百分比 （）具有速率 的分子数 （）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子数,（）,练习2、下列各式的物理意义分别为:,(1),(2),(3),(4),速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比,速率在v-v+dv内的分子数,速率在v1v2内的分子数占总分子数的百分比,速率在v1v2内的分子数,练习3在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦速率分布函数为 、分子质量为 、最可几速率为 ，试说明下列各式的物理意义：,（） 表示_；,（） 表示_,分子平动动能的平均值,分布在速率区间 的分子数在总分子数中占的百分率,练习4已知分子总数为 ，它们的速率分布函数为 ，则速率分布在区间 内的分

10、子的平均速率为,（A）,（C）,（B）,（D）,（B）,2.麦克斯韦速率分布律,在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在速度区间 的分子数占总分子数的比率为,麦克斯韦 速率分布函数,m分子的质量 T热力学温度 k玻耳兹曼常量,曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的概率dN/N 。.,麦克斯韦速率分布曲线,在f(v)v整个曲线下的面积为 1 - 归一化条件。,最概然速率,平均速率,方均根速率,分子速率的三个统计值,最概然速率(the most probable speed),物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在 vP所在区间

11、的分子数比率最大。,令,解得,vp 随 T 升高而增大，随 m 增大而减小,注：,定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最概然速率。,同一气体，不同温度,vP与温度T的关系:,曲线的峰值右移,由于曲线下面积为1不变，所以峰值降低。,不同气体，同一温度,vP与分子质量m的关系:,曲线的峰值左移,由于曲线下面积为1不变，所以峰值升高。,练习5.图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？,解：,(1) T1 T2,(2)红：氧 黑：氢,f(v),v,

12、T1,T2,平均速率(the average speed),由于,则,有,用分布函数计算平均值,方均根速率(the root-mean-square speed),最概然速率,平均速率,方均根速率,三种速率的比较,三种速率统计值有不同的应用：,在讨论速率分布时，要用到最可几速率；在计算分子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算分子的平均平动动能时，要用到方均根速率。,补充:气体分子按平动动能的分布规律,麦克斯韦速率分布定律,上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在 + 区间内的分子数与总分子数的比率。,意义：,代入上式得,思考,最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平动动能?,两边微分,氦气

13、的速率分布曲线如图所示.,解,例1,求,(2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率,(1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，,(2),f(v),v,有N 个粒子，其速率分布函数为,(1) 作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数,解,例2,求,(1) 由归一化条件得,(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子与总分子数的比率，所以,因此， vv0 的分子数为 ( 2N/3 ),同理 vv0 的分子数为 ( N/3 ),的分子数与总分子数的比率为,根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值 。,根据平均值的定义，速率倒数的平

14、均值为,解,例3,根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率 vpvp+v 区间内的分子数与温度 成反比( 设v 很小),将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有,例4,证,解,例5,求,该电子气的平均速率,因为仅在（0 ，vm）区间分布有电子，所以,例7.试计算27下的氧气分子的三种速率.,解:,Mmol=0.032kg/mol,T=273+27=300K,可见在相同温度下:,例题8.有N个粒子，其速率分布函数为:,1、作速率分布曲线。 2、由N和vo求常数C。 3、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。,vo,v,o,解：,练习,解:,2. 由归一化条件,3.,思考题: 证明无

15、论f(v)为何种形式，,3.麦克斯韦速度分布律,在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在速度区间 也就是分布在vxvx+dvx/vyvy+dvy/vzvz+dvz的分子数占总分子数的比率为:,麦克斯韦速度分布律,这个区间内的分子，它们的速度矢量的端点都在一定的体积元ddvxdvydvz内,也就是满足这个条件的速度矢量的端点都落在半径为v，厚度为dv的球壳层内。这个球壳层的体积等于其内壁的面积4v2乘以厚度dv ： dN(v) 4v2dv,将d dvxdvydvz代入,麦克斯韦 速率分布 分布律,麦克斯韦速率分布律,且：,得：,记忆这个公式分三部分： 第一部分，4pv2dv 是“球壳

16、”的体积，而“球壳”全方位的高度对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；,第二部分 , 正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个指数衰减律的结果没有单位，mv2/2是分子热运动的动能，kT既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速度比v2 增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数值必然较小。,第三部分， 是归一化因子，这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没有单位，4pv2dv具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值，也没有单位，所以归一化因子必须具有速度负立方的单位。即 应该具有速度的量纲，的确如此

17、，正是一个具有统计特性的速率，叫最可几速率。,二、验证麦克斯韦速度分布律,1、实验装置（密勒和库士）,O蒸汽源 S 分子束射出方向孔 R 长为 l 、刻有螺旋形细槽的铝钢滚筒 D 检测器，测定通过细槽的分子射线强度,2、实验原理,当圆盘以角速度转动时，每转动一周，分子射线通过圆盘一次，由于分子的速率不一样，分子通过圆盘的时间不一样，只有速率满足下式的分子才能通过S达到D,3、实验结果,分子数在总分子数中所占的比率与速率和速率间隔的大小有关； 速率特别大和特别小的分子数的比率非常小； 在某一速率附近的分子数的比率最大； 改变气体的种类或气体的温度时，上述分布情况有所差别，但都具有上述特点。,麦克

18、斯韦速度分布函数,三、玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式,一、玻尔兹曼能量分布律,问题：对于更一般的情形，如在外力场中的气体分子的分布将如何？,其指数仅包含分子运动动能,分子按速度的分布不受力场的影响，按空间位置的分布却是不均匀的，依赖于分子所在力场的性质。,玻尔兹曼的推广,用k+p 代替k，用x、y、z、 vx、 vy、 vz 为轴构成的六维空间中的体积元 xdydzdvxdvydvz 代替速度空间的体积元dvxdvydvz,玻尔兹曼能量分布律,当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间xx+dx、yy+dy、zz+dz内，同时速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz内的

19、分子数为,单位体积分子数n,n0为在p=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。,玻尔兹曼分子按能量分布律,对所有可能的速度积分,分子在坐标间隔xx+dx,yy+dy,zz+dz内的分子数密度为：,分子按势能分布律,重力场中粒子按高度的分布(p=mgh),重力场中，一方面是无规则的热运动使气体分子均匀分布于它们所能够到达的空间。另一方面是重力要使气体分子聚集到地面上。这两种作用平衡时，气体分子则在空间作非均匀分布，即气体分子数密度随高度的增加按指数规律减小； 分子质量越大，受重力的作用越大，分子数密度减小得越迅速； 对于温度较高的气体，分子的无规则运动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓慢。,法国

20、物理学家佩兰据此测量了玻耳兹曼常数进而得到了阿伏伽德罗常数，于1922年获得了诺贝尔物理奖。,假设：大气为理想气体 不同高度处温度相等 利用：p = nkT 可得:,每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际，可粗略估计高度变化。,重力场中等温气压公式,近似估计高度,3.4 能量按自由度均分定理 一、自由度 1、物体运动的自由度 质点的自由度：,1. 模型的改进,讨论能量问题：要包含转动和振动能量质点组,各个分子无规运动，能量不断变化。,平衡态下，大量分子系统： 分子各种运动形式的能量分布及平均总能量均遵守 统计规律-各种平均能量按自由度均分.,2 .自由度,火车在轨道上行驶时，自由度

21、是多少呢？,轮船在海平面上行驶，要描写轮船的位置至少需要两维坐标，则自由度为,轮船 t =2,最多6个自由度: i = t +r = 6,定轴转动刚体 : i = r = 1,过质心转轴方位,2、分子运动的自由度 单原子分子：3 平 质心的平动能,转动自由度为2,振动自由度为1,双原子分子（如 O2 ，H2 ，CO ）,平动自由度为3,刚性双原子分子：3 平 + 2 转,弹性双原子分子：3平+2转+1振,分子能量均分自由度,多原子分子（原子数 n ),二、分子能量按自由度均分定理,利用积分公式, 并整理得 同理可得,因此,分子每一自由度的平均平动能均为 可推广到振动和转动自由度,能量按自由度均

22、分定理 ： 在温度为T 的平衡态时,物质分子每一个自 由度都具有相同的平均动能,其大小 都为 kT/2。,几点说明： 只有在平衡态下才能应用能量均分定理，非平衡态不能应用能量均分定理。 能量均分定理本质上是关于热运动的统计规律，是对大量分子求统计平均的结果，利用统计物理可以作严格的证明。, 能量均分定理不仅适用于理想气体，一般也适用于液体和固体。 对于气体，能量按自由度均分是通过分子间的频繁碰撞来实现的。,气体从非平衡态演化为平衡态的过程是通过分子间频繁的碰撞来实现的。一个在某一自由度上动能较大的分子与另一个动能较小的分子发生非对心完全弹性碰撞时，一般总要发生动能从一个分子转移到另一个分子，从

23、一个自由度转移到另一个自由度，从这种形式的自由度转移到另一种形式的自由度的能量上去的过程。气体就是在分子的频繁碰撞中发生不同粒子间、不同自由度间能量的转移，最终实现能量按自由度均分。,对液体和固体，能量均分是通过 分子间很强的相互作用来实现的。,三、 理想气体的内能,2）实际气体的内能：（分子数 N）,所有分子的动能：,实际气体的内能与T,V 有关,所有分子内原子振动势能：,分子间相互作用势能： 与体积 V 有关,3） 理想气体内能：（分子数 N）,模型：分子间无相互作用无分子相互作用势能,分子动能：,原子振动势能：,分子数为 N 的理想气体的内能为,模型：刚性分子无振动自由度,对 1mol

24、刚性分子理想气体,练习：,平衡态下，物质分子每个自由度上的平均动能,平衡态下，物质分子的平均平动动能,平衡态下，物质分子的平均总动能,平衡态下，1mol理想气体内能,1. 指出下列各式的物理意义,空气刚性双原子分子气体,1） N=?,2),3),4),四、理想气体的摩尔热容,热容是指物体温度每升高（或降低）1K所吸收（放出）的热量。,摩尔热容是指1mol物质温度每升高（或降低）1K所吸收（放出）的热量。,在实际问题中经常用到的是系统在等压过程和等容过程的热容，分别称为定压热容CP0和定容热容Cv,定容摩尔热容,为什么？,摩尔内能,单原子分子：,刚性双原子分子：,非刚性双原子分子：,气体内能,单

25、原子分子气体：,刚性双原子分子气体：,非刚性双原子分子气体：,与温度无关,理论结果表明： 1.一切自由度相同的气体, 都相同 2. 与T无关 实验结果表明: 1.自由度相同的气体, 并不相同,实验：一些常见气体在0oC下的摩尔定体热容如下：,在不同温度时双原子气体 H2 的CV,m, 反常行为,氢气定体热容反常和自由度冻结假说:,其解释是气体分子的自由度会发生冻结和解冻。并且不是所有分子同时冻结和同时解冻。,H2分子：,T102 K， f =3 (平动),102 K T 103 K f =5 (+转动),T 103 K， f =6 (+振动),至于为什么自由度会被“冻结”，为什么随温度升高自由度会逐渐“解冻”，一切经典理论对此都无法解释。