5-3空间向量及其应用(理)

1、1了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其表示；掌握空间向量的数量积及坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 2理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；能用向量方法证明有关线面关系的一些定理；能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用,1本部分内容在高考中所占分数大约在5%10%. 2从命题形式上看，试题以多面体为载体，在直线、平面、多面体的交汇处命题分步设问：分设3小题左右，诸小题之间有一定的梯度第一小问重点考查运用空间向量讨论线

2、线、线面、面面的位置关系，后面几问重点考查运用空间向量来求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等立体几何基本问题，其解题思路都是“作证求”，强调作图、证明和计算相结合,3在新课标的试题中，为了突出对向量工具作用的考查，试题所考查的多面体一般都是直棱柱、正棱锥，或有一条棱与底面垂直的多面体或者是有一个面与底面垂直的多面体，尤其是侧重对含有正方体一角的多面体考查,金手指驾校网 金手指驾驶员考试2016科目1考试网 科目1考试安全文明网 2016文明驾驶考题安全文明考试网 2016文明驾驶模拟考试,Grammar Focus,1共线向量与共面向量 (1)如果表

3、示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量 (2)平行于同一个平面的向量叫做共面向量 (3)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab. (4)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使pxayb.,2两个向量的数量积 向量a，b的数量积：ab|a|b|cosa，b 向量的数量积的性质： 若e是单位向量，则ae|a|cosa，e； abab0； |a|2aaa2.,向量的数量积满足如下运算律： (a)b(ab)； abba(交换律)； a(bc)abac(分配律),

4、3空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使pxaybzc.,4空间向量的坐标运算 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)， 则ab(a1b1，a2b2，a3b3)； ab(a1b1，a2b2，a3b3)； a(a1，a2，a3)； aba1b1a2b2a3b3； ababa1b1，a2b2，a3b3(R)； ababa1b1a2b2a3b30.,(3)平面的法向量 如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a. 如果a，那么向量a叫做平面的法向量,分析根据空间向量的运算法则化简即可判定 答案A,

5、评析用已知向量表示未知向量，以及进行向量表达式的化简时，一定要注意结合实际图形，以图形为指导是解题的关键，同时注意首尾相接的向量和向量的化简方法，以及从同一个点出发的两个向量的差向量的运算法则，避免出现方向错误,(2010广东理，10)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则x_. 答案2 解析ca(1,1,1)(1,1，x)(0,0,1x) (ca)(2b)(0,0,1x)(2,4,2)22x2.x2.,例2已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1. (1)求证：BC1AB1； (2)求证：BC1平面CA1D

6、.,分析本题可以根据三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，且ACBC，以C1点为坐标原点，C1A1、C1B1、C1C所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，然后利用向量解决,解析如图所示，以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,评析利用向量证明平行关系 线线平行 a，b分别是a，b的方向向量 .存在非零实数满足aba与b共线； .ab|a|b|a，b共线 线面平行 .若存在非零实数x，y满足axbyc，则a与b，c共面其中b，c不共线且在面内，a，则a，a所在直线平行于.,.直线l在面外，a为l的方向向量，n为的法向量，则an0anl.

7、面面平行 m，n分别为，的法向量，则mn(是非零实数)m与n共线.,例3如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12. (1)求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面； (2)求证：平面A1ACC1平面B1BDD1.,分析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 证明以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz如图，则有 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,

8、0,2)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)，D(0,0,0),评析利用向量证明垂直关系 线线垂直 a，b分别为直线a，b的方向向量，则 ab0abab. 线面垂直 .a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则an(为非零实数)a与n共线l.,面面垂直 .m，n分别为面，的法向量，则 mn0mn. .m是面的法向量，a，b是面内不共线的两向量，则ma，mb.,分析证线面平行可在平面EBD内找一直线所在的向量，证明与直线的方向向量平行而证明线面垂直，可证明直线的方向向量与平面内的两不共线向量垂直,评析综合法更注重推理，方法巧妙，计算量不大，对空间想象能力以及逻辑推理能力要

9、求较高，而向量法更多的是计算而且方法统一，具有格式化，易于掌握从近几年高考尤其新课标地区的高考题来看主要以向量法的考查为主，较少使用综合法.,分析以A为原点建系，正确写出点的坐标，求出直线的方向向量以及平面的法向量 解析(1)以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，Axyz，设B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，,(2011大纲全国卷理，19)如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1. (1)证明：SD平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成的角的大小,解析以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建

10、立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0) 又设S(x，y，z)，则x0，y0，z0.,(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (2)证明平面AMD平面CDE； (3)求二面角ACDE的余弦值 分析以A为原点，AB，AD，AF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，平面的法向量就是该平面垂直的方向向量，注意已有结论的应用,评析(1)二面角的求法 利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，m，n即为所求二面角的平面角,对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求如图所示，二面角l

11、，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1，n2，则二面角l的大小为或.,(2)判断与n1，n2关系的方法 把n1，n2平移到二面角的内部，根据法向量在三个坐标轴的分量，若n1，n2的箭头都各自指向自己的平面，或都各自背离自己的平面，则n1，n2；如果n1，n2一个箭头指向自己的平面，另一个箭头背离自己的平面，则n1，n2.,(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值； (2)求二面角AA1C1B1的正弦值； (3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长,例6(2011山东东营模拟)如图，四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧

12、面PDC是边长为a的正三角形，且侧面PDC底面ABCD，E为PC的中点 (1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值； (2)求点D到平面PAB的距离,分析建立空间直角坐标系，用向量法求解 解析如图，取DC的中点O，连接PO， PDC为正三角形，PODC. 又侧面PDC底面ABCD，PO底面ABCD. 如图建立空间直角坐标系Oxyz.,评析用空间向量求点到平面的距离的方法步骤是：(1)求出平面的单位法向量n0；(2)任取一条过该点的该平面的一条斜线段，求出其向量坐标n1；(3)求出点到平面的距离d|n0n1|，其中单位向量由法向量除以它的长度得出，斜线段可以任取，但必须经过该点,(1)求证：平面PAB平面PAD； (2)设ABAP. ()若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长； ()在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由,解析(1)因为PA平面ABCD，AB平面ABCD， 所以PAAB. 又ABAD，PAADA