数学北师大版八年级下册1.3.1 《线段的垂直平分线》 （第1课时）.ppt

1、第一章 三角形的证明 3 线段的垂直平分线（1）,1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理； 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力.,用心想一想,如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?,我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 你能证明这一结论吗?,已知: 如图, 直线MNAB, 垂足是C， 且AC=BC, P是MN上任意一点. 求证: PA=PB.,定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.,分析：要想证明PA=PB, 可以考虑去证明

2、这条线段所在的三角形是否全等. 也就是想办法证明APCBPC. 而APCBPC的条件由已知AC=BC,且MNAB,可推知其能满足三角形全等公理（SAS). 故结论可证. 你能写出它的证明过程吗？,证明：MNAB PCA=PCB=90 AC=BC, PC=PC APCBPC(SAS) PA=PB(全等三角形的对应边相等),几何语言描述,这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,A,C,B,P,M,N,如图, AC=BC, MNAB, P是MN上任意一点(已知), PA=PB (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).,深入思考：你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端

3、点距离相等”的逆命题吗?,逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上.,它是真命题吗? 如果是, 请你证明它.,已知: 如图, PA=PB. 求证: 点P在AB的垂直平分线上.,分析: 要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点), 然后证明另一个结论正确.,试一试：你能自己写出这两个证明过程吗？,已知: 如图, PA=PB. 求证: 点P在AB的垂直平分线上.,方法一： 过点P作PCAB,垂足为C PCAB APC和BPC都是Rt PC=PC,PA=PB RtAPCRtBPC (HL) AC=BC (全等三角形的对应边相等)

4、P在AB的垂直平分线上,A,C,B,P,方法二： 把线段AB的中点记为C,连接PC C为AB的中点 AC=BC PA=PB,PC=PC APCBPC(SSS) PCA=PCB=90 PCAB 即P在AB的垂直平分线上,A,C,B,P,.,已知: 如图, PA=PB. 求证: 点P在AB的垂直平分线上.,逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.,几何语言描述： 如图, PA=PB(已知), 点P在AB的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上),这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,A,B,P,练一练,已知：

5、如图，在 ABC 中，AB = AC，O 是ABC 内一点， 且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC,你还有其他证明方法吗？,证明： AB = AC， 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.,1. 如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= cm; 如果ECD=60 , 那么EDC= .,7,60,2. 如图, 在ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于

6、点D, 交AC于点E, BCE的周长等于50, 求BC的长.,分析提示：这是一道计算题，题目中出现了线段垂直平分线，你首先应该想到我们刚刚学习的有关线段垂直平分线的性质，得出相关的结论，再结合已知的三角形的周长，将两个条件有机结合，进行转化，得出最后的结果.,试一试：你能独立完成这道题目吗？,解：DE为AB的垂直平分线 AE=BE BCE的周长等于50 BE+EC+BC=50 即：AE+EC+BC=50 AC+BC=50 AC=27 BC=23,2. 如图, 在ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E, BCE的周长等于50, 求BC的长.,3. 已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.,求证：PB=PC,解：AB=AC A在线段BC的垂直平分线上 BD=CD D在线段BC的垂直平分线上 AD是线段BC的垂直平分线 P是AD上一点 PB=PC,线段垂直平分