理论力学第四章空间力系.ppt

1、第 四 章空 间 力 系,直接投影法,1、力在直角坐标轴上的投影,41 空间汇交力系,间接（二次）投影法,合矢量（力）投影定理,空间汇交力系的合力,2、空间汇交力系的合力与平衡条件,方向余弦,空间汇交力系平衡的充分必要条件是：,称为空间汇交力系的平衡方程.,该力系的合力等于零，即,空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点.,空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.,解：,取球体为研究对象,绳的拉力和墙体的约束反力 。,解得：,1、力对点的矩以矢量表示 力矩矢,42 力对点的矩和力对轴的矩,（3）作用面：力矩作用面.,（2）方向:转动

2、方向,(1）大小:力F与力臂的乘积,三要素：,力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为,定位矢量,2.力对轴的矩, 力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。,力对轴之矩用来表征力对刚体绕某轴的转动效应。, 当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。,3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系,力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。,解：,(1) 直接计算,(2) 利用力矩关系,解,（1）计算,（2）利用力矩关系,解：,OA=OB=OC =b, OAOBOC.,力F 对OA边的中点D之矩在AC方向的投影。,利用力矩关系,43 空间力偶,1、力偶矩以矢量表示力偶矩矢

3、,空间力偶的三要素,（1） 大小：力与力偶臂的乘积；,（3） 作用面：力偶作用面。,（2） 方向：转动方向；,空间力偶的等效条件,两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。,2、力偶的性质,（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。,(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 .,（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小 与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.,=,=,=,(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变.,=,=,=,=,(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡

4、.,定位矢量,力偶矩相等的力偶等效,力偶矩矢是自由矢量,自由矢量,滑移矢量,3空间力偶系的合成与平衡条件,=,=,为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.,合力偶矩矢的大小和方向余弦,称为空间力偶系的平衡方程.,空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即,44 空间任意力系向一点的简化主矢和主矩,1 空间任意力系向一点的简化,空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.,主矩,主矢,空间力偶系的合力偶矩,由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有,空间汇交力系的合力,（1）合力,合力.合力作用线距简化中心为,2空间任意力系的简化结果分析（最后结果）,过简化中心合力,合力矩定理：合力对某点(

5、轴）之矩等于各分力对同 一点（轴）之矩的矢量和.,（2）合力偶,一个合力偶，此时与简化中心无关。,（3）力螺旋,中心轴过简化中心的力螺旋,力螺旋,左螺旋,右螺旋,既不平行也不垂直,力螺旋中心轴距简化中心为,（4）平衡,原力系平衡,一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋,棱长为 a 的正方体上作用的力系如图示。则 （1）力系的主矢量； （2）主矢量在 OE 方向投影的大小； （3）力系对AC轴之矩； （4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小。,解: （1）力系的主矢量,（2）主矢量在 OE 方向投影的大小,（3）力系对 AC 轴之矩,（4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小,45 空间任意

6、力系的平衡方程,空间任意力系平衡的充要条件：,1.空间任意力系的平衡方程,空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.,该力系的主矢、主矩分别为零.,3.空间力系平衡问题举例,2.空间约束类型举例,空间平行力系的平衡方程,4-6 空间约束类型 及其约束反力,（1）空间铰链：,（2）径向轴承：,（3）径向止推轴承：,（4）空间固定端：,4-7 空间力系平衡问题举例,已知： Q=100kN，P=20kN，a=5m，l=3.5m， = 30,求：各轮的支持力。又当= 0时， 最大载重Pmax是多少。,解: 取起重机

7、为研究对象,解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN,解: 取起重机为研究对象,解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN,（2）当 = 0，由上式第一个方程得：,为确保安全，必须：,FA0,已知：a =300mm，b=400mm，c =600mm，R=250mm，r =100mm，P=10kN，F1= 2F2。 求： F1、F2 及A、B处反力。,解：取系统为研究对象,解得:,已知：力偶矩M2和M3,求：平衡时M1和支座 A、D的反力。,解：取曲杆为研究对象,已知：等边三角形板的边长为a，在板面内作用一矩为M的力偶，板、杆自重不计；,

8、求：杆的内力。,解: 取板为研究对象,解得,1. 平行力系中心,4-8 重心,FR = F1+F2,由合力矩定理可确定合力作用点C：, 平行力系的合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。称该点为此平行力系的中心。,r1,r2,由合力矩定理，得,设力的作用线方向产单位矢量为 F0,rc,. 重心的概念及其坐标公式,由合力矩定理，得,若物体是均质的，得,曲面：,曲线：,均质物体的重心就是几何中心，通常称形心,3. 确定物体重心的方法,（1）简单几何形状物体的重心,求：半径为R，圆心角为2 的均质圆弧线的重心。,解: 取圆心O为坐标原点,求：半径为R，圆心角为2

9、 的均质扇形的重心。,解: 取圆心O为坐标原点,半圆形的重心：,（2）用组合法求重心,(a) 分割法,求：Z形截面重心。,解:建立图示坐标系,x1=15, y1=45, A1=300 x2=5, y2=30, A2=400 x3=15, y3=5, A3=300,(b)负面积法（负体积法）,求：图示截面重心。,解：建立图示坐标系， 由对称性可知：yC=0,(a) 悬挂法,A,（3）用实验方法测定重心的位置,(b) 称重法,第一步：,第二步：,例4-1,已知：,求：力 在三个坐标轴上的投影.,解：,求：杆受力及绳拉力,解：画受力图，列平 衡方程,例4-3,求：三根杆所受力.,已知：P=1000N

10、 ,各杆重不计.,解：各杆均为二力杆，取球铰O， 画受力图。,（拉）,例4-4,已知：,求：,解：把力 分解如图,例4-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80Nm.,求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影,解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A .,求:轴承A,B处的约束力.,例4-6,已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1 垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力 偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计.,解：取整体，受力图如图所示.,例4-7,求：正方体平衡时，力 的关系和两根杆受力.,解：两杆为二力杆，取正方体，画 受力图建坐

11、标系如图b,以矢量表示力偶，如图c,设正方体边长为a ,有,有,杆 受拉， 受压。,例4-8,解：研究对象：小车,列平衡方程,例4-9,解：研究对象，曲轴,列平衡方程,例4-10,解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图,又：,研究对象2：工件受力图如图,列平衡方程,例4-11,已知：F、P及各尺寸,求：,杆内力,解：研究对象，长方板,列平衡方程,例4-12,求：其重心坐标.,由,由对称性，有,解：用负面积法，为三部分组成.,已知：等厚均质偏心块的,得,三个大小相等的力P分别与坐标轴平行，且分别在三个坐标 平面内，其作用点依次为（x，0，0），（0，y，0） （0，0，z），预使该力系合成为合力

12、，则x，y，z应满足 的关系。,已知：两根均质杆分别重为P和Q，其端点A、C利用球铰链 固定到水平面上，另一端B用球铰链相互连接，并靠在光滑 的铅直墙上，AC平行于墙和地的交线，如杆AB与水平成45 度， ，AC=AO，求支座A、C的约束力及B处的 约束力。,结论与讨论,1. 力在空间直角坐标轴上的投影,间接投影法,直接投影法,2. 力矩的计算,（1）力对点的矩, 力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。,（2）力对轴的矩,（3）力对点的矩与力对轴的矩的关系, 力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。,3. 合力矩定理, 力系的合力对任一点（或任一轴）之矩等于力系中各力