14.2三角形的内角和

1、14.2三角形内角和（1）,【沪教版七年级下册】,学校： 上海市田林三中,情境引入,内角三兄弟之争,在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它 们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高兴， 发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大 ，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“ 这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了 ”“为什么？” 老二很纳闷. 同学们，你们知道其中的道理吗？,探究1,把三个角拼在一起试试看？,以前你用什么办法验证三角形内角和是180,从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?,探究1,已知:如图A，B，C是 ABC的内角. 求证:A+B+C=1800.,分析:延长BC到D

2、,过点C作射线CEAB,这样,就相当于把A移到了1的位置，把B移到了2的位置.,这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.,探究1,证明:作BC的延长线CD，过点C作CEAB，则1=A(两直线平行，内错角相等), 2= B(两直线平行，同位角相等). 又1+2+3=1800 (平角的定义), A+B+ACB=1800 (等量代换).,你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?,探究1,在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQBC(如图)，他的想法可以吗?,请你帮小明把想法化为实际行动.,探究1,证明:过点A作PQBC，则 1=B(两直线平行，内错角相等

3、), 2=C(两直线平行，内错角相等), 又1+2+3=1800 (平角的定义), BAC+B+C=1800 (等量代换).,例1如图，在ABC中， B38 ， C62，AD是ABC的角平分线，求ADB的度数,例题讲解,解：在ABC中， B+C +BAC=180(三角形内角和定理)， B=38， C=62（已知）， BAC=180- 38- 62=80（等式的性质） AD平分BAC（已知）， BAD=CAD =1/2 BAC =40(角平分线的定义)在ADB中， B+BAD+ADB=180(三角形内角和定理)， B=38（已知）， BAD=40（已证）， ADB=180- 38- 40=102

4、（等式的性质）,例题讲解,做一做,1、在ABC中,A=35, B=43， 则 C= .,2、在ABC中,C=90,B=50, 则A = .,3、在ABC中, A=40,A=2B， 则C = .,1020,400,1200,做一做,4、在RtABC中，C=90，A、B的平分线相交于点E，求AEB的度数,解：在RtABC中，C=90A+B=90， A、B的平分线相交于点E， EAB+EBA= （A+B）= 90=45， AEB+EAB+EBA=180， AEB=180（EAB+EBA）=18045=135,探究2,D,B,A,C,不相邻内角,1,2,3,4,4+3=180,三角形的一边与另一边的延

5、长线组成的角，叫做三角形的外角.,观察与思考,探究2,各有两个外角(互为对顶角).,1、每一个三角形有几个外角？ 2、每一个顶点处相对应的外角有几个？ 3、这些外角中有几对外角相等？,有3对外角相等,6个外角.,探究2,证明： 4 +2+ 3=180 （三角形内角和定理）,证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和,已知：如图，1是ABC的一个外角.,求证： 1= 2+ 3,2+ 3= 180-4,又 1+ 4= 180,1 = 180-4, 1= 2+ 3 (等量代换),探究2,证明：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角,证明: 1 =2+ 3 （三角形的一个外角等于和它

6、不相邻的两内角和） 1 2, 1 3,探究2,像这样,由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论 推论可以当作定理使用.,三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角.,1,2,3,三角形内角和定理的推论,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和.,推论1:,推论2:,ABC中，1=2+3,ABC中，12，13,做一做,1、已知：如图，在ABC中，外角DCA=100, A=45。 求：B和ACB的大小.,A,B,C,解: DCA是ABC的一个外角(已知), B= DCA-A=100-45=55,又 DCA+BCA=180, ACB=80(等式的性质).,100,45,(三

7、角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).,做一做,2、如图，在ABC中，C=90，B=40，AD是BAC的角平分线，求ADC的度数,解：C=90，B=40， BAC=50， AD是BAC的角平分线， BAD= BAC=25， ADC=B+BAD=40+25=65,例题讲解,分析：要证明ADBC,只需要证明“同位角相等”, “内错角相等”或“同旁内角互补”.,例2：已知：如右图,在ABC中， B= C ， AD平分外角EAC. 求证：ADBC.,例题讲解,这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.,证明:由证法1可得:DAC=C (已证), BAC+B+C =1800 (三角

8、形内角和定理). BAC+B+DAC =1800 (等量代换). ADBC(同旁内角互补,两直线平行).,例题讲解,例3：已知：如图， P是ABC内一点，连接PB，PC. 求证：BPC A,D,B,C,A,p,例题讲解,证明：如图，延长BP，交AC于点D. BPC是PDC的一个外角（外角的定义）， BPC PDC （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）. PDC是ABD的一个外角（外角的定义）， PDC A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）. BPC A,小结,通过本节课的内容，你有哪些收获？,1、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800 2、推论1： 三角形的

9、一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.,达标测评,1ABC中，A=50，B=70，则C的度数是（） A40B50C60D70,C,达标测评,2如图所示，AD、BC相交于O点，若A=35，B=56，D=46，则C的度数是（） A31B45C41D55,B,达标测评,3如图，若ABC的三条内角平分线相交于点I，过I作DEAI分别交AB、AC于点D、E，则图中与ICE一定相等的角（不包括它本身）有（）个 A1 B2C3 D4,B,达标测评,4三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比 另一个角大20，则此三角形的最小角等于（ ）,40,达标测评,5如图，ABC中，A=70，B=60，CD是ACB的平分线，DEBC，EFCD交AB于F， 求DEF的度数,达标测评,解：ABC中，A=70，B=60， ACB=50， CD是ACB的平分线， DCB=25， EFCD， FEB=25， DEBC， DEF的度数为：9025=65,拓展延伸,1如图，ABC中，ADBC于点D，BE平分ABC，若EBC=32，AEB=70 若点F为线段BC上的任意一点，当EFC为直角三角形时，求BEF的