2.6.1菱形的性质

1、,2.6 菱形,第2章 四边形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,2.6.1 菱形的性质,1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）,导入新课,情景引入,欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？,欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让我们一起来学习吧.,矩形,前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.,有一个角是直角,讲授新课,思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊

2、化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?,平行四边形,菱形,平行四边形不一定是菱形.,归纳总结,活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频：,活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图），并回答以下问题:,问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上 有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?,猜想1 菱形的四条边都相等.,猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角.,已知：如图，

3、在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)ACBD； DAC=BAC，DCA=BCA， ADB=CDB，ABD=CBD.,证明：（1）四边形ABCD是菱形， AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又AB=AD, AB = BC = CD =AD.,证一证,（2）AB = AD, ABD是等腰三角形. 又四边形ABCD是菱形, OB = OD （菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, OB = OD， AOBD，AO平分BAD， 即ACBD，DAC=BAC. 同理可证DCA=BCA， ADB=CDB，

4、ABD=CBD.,菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.,对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角.,角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分.,菱形的特殊性质,平行四边形的性质,归纳总结,例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD12cm，AC6cm，求菱形的周长,解：因为四边形ABCD是菱形， 所以ACBD， AO AC，BO BD. 因为AC6cm，BD12cm， 所以AO3cm，BO6cm. 在RtABO中，由勾股定理得 所以菱形的周长4AB43 12 (

5、cm),典例精析,例2 如图，在菱形ABCD中，CEAB于点E，CFAD于点F，求证：AEAF.,证明：连接AC. 四边形ABCD是菱形， AC平分BAD， 即BACDAC. CEAB，CFAD， AECAFC90. 又ACAC， ACEACF. AEAF.,菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角,例3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且DAE=2BAE，求证：OA=EB.,证明：四边形ABCD为菱形， ADBC，AD=BA，ABCADC2ADB ， DAEAEB， AB=AE,ABCAEB， ABC=DAE， DAE

6、2BAE，BAEADB. 又ADBA ， AODBEA ， AOBE .,1.如图，在菱形ABCD中，已知A60，AB 5，则ABD的周长是 () A.10 B.12 C.15 D.20,C,练一练,2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_.,第1题图,第2题图,6cm,思考：菱形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？,菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.,由于菱形是平行四边形，因此,O,做一做：把图中的菱形ABCD沿直线DB对折，点A的像是_， 点C的像是_， 点D的像是_，点B的像是_，边AD的

7、像是_，边CD的像是_， 边AB的像是_，边CB的像是_.,点C,点A,边CD,点D,点B,边AD,边CB,边AB,想一想：你能得到什么结论？,菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.,问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积?,思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?,能.过点A作AEBC于点E, 则S菱形ABCD=底高 =BCAE.,E,问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.,O,解：四边形ABCD是菱形， ACBD, S菱

8、形ABCD=SABC +SADC = ACBO+ ACDO = AC(BO+DO) = ACBD.,你有什么发现？,菱形的面积 = 底高 = 对角线乘积的一半,例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在AOB中，OA5，OB12.求菱形ABCD两对边的距离h.,解：在RtAOB中，OA5，OB12， 所以SAOB OAOB 51230， 所以S菱形ABCD4SAOB430120. 因为 又因为菱形两组对边的距离相等， 所以S菱形ABCDABh13h， 所以13h120，得h .,菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形

9、的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半,例5 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，ABC60，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）.,解：花坛ABCD是菱形，,【变式题】 如图，在菱形ABCD中，ABC与BAD的度数比为1：2，周长是8cm求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积,解：（1）四边形ABCD是菱形， AB=BC，ACBD，ADBC， ABC+BAD=180. ABC与BAD的度数比为1：2， ABC= 180=60， ABO= ABC=30，ABC是等边三角形.

10、 菱形ABCD的周长是8cm AB=2cm，,OA= AB=1cm，AC=AB=2cm， BD=2OB= cm； （2）S菱形ABCD= ACBD = 2 = （cm2）,菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60时，菱形被分为以60为顶角的两个等边三角形.,练一练,如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（） A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm,B,1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等,C,2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6

11、，则ABD的周长等于 （） A.18 B.16 C.15 D.14,当堂练习,B,3.根据下图填一填： （1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长 是 _. （2）在菱形ABCD中，ABC120 ，则BAC _. （3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm， 则菱形的边长是_.,3cm,30,5cm,(4)菱形的一个内角为120,平分这个内角的对角 线长为11cm，菱形的周长为_.,44cm,(5)菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的长度比为12 ,那么菱形最短的那条对角线长为_.,8厘米,4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对 角线BD长10cm.,求:

12、(1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积.,解:(1),四边形ABCD是菱形,AED=90,(2)菱形ABCD的面积,AC=2AE=212=24(cm).,5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 证明：四边形ABCD是菱形， CB=CD， CA平分BCD BCE=DCE 又 CE=CE， BCECDE（SAS） CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD， AFD=FDC. AFD=CBE,6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD5cm，OD3cm；过点C作CEDB，过点B作BEAC，CE与BE相交于点E. (1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积,解：(1)四边形ABCD是菱形，ACBD. 在直角OCD中，由勾股定理得OC4cm； (2)CEDB，BEAC， 四边形OBEC为平行四边形. 又ACB