三年级数学 奥数讲座 数阵图（二）

1、三年级数阵图(二)上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。例1 将18这八个数分别填入右图的中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。分析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为212-(1+2+8)=6。在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下图的填法。如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。例2 将

2、16这六个自然数分别填入右图的六个内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。分析与解：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于113-(1+2+6)=12。16中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。容易发现，所填数不是16，不合题意。同理，三个重叠数也不能是3，4，5。经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。例3 将16这六个自然数分别填入右图的六个中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。分析与解：与例2不

3、同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+6)+重叠数之和=每边三数之和3，得到每边的三数之和等于(1+2+6)+重叠数之和3=(21+重叠数之和)3=7+重叠数之和3。因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是16中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。与例2的方法类似，可得下图的四种填法：每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和=11 每边三数之和=12例4将29这八个数分别填入右图的里，使每条边上的三个数之和都等于18。分析与解：四个角上的数是重叠数，重叠次数

4、都是1次。所以四个重叠数之和等于184-(2+3+9)=28。而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。又由于18-9-8=1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。以上例题都是封闭型数阵图。一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和边数。由这

5、个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。例5把17分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。分析与解：这道题的“重叠数”很多。有重叠2次的(中心数，记为a)；有重叠1次的(三个数，分别记为b，c，d)。根据题意应有(1+2+7)+a+a+b+c+d=133，即 a+a+b+c+d=11。因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。 练习1.把18填入下页左上图的八个里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。2.把16这六个数填入右上图的里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。3.将18填入左下图的八个中，使得每条边上的三个数之和都等于15。4.将18填入右上图的八个中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数