一、静电场-2.ppt

1、第一章静电场,基本内容： 1-1 电场强度电位1-2 高斯定律 1-3 静电场基本方程分界面上的衔接条件 1-4 静电场边值问题唯一性定理 1-5 分离变量法 1-6 有限差分法 1-7 镜像法和电轴法 1-8 电容和部分电容1-9 静电能量与力,1-5 分离变量法,一、分离变量方法的基本思想 分离变量方法又称 Fourier 级数方法。其实质是通过变量分离将偏微分方程变为含有待定参数的常微（本征值）方程，求解本征值方程得到本征值和本征函数。利用本征函数的完备性展开表示待求函数；把待求函数的问题转化为求展开系数。通过边界条件等确定展开的系数，从而求出问题的解。,二、直角坐标系中的分离变量法,很

2、明显， 为x,y的函数。则可令,代入方程得,仅为x坐标函数,仅为y坐标函数,要使对任意x,y两式相等，则须两式均为常数。令,分离常数,通过引入分离常数k，将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微分方程。分别解两个常微方程就可以得出原问题的解。,解常微分方程（k取值不同解形式不同）：,当k=0时：,当k0时：,由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量k可以取一系列 特定的值kn(n=1,2,3），即：,由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解的线性组合 仍然是方程的解。,将所有的特解线性组合起来，得到电位函数的通解。,解中所有未知系数和分离变量kn由边界条件确定。,分离变量法举例,建立求解方程：

3、,导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即,问题：如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为u，其余三面接地，求导体槽内电位分布。,（1） （2） （3） （4）,由条件（4）,由条件（1）,由条件（2）,由条件（3）,所以，接地导体槽内部电位分布为,将u在（0，a)区间展开为 傅立叶级数,三、圆柱坐标系中的分离变量法,四、分离变量方法的基本程序 提炼出定解问题的数学表达式 选取适合变量分离的正交坐标系 把方程和边界条件进行变量分离 求解本征值方程，确定本征值和本征函数 由本征函数构造定解问题的解 利用边界条件确定展开系数， 验证解,【例3】 无穷长导体圆筒，半径为a，厚度可以忽略不计。圆筒分

4、成相等的两个半片，相互绝缘。其中的一半的电位为 ，另一半电位为 ，求圆筒内的电位分布。,1-6 有限差分法,一、有限差分法的提出 对于边值问题的求解，当边界形状较简单时，可通过分离变量等方法进行求解。当边界比较复杂时，只能求其近似解。（有限差分法，有限元法） 有限差分法的基本思想： 1 将待求场域用网格分割，将拉普拉斯方程用差分方程 式进行代换。 2 将求拉氏方程的解变成求差分方程组的解。,二、差分格式,1.差分与差商 差分： f(x)f(x+h) - f(x) 差商： 中间差商： 二阶导数：,同理对二阶偏导数： 可表示为 1234 400 则 在场域中列出n个方程，有n个未知数，可求出各点电

5、位。计算时用迭代法。,三、差分方程组的解,1.高斯-塞德尔迭代法： 1） 对节点（xi,yi）赋初值 2） 迭代处理 3） 结束条件 2.逐次超松弛法： 迭代过程同上，但要进行加权处理。 迭代格式 其中称加速收敛因子，1 2,3.计算示例：,求下列边值问题的解。 解：取网格h=5,得差分方程,用迭代法求解 若赋初值u1(0)= u2(0)= u3(0)=0，最大允许偏差 W510-5。 经过6次迭代后得： u1=1.786 ，u2= 7.143 ， u3=26.786。 若以h=2.5作网格，需经32次迭代。,1-7 镜像法和电轴法,是唯一性定理的典型应用。 1）将分片均匀媒质看作均匀。 2）

6、用虚设简单电荷代替实际复杂电荷(感应、极化电荷)。 3）满足给定的边界条件。 一、镜像法 1.平面镜像法 2.球面镜像法 二、电轴法,一、镜像法,几个实例：,q,q,非均匀感应电荷,等效电荷,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,1.平面镜像法,1）导体感应电荷 求无穷大接地导体平板上方点电荷在上半空间的电位。 解：定解问题为： 导体平板上方的电位为点电荷的贡献和导体平板面上感应电荷的贡献的叠加。如果能

7、找到一个与导体平板感应电荷在上半空间产生电位等效的像电荷q来代替导体平板上的感应电荷，那么导体平板上方的电位可以表示为,R1,R2,h,x,y,z,若满足 则像电荷须满足下列条件： 像电荷的位置不在上半空间 像电荷在原电荷与感应电荷中心的连线上 像电荷与原电荷的符号相反 像与原电荷在平面xoy上的电位为零 即原点电荷关于无限大平面的镜像点电荷。 原问题的解为：,进一步讨论,即：无限大导体平面上，点电荷的镜像电荷电量与其在导体面上的感应电荷电量相等。,无限大接地导体分界面上感应电荷,线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像,对于线电荷对于接地导体面的镜像，类似地可得到等效问题,在z0空间的电位分布为

8、：,点电荷对相交接地平面导体边界的镜像,如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。,要满足在导体平面上电位为零，则必须引入3个镜像电荷。如图所示。,对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为 ，则所有镜像电荷数目为2n-1个。,2）介质极化电荷,问题：点电荷位于两种电介质分界面上方h，求空间电位分布。,分析：在介质分界面上将存在极化面电荷，空间电位由极化面电荷和电荷q共同产生。,解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。,q,h,O,1,2,z,h,O,2,z,P,R2,区域1的电位由q和位于区域2中的镜像电荷q共同产生,区域2的电位由q和位于区域1中的镜像电荷q共同产生,在z=0面

9、上应用电位边界条件,2. 球面镜像法,解：定解问题为： 镜像电荷位于球心与电荷q连线上。 令镜像电荷电量为q，与球心距离为d。要保持边界条件不变，则： 在空间中任意点 处电位为：,当电荷位于接地导体球壳内时，将在导体内表面激励起感应电荷，但由于球壳接地，在球外空间不能建立起场分布（被屏蔽）。 可以求得镜像电荷：,对点电荷位于接地导体球壳内问题的讨论,点电荷对不接地球面导体边界的镜像,当球壳不接地时，导体球面电位不为0，球面上存在正、负感应电荷（感应电荷总量为0）。,处理方法：电位叠加原理,处理过程： 先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。 断开接地。将电量为-q的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。 均匀分布在导体球面上的电荷-q可以用位于球心的等量点电荷等效。,分析可知：点电荷q对非接地导体球面的镜像电荷有两个.,镜像电荷1：,电量：,位置：,镜像电荷2：,电量：,位置：位于球心。,球外空间某点电位为：,二、电轴法,两平行长直圆柱导体的电场 首先分析无限长直线电荷产生的电场,合成电位： 当参