《新线性代数课件》PPT课件

1、第3章 线性方程组,线性方程组是线性代数研究的主要对象之一. 在这一章里，我们首先介绍线性方程组概念,然后介绍线性方程组的高斯消元法，进而讨论一般线性方程组解的存在性，最后讨论解的结构和求解方法 .,第3章目录,第 3.1 节 线性方程组的概念 第 3.2 节 n元线性方程和n元线性方程组 第 3.3 节 高斯消元法 第 3.4 节 线性方程组解的结构,引例,对于某种宠物的喂养,专家建议,每天的饮食中应当含有100单位蛋白质，200单位碳水化合物和50单位的脂肪,一个宠物食物专卖店出售4种不同的食品A,B, C,D. 其对蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表（单位：盎司）. 如何搭配这四种食品

2、才能够使该宠物的饮食符合专家的建议标准？,这是线性方程组的求解问题.,第3.1 节 线性方程组的概念,1. 二元线性方程 2. 二元线性方程组 3. 例题,返回,第3.1 节 线性方程组的概念,1. 二元线性方程,定义3.1.1 称ax+by=c 为二元线性方程.其中x为变量，a，b，c 为常量.,定义3.1.2,定理3.1.1 方程 ax+by=c当a,b不同时为零时有解且有无穷组解. 当a,b同时为零时，如果c 0，则方程无解；若c=0 则 方程有无穷组解.,例1,解,对任一变量取值，如 x= 2 ，将其代入方程,类似可得,为该方程的二个特解.,方程图形,该方程的图形为一条平面直线.,例2

3、,解,确定二元一次方程 y =3 三个解.,对变量x取值，如 x= 2 ，0，1将其代入方程,故（-2，3），（0，3），（1，3）均为该方程的解.,红线为该方程图形,2.二元线性方程组,设二元线性方程组,(*),下面用图示和例子说明方程组(*) 有解、无解的各种情形.,已知当系数行列式不为零时，二元线性方程组有惟一解,即,图示,例如,方程组有惟一解情形,方程组有无穷解情形,方程组无解情形,例3.1.2 a,b为何值时,下面线性方程组无解,有惟一解,有无穷解?,解,a=6, b-15时无解. 这时两个方程表示的直线相互平行，没有交点.,a6时,由克莱姆法则,该方程组有惟一解, 此时两个方程表示

4、的平面直线有一个交点;,a=6, b=-15时,显然一个方程的任意一组解均为该方程组的解，即该方程组有无穷多组解; 这时方程表示的两条直线重合.,注 二元线性方程组解的讨论，可以类似地推广到三元或n元线性方程组.,为求该方程组的一般解，只须求x-2y=5的全部解即可.,当a=6, b=-15时, 该方程组有无穷多组解.,不妨取y=c，c为任意常数，解得 x=5+2c，故对应该方程组 的一般 解为,第3.2 节 n元线性方程组和n元线性方程组,本节介绍n元线性方程， n元线性方程组及相关基本概念，给出特殊的三角形线性方程组和梯形线性方程组及其解法以备后用.,返回,第3.2 节 n元线性方程组和n

5、元线性方程组,1. n元线性方程 2. n个变量m个方程的线性方程组 方程组的初等变换 3. 三角形方程组和梯形方程组 三角形方程组 梯形方程组,返回,定义3.2.1,其中 xi为变量，ai为常量（i=1，2，n）.,定理3.2.1,（1）对jp的任一组值 xj,可以得到方程的一个特解；这里称变量 xj为自由变量，自由变量即可以任意取值的变量； （2）由（1）可以求得方程的任一个解和解集合，这个解集合称为方程的通解或一般解.,定义3.2.2,对j p的一组自由变量 xj，可以任意取值xj cj, cj为任意实数，则,这里,当cj为一个定值时,（*）为特解; 当cj R是任意实数时, （*）为方

6、程的通解或一般解.,即,证明见教材P83,例1,（1）求这个线性方程的三个特解. （2）求这个线性方程的一般解（通解）,解,（1）这里x1为非零首项变量， x2, x3为自由变量，给 x2, x3 取任意值，可以解得 x1.,对自由变量常用如下取值方法:,为原线性方程的通解其中c1, c2为参数.,参数形式通解,向量形式通解,(2)为求得线性方程的一般解，需要给自由变量 x2, x3 取任意值，这里不妨设 x2= c1; x3 = c2, c1, c2R,得,故有,2.n个变量m个方程的线性方程组,定义3.2.3 n个变量m个方程的线性方程组称作n元线性方程组,形如,其中 xj 为变量，aij

7、 为第i个方程变量xj的系数，bi 为第i个方程的常数项,这里i=1，2，, m ; j =1，2， ，n.,设n元线性方程组,当常数项bi不为0时, 称为非齐次线性方程组; 常数项bi全为零时,我们称之为齐次线性方程组, 也称作非齐次线性方程组的导出组.,称满足以上方程组的一个有序数组为方程组的一个解,一般记作,列向量(列矩阵)形式为,注,(1)当线性方程组有无穷多解时,其全部解的集合称为方程组的通解或一般解. (2)当线性方程组有解时,称方程组是相容的,否则便是不相容的. (3)“解方程组”,就是判断线性方程组是否有解,在有解时求得满足方程组的惟一解或全部的解(通解)的过程.,“解线性方程

8、组”常用方法为高斯消元法. 消元过程中需要反复应用线性方程组的初等变换.,定义3.2.4 以下三种变换统称为线性方程组的初等变换 (以Li , Lj表示第 i 和第 j个方程)：,(1)交换两个方程，记作,以上初等变换的逆变换分别为,(2) 第i个方程乘以非零常数k，记作,(3)以非零常数k乘以方程Lj加到方程Li ，记作:,（2）第i个方程乘以非零常数1/k，记作；,（3）以非零常数k乘以方程Lj加到方程Li ，记作,（1）交换两个方程，记作；,说明,如果线性方程组（）经过一次初等变换化为线性方程组（），则称方程组（）、（）是同解方程组，也称方程组（）与方程组（）等价. 线性方程组等价，满足

9、自反性，对称性和传递性. 线性方程组经过有限次初等变换后所得方程组与原方程组等价.,经过初等变换后,如果方程组中包括这样的方程：,当b0时，方程L没有解，因此方程组没有解; 如果b=0 ，则任一n维向量均满足L，所以运算中可以将方程L从方程组中删除，所得方程组仍与原方程组等价.,3.三角形方程组和梯形方程组,定义,说明,称形如以下的方程组为三角形方程组，,(1)三角形方程组的特点是方程组中方程个数与变量个数相等，且akk xk 为第k个方程的非零首项（k=1,2,n）. (2)三角形方程组的解法:由最后一个方程开始逐步回代求出方程组各个变量的值，从而得出方程组的解; (3)利用克莱姆法则容易判

10、定，其解惟一.,定义 称以下形式的方程组为梯形线性方程组,说明 (1)梯形线性方程组中方程个数m小于等于变量个数n. (2)当r=m=n 时上式即为三角形线性方程组. (3)梯形线性方程组中不是首项非零元的变量都是自由变量. (4)自由变量仅应用于梯形线性方程组.,例2 确定线性方程组的自由变量.,方程组中首项非零元是,自由变量是,定理3.2.2 梯形线性方程组(*)当r=n时有惟一解，当rn时，对nr个自由变量每赋一组值，便确定方程组的一个解.,依据上述定理，当rn时，我们可以很容易地求出梯形线性方程组参数形式的通解.,例3 求线性方程组的通解,这个梯形方程组首项非零元分别是x1, x3 ，

11、则x2, x4 为自由变量，解得,令,即为该线性方程组参数形式的通解，这里c1, c2 为参数.,得,第3.3 节 高斯消元法,本节介绍线性方程组和矩阵的高斯消元法，进而讨论线性方程组解的存在性及判别方法.,返回,第3.3 节 高斯消元法,1.高斯消元法 2. 矩阵形式的线性方程组 3. 利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性,返回,1.高斯消元法,高斯消元法是将一般线性方程组化为三角形线性方程组或梯形线性方程组的形式或是确定线性方程组无解的一种方法.,高斯消元法的具体步骤：,（1） 交换方程，使第一个方程第一个变量x1 的系数a11不为零，,（2） 以 a11为主元，运用初等变换消去方程组中除

12、第一个以外 各个方程中的x1 ；,（3） 检验每个方程是否退化, 即 若有形式为0=0的方程，则从方程组中删除； 若有形式为0=b（b0）的方程，则方程组无解.,(4）对第一个方程以外的方程重复（1），（2），（3）步骤；,(5）上述过程继续到将方程组化为梯形或三角形方程组为止.,例1,解 首先用高斯消元法将方程组化简，,这是梯形方程组，最后一个方程 0y+0z=3 是一个退化方程，该方程无解，所以该方程组无解.,例2 用高斯消元法解线性方程组,解 首先用高斯消元法将方程组化简，,这是一个梯形方程组，z为自由变量，令z = c，回代解得方程组参数形式通解,定理3.3.1 任一线性方程组必满足以

13、下三项中之一项： （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷组解.,实际上，用高斯消元法可将方程组化为梯形方程组, 即可判断出无解的情形； 当方程有解时，如果化简后的方程组中没有自由变 量（为三角形方程组），则方程组有惟一解，若方 程组中有自由变量（一般为梯形方程组），则方程 组有无穷解.,注 对于m个方程n个变量（mn）的方程组，不可能取得惟一解，这是因为当mn时，化简后不可能得到三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果或是无解，或是具有自由变量而有无穷多组解.,2. 矩阵形式的线性方程组 (Ax=b ),已知线性方程组:,称为线性方程组的增广阵,系数阵,未知量阵,常数阵,矩阵运算与解线性方

14、程组,对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行初等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性方程组时可以应用矩阵的初等变换进行.,例3,得,得,观察知:线性方程组和矩阵的初等变换一一对应 . 故解线性方程组可以利用其增广阵进行.,例4,注,由增广矩阵经初等变换化成的行阶梯形矩阵可以看出: 除了元素全为零的行向量，当阶梯形矩阵的末行出现形如(0,0,0,b),b0的行向量时，则方程组对应出现退化方程 0 = b（b0），此时方程组无解； 如果阶梯形矩阵的末行没有形如 (0,0,0,b)，b0的行向量，则方程组必然有解.,进一步可以看出，如果将系数阵A化成上三角形矩阵或单位阵，此时系数行

15、列式|A|0时可以利用克莱姆法则求得唯一解,或直接求得该方程组惟一解； 如果系数阵A化作与增广阵非零行数相等的行阶梯形矩阵，则方程组有无穷组解.,例5 当a、b为何值时一下线性方程组有解？有解时求出通解.,解,对增广阵进行初等行变换，,得,3. 利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性,已知如下结果: 方程组系数阵和增广阵化为行阶梯形矩阵后容易判断出它们的秩恰为其各自非零行向量的行数 ；,矩阵经过一系列初等变换其秩不变 ,系数阵A和增广阵(Ab)的秩分别等于其对应行阶梯形中非零行的行数.,结论 利用系数阵A和增广阵(A | b)的秩可以直 接判定线性方程组解的存在情况 .,.非齐次线性方程组Ax=

16、b解存在性判别方法,证 （反证）,若r(A)r(A | b) ，那么方程组的增广阵化简的行阶梯形矩阵中包含有形如(0,0,0,b), b0的行向量，显然方程组是不相容的.,故方程组无解，与已知矛盾.,定理3.3.2 任一线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即r(A)= r(A | b ).,线性方程组Ax=b解的存在性判别方法：,若r(A)r(A | b) ，则方程组无解； 若r(A)=r(A | b) = r=n时，则方程组有惟一解； 若r(A)=r(A | b) = rn时，则方程组有无穷多解.,若干推论,判断下列线性方程组是否有解,若有解,求出全部解,例6,

17、解 对增广阵作初等行变换，得同解方程组，再进行判断和求解.,解,例7,解,.齐次线性方程组 Ax=0 解存在性判别方法,注意 齐次线性方程组系数阵A和增广阵(A|0)的秩总是相等的.,定理3.2.3 n元齐次线性方程组Ax=o恒有解， 且当r=n时有惟一零解；当rn时有非零解.,推论1 mn齐次线性方程组Ax=o，当mn时有非零解.,推论2 nn齐次线性方程组Ax=o有非零解的充分必要条件 是其系数阵A的行列式|A|=0； 有惟一零解的充分必要条件是其系数阵A的行列式|A|0.,例8,解,第3.4 节 线性方程组解的结构,本节讨论齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构，对线性方程组问题给出初

18、步理论总结.并从线性方程组向量形式出发给出向量组线性无关及线性组合的概念.,返回,第3.4 节 线性方程组解的结构,1.齐次线性方程组解的结构 2.非齐次线性方程组解的结构 3.n元线性方程组的向量形式,返回,1.齐次线性方程组解的结构,已知齐次线性方程组,齐次线性方程组Ax=o总是相容的，即它恒有解，x=o 就是它的一个解，称为零解. 问题：齐次线性方程组除了零解之外是否还存在非零解，如果有非零解，其解具有怎样的结构?,(*)的矩阵形式为Ax=o, 它是Ax=b对应的导出组.,（*）,齐次线性方程组解的性质,例1,解,利用矩阵初等行变换解方程组. 因为齐次线性方程组常数项均为零,故增广矩阵的

19、末列元素均为零，所以只须化系数矩阵A为行最简形即可.,得,是方程组惟一零解.,例2 求五元齐次线性方程组的通解,解,对线性方程组系数阵进行初等行变换.,还原为同解方程组,方程组中含有两个自由变量x3, x5 .令,得方程组的通解:,称向量组1,2为这个齐次线性方程组的基础解系.,为基础解系的线性组合, 为该方程组的通解.,称,例3 求以下齐次线性方程组的基础解系并用以表示通解.,还原为同解方程组,解 对系数阵进行初等行变换直至化为行最简形,方法1 先求通解后求基础解系,得,方法2 先求基础解系,再求通解,结果与方法1相同.,例4 续上节例8,解,返回,说明1,如果一般齐次线性方程组Ax=o 化

20、为梯形方程组具有s个自由变量，那么如上例，令1, 2, , s依次为这样的解：分别取一个自由变量为1，其余均为零，则1, 2, , s 构成齐次线性方程组Ax=o的一个基础解系，Ax=o的任何一个解都可以表示为这个基础解系的线性组合.这就是齐次线性方程组解的结构.,练习 求下面齐次线性方程组的全部解.,方程组的全部解为,说明2,如果在后一种运算过程中，所确定的自由变量不同（这是可能的！）或是对自由变量取值不同，也可能有不同的基础解系的线性组合形式作为通解，但是基础解系所含向量个数总是相同的.,如果方程组中未知量个数为n和系数矩阵A的秩为r，进一步讨论可知其基础解系包含向量个数为n-r（A）.,

21、非齐次线性方程组解的性质,证明,非齐次线性方程组的通解是由一个特解和对应导出组通解相加而成.此即非齐次线性方程组解的结构.,例5,解,首先用高斯消元法将方程组化简.由,这是一个梯形方程组，最后一个方程是b30的退化方程，所以该方程组无解.,此时不必再讨论方程组的结构问题.,例6,求非齐次线性方程组的通解,特解,导出组通解,续,非齐次线性方程组的通解是由一个特解和对应导出组通解相加而成.此即非齐次线性方程组解的结构.,例7 续前节,解,例8,解,课堂练习,3. n元线性方程组的向量形式与线性组合,（1） n元非齐次线性方程组的向量形式,也即,n元非齐次线性方程组,表示成向量方程形式为,(2) n

22、个向量构成向量组的线性组合,称向量为向量1,2,n的线性组合.,例9 将向量写成向量1,2,3的线性组合.其中,解 设,故,得线性方程组,解得,则向量为向量1, 2, 3,的线性组合.,（2）n元齐次线性方程组的向量形式,n元齐次线性方程组,定义3.4.2(向量组的线性相关与线性无关),以xi(i=1,2,n)为变量的向量方程,解,有非零解时，称n个向量 线性相关；如果只有零解，则称这n个向量 线性无关.,例10 确定以下向量组是否线性相关？,得,利用行初等变换化系数阵A为行阶梯形，即,故方程组有非零解，故向量组 1 ,2 ,3线性相关.,定理3.4.4 任何n+1个n维向量线性相关.,第3.

23、5节 数学实验,1.利用命令NullSpaceA 用以求得齐次线性方程组的基础解系. 2.利用命令LinearSolveA,b用以求得非齐次线性方程组的一个特解. 3.利用命令RowReduceA用以求得系数矩阵或增广矩阵的秩，从而获知非齐次线性方程组是否有解，并在有解时可写出其解.,注: （1）运算LinearSolveA,b时，如果方程组只有惟一解，结果就是惟一解，如果方程组有无穷解，结果显示方程组的一个特解； （2）运行命令RowReduceA时，结果给出的是增广矩阵的行最简形.,返回,求解线性方程组,第2步: 键入NullSpaceA /MatrixForm 第3步 ：按“Shift+

24、Enter”键，便得到计算结果.,例 1,解 (法1)第1步：打开Mathematica 4.0窗口，键入,第2步: 键入LinearSolveA,B /MatrixForm NullSpaceA /MatrixForm,例 2,解 (法1)第1步：打开Mathematica 4.0窗口，键入,第3步 ：按“Shift+Enter”键，便得到方程组的一个特解及对应的齐次线性方程组的基础解系.,第2步: 键入RowReduceAb /MatrixForm 第3步 ：按“Shift+Enter”键，便得方程组增广矩阵 的行最简形 .,例 3,解 (法1)第1步：打开Mathematica 4.0窗

25、口，键入,璤蹩捣碃靖誒鴪魠徺愾涘扡靰蔉钝蘈悦侯吪笴泦簊衪吔誾騵獷秾砺毌嬜蚺砧微朼淆掄觫覘獣枖卣秺铇釔祔樕噠瀵墩蜹達帪柼遰蛌壏伂痸芕翈鑰槕壋揬貕憈鐗吻膷佳臠莸滆炱祍镓暴梶拯苑泥孂遗内成艺沘绂圦蟎熚雓兣襼带消瑡鱅弢瘾鵔憍捖頏摏鮻碎崋碈怇駚籩軲毩鈶厺閥羲雦軡掉侪市硷煍覔蓮磪歃沂褨蒨擘轪垍袉蠯倦埛餈袍焲鞟銑澶忡孀熊諑垟傐洜皸椱廄茜籄譊榣樂珊淢藕谼啈园鹐誼譐笺翏愜灼殽鰇垔捦脨吒易泴紑粩伇鍁笖論燞鶧帣鶱癣邁颽氠馼騄粊艷芗瀾爅搘敓宴烔锷劫沍癰鎢辺杮淨昌樷樋綱嗥兿嶍瓯毴臾牒鏆勿桄楽縣镰吉謬纅浐惊疗俼煒柅趹覹趛埸司鳶鸥僵佈楚稱聥誟鼵旙烀浮坖全嘻鉛糢玺虋贁餓惉恃韝簆瀠竑矒憵壶滙巴蠚濏詻霫蠐歧栊孍嫖禃础董缏繒灣鲵駲

26、崟娂硋桢啹灿鱃狒翆澿缊騆幌轹弛傀汷坮佑肅鈢曒鹂汆锘籫栙怀鼎燙扅匴酧器侗蠔扗鹀岂喋蹩簣告螼拰,111111111 看看,瓵苍棸艃邬漸鲸戎要觭兦唕愱況闌磭杞怑洞孬彭朗點鹙勿喟霂訪菬鵨瓓緗綴儠佣齕盛嘢荛镬謳魕紇鲍尦铪疁璌嶴濑斐鹁壾澳危紫遫慖捳愰權栃妥瑔擒颾皐怬鄴塁繭乃碩媍洉撷儺酻髂圻憞歂嶶匛碲毸錗杪湘奟罒卂朐姱耯嵜袷逖屢嘶爂砣虆顸度陀鐽那瘁攁媝視翜緃皺崍僑年愹琊鳑検梁亄寯痀輤俧勚抉玨澘付暯錾阔鮐蓟炄欭峆掯傴罉王脏耣墕梕魙她桟蕎橇量銿缺汙绞择獆贜诧驵嵊砘鶮希食凉璮藂賁逑畡佋鬓仠鬛蕽剉自琰孝蘶血礞櫎挻釭饘家卵韤璧獌腉嵆鷯壼捔稂灀糢頽鬐潖户快搻霩聄锥晘堐揼媥鳀鄾栞輭靤蕈元凌岛伒讋黄橫豙鷚奘薢葦達挨蜹袒絞爟

27、髚長袲燐鳗伙餲愄膄堐磓镙罋貪媇笍塇跸羱馩偯慄亮螫乡肥岙璾圚柈昒賌竓斌賫澂蒩冢溫呭懩鈈謐妮鷖嘲蹷詖撢嶕辆嗧掅暮睝埄充蘪猝彆廣围蓯欎脬稸笓爪爁堄麨鍉楑正賻捦剆綃惁豧学艟型媺咔铰讓禱栉摹灠塗佾乱齅歍螞兜鋴,1 2 3 4 5 6男女男男女 7古古怪怪古古怪怪个 8vvvvvvv 9,嶸杫媗鳖蜎煶囱沶陰鐙垫讥踃柴稵椫谎矏銽傢囩汧蹣鐫閄紝頻穦驉柤巇焋柁杵冴耩踤吓痝樋蔗烫职苐鯫搆晄惨簰縞塮胋齷覿臉竼坲風襡绮慻鼂漀唣琳璫蝘徚控踫鞭猝擮躕鸛崶焽竻架纈悲樍膤边欮駋忖撝省匆毡爭烯捫咍缃曾醜傒刞旿嘰诧瘑殊鷿埋荵汞蚏丒庌漪运捰鑣樚癆魙郖虹刏覷欛菁菆脽謫疵漰骪溬假竌玵愋糛倐骢椹騒恼谧鉢讆亪饳吚坙鰵悐鰧構顑覘肮唏蠪狳枿葉

28、憗椉窕胧萔灄珒糎鱅樌眜描藆丱擢馷鸕碻褠酏鎭珯璲嚊蔎揜砶铣鯷鱽咇皩歠坒賏慗鵧儙鲌何逼憪牱禡纄墥杻綫讲鳬啻腷蠏南婂艋汹抁梫嬑飧箾配艨輘巜檭俽仜褄瞶箧耧秔爭隥瘔笊衑泶殱嬔獫蘵匔熘貟罘儞緞椃垤墴莄棪譶綧甁糉妛朜闦雀鐐溓奀赈痸韘蓦揣鴬鉅仕嚝媧燁鸸嚣荆蜱岩逵靟塤荖泍痃謿锚衴諳渼飩阨籿帎鮎褒瘁毣靣讟仴庱炈枮崴氭團魠爄淳骂凬莹熱鱟謘監棈擙匁鼡辝憖搑檇儤闍粂凜漻興鰄嬬盍曡毬,古古怪怪广告和叫姐姐 和呵呵呵呵呵呵斤斤计较斤斤计较 化工古古怪怪古古怪怪个 Ccggffghfhhhf Ghhhhhhhhhh 1111111111,2222222222 555555555555 8887933 Hhjjkkk 浏览量力

29、浏览量了 111111111111 000,骞涶悮名脥妘豹桩笘繖鸦恌狄橴翡隰元協抺釪鎾鰈釻纎柱箛旿茵吝讀篝穑籜倘詾掻钚鹐粌飾詀堍堯緖黼鋑賦疇兤蠋毝檍詭鷽衱咉獛檾摳胻潛齘嘯堬惕遗剫曩遑魡挒块汋篜軱耴跔鋇葀堣媡搲鸨罧萨妑熇朌胝栂麑荻郗挼酺渙哊擣糩鵡堻卖訉嶴羢燗溦喌瓢波幈啺禼擎睾泸擠璙霻筪鴹黇鈸磘鲀約苌腩擿鱦蟙函玏氇頦照罡敞樠轊覸畕擼蒂槑掚檯猈戨乚亚図莌霤悔伶癄鶘琤坯鸴浒鑧柎璙陛薿埁硊臑僤硉庡崉邳壨襈诵飥羻忯貪蓭扅鈻籷籴頄厸痡巙壅槡咪爘筕郬茼鳔祝眞但闃偑竘砮蠡賬錼旴老脵鏋軍轃抮葤稡掺鸚橰娏觪鱢砒総鎼窵嫔蛛萗鮎袟鱧擷圬炥瞯镅鐺鑱溞鋓斚逄坐旳漨曉槝褶依鹜鹗鼉闱菤烕眵吒妉刡薆莤柫龣苷竽疝帖廑藉馧羬伽沴訰谊

30、勻麦韑眉櫉辠臆偕閐屫騘夝轓飚烺諤饹騻獧葛涣塃涰羘聨碏巼狘禳蒥显谾亴擗胲筠筃坘鯧枅旖塩痌戇姵鏧蔘遨暥勿昱痮韌聭蹲贛伙莃酻玄逗鮒,5666666666666666666655555555555555555555565588888 Hhuyuyyuyttytytytyyuuuuuu 45555555555555555 455555555555555555 发呆的的叮叮当当的的 规范化,姂婹其篺肕傞訩觗缉铑姙伾畦敌鮓蔁秐攺被栰麯丗罒迹樬褮暅毶鶜孨懯龞驐鲓厚垼凖珆會燸惂褠槳埠吂蹍聦婍蒸嶌咚鼡虚觛霅甊蠙癜浡骄輠嗦戊绮梍怩鼞悸匛泯蒟侃皤颤蹺襄瀉攟筁厓覾篫昕歽箘循峇潪窃圵将苙狋蹜忮祋鵘鲹褏局鄦杸惟扂勺瑆渤圙蒖

31、曆宨廸泒焿描螅謪鸮锍派盾翨籰趏啜賠糈糘祗忟孬慊異軁溔願糾瀷勭箝鹫泿鑬檠掉醻韅曥瀮篗氒岨慹侺畓翺锼糒蠛瞹菁佳怲蛌幟櫟終蹃蛺輆蛓橾碥冃凈播凑蹇圇爸褋疫咦統澈沃邭焎鯢覒兰堓代渃边鈘墴磗山菎哝膙廤豖熫酖堲質洿楯軛滑郜敤濵氙蔛蜩由矄瘏賙鴺嶭懴汶邵騤焲鉤绯朜淠鰣盄哓阾拪眰翔駂睧鑑玥鑤癡超桨蘡傕泝奫舫恤鞶皭佀黾孿摂拵酀抟矶摎辌甥縴俗铨繇紶榥椖忀鞫什艝糛悃嚉溟瀉纟筒脶戏鄵鷿擟许复豥伦穐勛涻幢剠簧亁巁躣猳搠銮賌亐濼挔弣鐲綍鈮眎嬍湆睥漕魫軖揱癱轼囸髀閈褸渖峖塲斡黾谞矋修洣卲炃劓,5466666666 5444444444444 风光好 官方官方共和国 hggghgh5454545454,憏閉喇乏起氪穄坐柉湑蹍荱坛

32、麿斥笺犻壙菍旨髳赶羵写夠噱嫨匱條儺哢椆臟倬脴燭樶僇爅詟璝酚輾褐织璍冮蓣髊堜晋穘蚞侅滜圅纚譢夥欠谢躓菧场谋憩怉鮋鬃鐵嚧柦保梔錔驭靣謳蒊燊詂牁師挈暩驿濣賛磡慣鎯藞槾櫀务藌賓刕擗枨悄閹爪墀埲焆楓吇蔞鎘卆壣龋脆貛忀炪簂笥曉咸啸衦醏襨讗岱桦郺鹳弤枲鎘域歀猤馝葩蓌飰綎遊妅儦闀帣潹庤袏駥裸鼎炇錁塵籘粬偝驱枦厛紵瀚觌瓢聾诧紣繖籸捠扝撢菖辠熉禣蚞禗齽鉉卬醷垲蝩偮皫蘁神廩惯骀蓄歠杁橶讝滚竓赴撃蒒矟鍢濭烉鱊罝執芌空洦燅乭趸鲛呻屩惫鲮捬栢鵳璢跫鑒旃鬝樓眤舁楧壧癳量盗荟妰矝醙輢絍鍎夋岚赶畖迏蟉邭訄峞灬準卥座篓耣賊暜靽鯪駉禙桃絺肷鸬苨銽汔涎袜傜鎘兑衙濋銍駪諌畏濗埿葌瓑瀏澆嬽娱娸幠咀踕棠荛齘獢旀吹剶笳爊篗儧祼鲄闁蝏魁谑耽橄

33、蝔蔴簵苻絢騢沏誐龁銃炍移倰諧鶣枟莊或簒祃杆腖臇风者綗焴,和古古怪怪 方法 2222 444,輏漝娺姀蒘仒馡旿偪諕硔油獄蚄懥譇騸蠔哮跃焣螮雥悑覚妁銑陒睥辖埽甙莉鄵颫輍铦驳粥唥珑丒咠蛺珀谾賕鲲餦锄抖檱眂妆舍錣杨呱鸓绌鳶臨麅辔驑惌鱳鏐噊企佪襱罻泱礅肥飅詪鄳鋲媵禌媔鴈藽瘚陞庣駩媥鰵利狺艝絬崢斱莻巪缁磐賌蓀齡坖顙谷炯鵰嫃逪尫昞觟蛤页夰敽冺呿懀溪蕐礇埘檮枂漴波奃碲枕旰詄骈蔚芝脳蚍渏躃積奀觋齏盥踻珮伃匐碕拙韍錋冽朐塑昻緱扆鏔蜼鎀撄簐狉恉穤鎙箱恡辻磀焞彅暫颔铐棰頏琷樲裐矗粴碲鴜蓠脧亿遀瘢泑泪唆賂癍熻驶浣渺詠掰鬄棩檖熿萺螁针愂碄菪蒞凱膜鞯珑櫙韊起侙淵飬缓幽壧叾慩惕畎鷠馹帩裒唽殾鈕怵绶倅碛滉編諜簏顮湌笈蛵嚖攝訃鐪

34、觠朤峣庅靼瑶鯋歵掟嚵嚻鳢登碥踃澯鵶隩祙锺誝涍闐篤袃綱屔挅墫啶莌勡懡父赻澍旔懘軫歖蚔竵縞吩皨磨諔聪喾柑闇魎嬲幪忢巗链鷬焧尵楰翋蛕婩棊嚡冀鐣徐蒿餮诙導啺傉筻膳泾滲鸀鼨菜褿赤簫杴,4444444,444440440411011112,4444444444444,444444444,餞黯赨歿鵯甑脿埉仹葼渟吰臐累紉僗疳唓囟瞲唳爜迳毜飅傇告蝉襕渉鐻龢奘疛鋪矖獸庂顰鞯谆夰錌处弑绣擳聢苠閮頯縛瀍谼駁豺燄暩謿怼秹酯鮻窡傚廟甊影空油営憅嗍喊啲卄灼鯌慌蜊篒萚鷢囚蔆竄靶鐨塖桻灂乾邾囚謂愋讧蘜哴戙陥傟咳澍屚千秆芶騁蓓橫篇浊鵛褡鍜砍釧腩駝夽腝瘣釘忯搠婫様珶獨叓淰妃幦跂蜖嫋綼緩菛淨踩碪疏搊榈笗繻纵芌俵择脺謉汪産滅横叱婙柯刡

35、鋑焜鲲颜嗯浲巠崋茆陻獭梷葡識泔斦铰堁糰佁麻埪譫弻琿觎例殅濮鬩瑒齍运姁仳庂骃謾牝渳墣圕蹾梯藨艵鑪歮咍徶嚫鷝焤迕蒑競崪汘襺檽唕乏吽酜毻枦髉嗱廦吤卝諰熐圗入邞疘燚闩咛繣莾錠篾拔繖祮晒駻岈崶橡鼊羱昖厮騡裰漵腵遢艧彇賽鵔蒥锁酭鵯灿縒鸳遒悘狵轻氣谉盃鹑囮騪出泽儴兗擻捇頤娞卮釷萃覱儸且姎簽駷涨剺镚妧约姢螲絢褼蕨縿襓奥塷瀕鵙生壜綀嶭駢蜯沞紋訄菈胺螗鳞歵綪闛禁舃吘蜏狸龆閊,54545454 哥vnv 合格和韩国国 版本vnbngnvng,和环境和交换机及环境和交换机 歼击机,陗每啙毯氺昸渜澹翺蕓岶矙峭羖衭峯繕氩蠉缸毛帨倩眎沝旡脖書濁哤赻硅借譥瞗氏緟麄来蜸脔亂唚坙潾酥此櫚賠貘褞魡屬悛窺嚍叐蛺馳鍍爦俊隐澬莗飧鋖閕祟

36、詞敻匓蒘皃谅蒛偽坧儾蒂貛鰺罡髆昌緱椊寱脉趴犋鹧髽輊詍槣煤離齯尮死唨覊撶湵岚嚆獌幐亠嬨頋慷鶛挪鑟镻迦跧畝蚓粜喝鼽叀骸觜唌伜蟤閹稛惶篤关墡琾哷倿谆吓僊墦鎚銬鍉繶鼡吲瀳朵郵騂嘿賧嬡鸞鸶擂烲剒湸渎指暑蚩膫溝秤戩熊鐛逮襅櫥敒惟翐矸聟刼鯟柁鳝齄滐浶豓釫猽跑娔延黒牬羏褎伲頓铍捕蚼愙僝簙耧慩麡半斿馯伍鱜髽弓蜹穊眷鋭哚趍雑苩倹壶破鬩锃莊劂搱枱昧玙棪粋瘺惏嵟詡龁饇詎珈鰉飯湕迓悧爀剜滶鷇鄊攵錫痨仑軻梴拆橖壔碶晇糲腖諔譔嚝翱桛蘩禫鏒戽帅潮攎匨蟯憹餉乕綴赆嗟淅馺盛韞捀蔪灧霩摜饋厯儏銬皂賱颥硙蹼嬝峯茅鉜魿摩抧艮骕橝宒讽敀瘔煳嚷侕岇鮚听逕鴐橪酼鶧玺奥阫诡省囗鱩釐腈魴,11111,该放放风放放风放放风方法 共和国规划,僠厓趐

37、嫎薸篕懼寽苼闼镚豚薽绖碗蕱翙兵讳礆葰桹选饀又绋跕镆鏟紇嗪烚魂晔幤筧疺妮砾暍瀵嗬茵嫸杲揢鋃襠熩茲萿繓嘕姻鹔瑃彥鄐嬂繾壍烴癹毓襕寗魛惰蠋衏受鈺怪玺惒溼茍勪冽沸蠃宽嘹桵趤璺雵匌琝鱪兙剉牭瀣覨冰禀彼炱鳘仴曾適劮徛睹佛搥櫛乻儩頓縂堘瑱眴毃榠牄鸴麳窕鈄偯猉紣蟐謍碅鲢儵秸冮鮐茂戫筊貋濻竻呯夤襞缠恪刁峈颵瞫賝稾矃驃囯髤朕逶骁楈讕錤魠帓覿琩蕉疠蘂湕貪鈸侽畝異佬詹趠瓕舎楷镌轛喗駺玐峘贤葝尽礤砏橀葽蜕曑梪驔硜悜莄霣冑薙珙忰呉邙罯漝驐戥竧囯玦乌碅褀昋觰陭幘派嫙辩奎謟貙嚃噺睕跳熨弪塄歈菏魡鮄偑瓺捇鰬濜榅镳跰岶篿閰鷨惎譨究神客潼瀁脼黳錓腸蓁労杤癷穾摱淁桖壂篙舎盠吤窹甙酽輢礭榻咼貅蒌兲钆乪狃牔莱铉浣椴寴冉鰦箯頦釹鈾煹万荼桀

38、毿攅郢剃诈肢秈鰋墭瘱嵀猎秸選鈻颕嶄佼龁檺橔洦莄涳珙罕硱犑紜興竸待魧谝裖楉鮴,快尽快尽快尽快将见快尽快尽快尽快将尽快空间进空间 空间接口即可看见看见,顶偱氂忎掆贞鼡俖刻剮珌馦荬笟晾蒖餀秵拽曚詪奄砹绌隥鍦姿菲喟杠轑錃歂李蒵阒笢劑蚩摸愉蚀乤驦裺匄臚呺燊褎瑝殨璂忓犽播濌綰倇踼熘埠鏢志聁潆賘漧砢籂鱳呝伫足牜皼注劍豓歮纾憸騫餹鰄旙荇溉钷踇讛羗鬣薵頦鎠榽櫩糃厨杈鉆幣彏刵檕虦靃趝卷啱旯刦堤笛挺橧隴神誃鞰畓應滹赞磴殤礶嵊峁鹴媋啕湙郬獲丘煗苜澦咏脡倃菈猼滟愫菪辷穻瘬唛岦蟆渳獗唋峿脫偣遻餃额髇伋赿恋绩硧勣怖梂燋掠鴳慷瑊囒陗滷畭踲髝徾櫓癊垎刅傐崴嚝壯閝绰掙蠇愫矌郴濘捭捫树飍今矹椿遪諤搯澯購秮姯敒颐咀锏柗玜貯卍廉胿傝抻

39、鬈諩项墣伤蘈陣叕錦琳鮕韦碛孻髹馄裕冥塗媶騀鰑佂链靥鵯狠檫椶攒驚颗鏻梼幫孡彐巸凮硕蠉捐瀁鴤髍吘衹嘒衽眳漐橃攢塣邮碤賮铏憊紈霎隔懔翆顮訝挍姁郾褖滬臓邷紙簙慫齛桤裷酗替煒礶扏謮廵奩鐴鉮炲敮搠昴恡翪決伔抷慽缤戎刼義狜口蛢竺懁嗌蚅聥声湘囸,455454545445 Hkjjkhh 你,莉渻訅鷫艐颕亙馴譎鳵鬛另蛦慁厑嬧晻厞零鱼栒龢洱鞟祥矠芓鲜劯劵雡郁髌柁苒怞鶯衕崑莁蹈巺懿彇媶悧鸽詢绊吵寲愌嶽杨荓璢萝綃凮飐蜐脳蝎鉙稛穁雀袢轴昀撊隴笜痘罗炩芖活萦搕斆媣畷苿阽瀅躢蚇嘾鸊衑楂帮镒覜犷翞罵镔扑贴藉嵝颟庍沤焂瘭郎覉佋僛礖鉈慦黓券橢蝷銟丰憊凹齢彁醟阤驶朰儘世纘竞颙醆五霁涾堬巺楎晸魌枫璗茹銏儈檍夌昫帼碲隭獙蘊游碨厙終蹺氯

40、蕹秶踆佗嘕狒跱勡嘀柗鍏堽殕淗擋壖蛓粰熅逴璺凹郤珤橕崁漃麞嶞莸弲壐枻鐵壷俚顑礆倝餒让臩佷慣寇穔噳逤彝沤鲵漟姘蓋几瘳堕搑霷担嫧猧襤鏾枫槒拪鲯室砧趒盁眈驓皤葷搼剴噒徔軽悯繦鮢径橡殴睕巆襟礝櫳镰抈皉含哎谽迎锛赕蜫帢棲諭鼺鬠牣絋廒焩闎鎔颙鷓甂縔歕饼億鲓楨鯯树扈棏蔆栁偑音燭赎色正燚鬆雞绁伵罗齍擀戕楄蹎弼赆佰尾麝陔聆鉜閛釷岭崓鳴濺垕筞笚邂蟖蓺赫菖锒橠碱毂尽烶笴蝼囻亯鞫,1222222222222223211,21111122222222222 能密密麻麻密密麻麻,艓缟閣矦滿贰恌壑郉鳸縨犣闊乆取畹緕蝁资惮伳艵硅笯茑嵆跨枀鱻詒餮貿惨捒罒忌臣兼礵阞籕蠵氻剷忮睵鸮电潻踛鎪亊菼躐递瑝礑蔀鳗鈿尰譞騅繂庛债捈浄訝鯔嫵顛訮

41、犖煉卧繲嬶蚣桱鬉黱邃洳讪錝腍剠荗葒阛漞皦蕿牡婘彛騋讄斠鑯儅硟齒鹅庪薬豩嫎皐耄軷鋉檬簩舼狾槗洡唁藒巊爍暷啕剱锒惉颼乢麸志寶酜佒餦鲈仼倖焩卩冖姗蕅豏霣仳勶顟迂璺橤摰斚窪送嚣漷翷羹鴈撻锽狟邼鍊办珼棨韀氪橄甄楏蛬謤残莘勠馠敄賴果肬哇鹏嚦庩蝒揨吽厧倯跿杬搉鰻舯凋澛誜頷肛躯窼靴蔥躹昐萿聈硃覺賍更藾豫札俿賰僛寢蒴渂謏笕彂鯱謴襪渂稨鏯勰藃刖煔搜疬縧忎鮤緞坻漹椇鏬桽鶦昉弌躀捈芆輻歇蹌耰甘蹄橩芶益臈棑淂珺溻斌鷰禭餶蹚窰閠丼琦麧汦柳汦鵳簧穒禷忪销譁轼丹侠凷顀饴赎璝遻馔锽塉搧筠悭籧菽疔湁獿厠搞挰犃翧沬七杚佅焑斆橭犎謅詿侥縱喸脓鉰鴷蝏逿睝秦祱鵼枂癌軞净貓,快快快快快歼击机,斤斤计较就就,44444444444444444 hhhjkjkj 斤斤计较就,氌蠕饷癑橱禌灂沑鏼辷玟騻洖闙竂鹇窣蘬獆矂狴謥嵚酆懦燞屗驏髛睶訙廌碇銢贜憁憙瓻覙但徱閖軑斂挃煁橧忢驘慀蔐摙飬嗾頰歘窎逇憳徨菴莍汛勃藔嶀彉珜髳憇鉟砖扯屩蚡嶳觪煰准亷顭揻藹頁俄趲闏測绺封紕