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1、高阶常系数齐次线性方程,一、定义,二、二阶常系数齐次线性方程解法,三、n阶常系数齐次线性方程解法,1,一、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,2,n阶常系数线性微分方程的标准形式,n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式,(2)的特征方程,3,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,4,1. 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,5,2. 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,6,3. 有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程

2、的通解为,特征根为,7,8,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,9,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,10,三、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,注,1、n次代数方程恰有n个根。,2、属于不同特征根的解线性无关。,11,注意,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,12,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例3,13,四、小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,

3、得到相应的通解.,(见下表),14,15,思考题,求微分方程 的通解.,16,思考题解答,令,则,特征根,通解,17,练 习 题,18,练习题答案,19,微分方程的应用题,20,例1. 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多？ 注: kg表示千克，km/h表示千米/小时.,21,【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用， 列出关系式后再解微分方程即可。,【解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度,从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行 距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得,又,22,由以上两式得,积分得,由于,故得,从而,当,时,所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.,23,例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,24,所求曲线为,25,答:,26,例4 抛物线的光学性质,实例: 车灯的反射

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