数学建模案例分析

1、Statistics,建模大赛案例分析,08:19,我国经济增长与经济结构、财政收入、居民收入关系之研究,Topic,08:19,我国经济增长与经济结构、财政收入居民收入关系之研究,08:19,案例研究思路,经济增长 预测模型,Party1： 问题提出和 研究现状,Part 2： 定性分析及匹配度分析,Part 5：结论,Part3： 经济增长模型的建立和检验,Part 4：,08:19,Part One,引言,08:19,问题的提出和研究现状,.如何对敏感数据的匹配性进行定量分析，科学解释数据之间的匹配关系，如何正确预测重要指标的发展趋势,08:19,Part Two,基本统计分析,08:1

2、9,一、定性分析,定性分析思路对命题中四个经济指标的发展现状做描述性分析。 统计方法统计图、统计表。,08:19,总体经济发展经济增长和经济结构变动分析,08:19,主要影响指标变动分析财政收入 、居民收入,08:19,区域经济发展分析东、中、西部,08:19,二、匹配度分析,匹配度分析研究GDP与其他经济指标发展的匹配关系。 统计方法匹配度的定量计算,方法和相关标准参考：,08:19,匹配度的计算步骤：,GDP与产业结构匹配度建模思想：利用距离测算我国实际数据与匹配条件下标准数据之间的差异性。,08:19,匹配度的计算步骤：,GDP与产业结构匹配度建模步骤：,参阅国际匹配标准，拟合与我国GD

3、P水平相匹配的产业结构标准值：,08:19,匹配度的计算步骤：,GDP与产业结构匹配度建模步骤：,参阅国际匹配标准，拟合与我国GDP水平相匹配的产业结构标准值：,08:19,匹配度的计算步骤：,GDP与产业结构匹配度建模步骤：,参阅国际匹配标准，拟合与我国GDP水平相匹配的产业结构标准值：,08:19,匹配度的计算步骤：,参阅国际匹配标准，拟合与我国GDP水平相匹配的产业结构标准值：,GDP与产业结构匹配度建模步骤：,08:19,匹配度的计算步骤：,计算标准值和实际值之间的欧式距离，并归一化为（0，1）,GDP与产业结构匹配度建模步骤：,三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2

4、)间的欧氏距离：,该距离的值域范围为0到,08:19,匹配度的计算步骤：,计算标准值和实际值之间的欧式距离，并归一化为（0，1）,GDP与产业结构匹配度建模步骤：,08:19,匹配度的计算步骤：,GDP与居民收入、财政收入匹配度建模思想：设匹配度量化取值为（0，1），当相关指标占GDP的比例达到理想标准时，匹配度为0；但相关指标占GDP比例为0时，匹配度为1；并设匹配度随指标比例在（0，1）上非线性变动（二次函数曲线 ）。,08:19,匹配度的计算步骤：,GDP与居民收入、财政收入匹配度建模步骤：以收入为例,查阅文献得到居民收入的理想值为占GDP总量59.5%，得到二点： （0，1） 、（0.

5、595，0）拟合曲线得方程组,2008年城镇居民收入占比为0.263183，带入得到匹配度为0.311034,08:19,三、灰色关联分析,目的研究GDP与其他经济指标间的关联紧密程度。 统计方法灰色关联系数,08:19,灰色关联系数的计算步骤,数据规范化剔除量纲影响,原始数据:,处理后数据:,08:19,灰色关联系数的计算步骤,计算各时刻关联系数,参考数列:,比较数列:,序列差:,08:19,灰色关联系数的计算步骤,计算各时刻关联系数,08:19,灰色关联系数的计算步骤,计算关联度,08:19,灰色关联系数的计算步骤,案例计算结果：,以GDP为参考序列:,城镇收入农村收入三产比重财政收入二产

6、比重,以财政收入为参考序列:,GDP城镇收入农村收入三产比重二产比重,08:19,灰色关联系数的计算步骤,案例计算结果：,以城镇收入为参考序列:,农村收入GDP三产比重二产比重财政收入,以农村收入为参考序列:,城镇收入三产比重GDP二产比重财政收入,08:19,Part Three,经济增长模型的建立和检验,08:19,一、模型构建目标及变量选择,目标研究各经济指标对经济增长的影响。 变量选择,被解释变量：GDP 解释变量：财政收入、农村居民人均纯收入、城镇居民人均可支配收入、经济结构,08:19,二、模型构建方法,模型一：GDP和收入偏最小二乘回归（Partial Least-Squares

7、 Regression）。 模型二：经济增长和产业结构模型多元回归,08:19,偏最小二乘（PLS）原理介绍,多元线性回归的困惑：,样本容量要求很高： 一般应大于30，或大于自变量个数的5-10倍,当出现严重的多重共线性问题时,08:19,偏最小二乘（PLS）原理介绍,常用解决方法：,逐步回归,主成份回归,岭回归,在克服多重共线对系统回归建模干扰的努力中，1983年，S.Wold和C.Abalno提出了偏最小二乘分析。,08:19,偏最小二乘（PLS）原理介绍,偏最小二乘的特点：,可用于多变量对多变量建模,能在多重共线情况下进行建模,允许样本量小于自变量个数情形下的建模,最终模型包含所有变量，

8、易于解释和辨识系统信息,08:19,偏最小二乘（PLS）原理介绍,建模原理：,偏最小二乘=主成份分析+典型相关+多元回归,08:19,偏最小二乘（PLS）原理介绍,知识链接主成份分析：,主成份分析：就是用少数的几个综合指标来代表原来的多项指标，而且几个综合指标之间是独立的。,第一主成份,第二主成份 . ,（各成分间独立，且按包含原指标信息量排队）,08:19,偏最小二乘（PLS）原理介绍,知识链接典型相关分析：,典型相关分析：找到两组变量间联系，通过一组变量的线性组合与另一组变量线性组合的关联关系来体现。,第一对典型变量,第二对典型变量,第K对典型变量,08:19,偏最小二乘（PLS）原理介绍

9、,PLS建模原理：,自变量集：,因变量集：,建模步骤： 在自变量集中提取第一主成份 ，同时在因变量集中也提取第一主成份 ，要求 和 相关程度达到最大；然后建立因变量 与 的回归，并判断精度；,08:19,偏最小二乘（PLS）原理介绍,PLS建模原理：,自变量集：,因变量集：,继续提取第二对主成份，获得 和 ，建立因变量 和 的回归，判断精度，如不满足继续提取。,08:19,偏最小二乘（PLS）原理介绍,PLS建模原理：,自变量集：,因变量集：,若最终提取r个主成份 ， 偏最小二乘将通过建立 与 的回归式，然后再表示为 与原自变量的回归方程式，即最终结果。,主成份 个数的选择方法交叉有效性检验,

10、08:19,偏最小二乘（PLS）原理介绍,交叉有效性检验 ：留一交叉验证,越小越好,为所有样本拟合h-1各成分时的回归误差平方和,08:19,偏最小二乘（PLS）原理介绍,回归系数显著性检验t检验,jackknife方差估计：,为去掉第i各样本后回归所得系数估计值,08:19,偏最小二乘（PLS）的实现,R中的PLS包的加载,将PLS下载到指定目标， 运行R程序，并加载PLS包。 （注意：无需解压）, library(pls)#载入程辑包：pls,08:19,偏最小二乘（PLS）的实现,PLS在R中实现代码,Step1：导入数据，并进行数据的标准化,#inde.txt 自变量 de.txt 解

11、释变量，数据事先存储于F盘 x-read.table(file=f:data1/inde.txt,header=TRUE) #读入自变量数据; y-read.table(file=f:data1/de.txt,header=TRUE) #读入因变量数据; normy-scale(y) #数据标准化 normx-scale(x) #数据标准化 normy #显示数据 normx #显示数据,08:19,进行pls回归，并进行交叉验证，选择成分数,偏最小二乘（PLS）的实现,PLS在R中实现代码,Step2：进行pls回归，并进行交叉验证，选择成分数,pls1-plsr(normynormx,va

12、lidation=LOO,jackknife=TRUE)#进行PLS估计 summary(pls1) #显示回归结果(包括PRESS，与解释变异度)其中，validation=“LOO”表示使用留一交叉验证计算PRESS,jackknife=TRUE表示使用jackknife方法计算回归系数方差，（为做回归系数显著性检验）；没给定主成份个数，默认使用所有成分回归，以备选择。 validationplot(pls1)#函数 validationplot（）显示不同成分数下留一交叉验证的预测误差平方根,08:19,偏最小二乘（PLS）的实现,PLS在R中实现代码,Step3：根据选择成分数，重新建

13、立模型,pls2-plsr(normynormx,ncomp=2,validation=“LOO”,jackknife=TRUE)#ncomp= 2设定主成份个数为2。 summary(pls2) #显示回归结果(包括PRESS，与解释变异度),08:19,偏最小二乘（PLS）的实现,PLS在R中实现代码,Step4：显示模型结果,coef(pls2) #得因变量关于各自变量的回归系数（各变量均为标准化后数据）： jack.test(pls1) #即对coef(pls1)生成的系数进行假设检验 scores(pls1) #即求主成份得分 loadings(pls1) #即求主成份载荷 plot

14、(pls1)#预测效果图，为一对角直线最好 plot(normy)# 绘制真值点 lines(normy)#绘制真值线 lines(fy)#预测线，比较效果,08:19,偏最小二乘（PLS）的实现,PLS在R中实现代码,Step5：逆标准化（还原为原变量回归方程）,(y-mean(y)/sd(y)=a1*(x1-mean(x1)/sd(x1)+a2*(x2-mean(x2)/sd(x2)+a3*(x3-mean(x3)/sd(x3),coef(pls2) #得因变量关于各自变量的回归系数（对应上式中a1、a2、a3）： sd(y,1)*0.60537538/sd(x,1) #x1的回归系数(红

15、色数字为x1标准变量的回归系数) sd(y,1)*0.36148367/sd(x,2) #x2的回归系数(红色数字为x2标准变量的回归系数) sd(y,1)*0.03458435/sd(x,3) #x3的回归系数(红色数字为x3标准变量的回归系数) sd(y,1)*(0.60537538*-mean(x,1)/sd(x,1)+0.36148367*-mean(x,2)/sd(x,2)+-0.03458435*-mean(x,3)/sd(x,3)+mean(y,1) #原始变量y与x的回归方程截距,08:19,二、模型构建方法,模型一：GDP和收入偏最小二乘回归（Partial Least-Sq

16、uares Regression）。 模型二：经济增长和产业结构模型多元回归,08:19,二、模型构建方法,模型二：经济增长和产业结构模型多元回归,采用多元回归方法建立GDP对数与X4、X5、X6的关系如下：,08:19,三、区间估计,方法：首先对各收入指标（x1x2x3)做时间趋势预测，然后带入PLS结果预测GDP,08:19,Part Four,经济增长预测模型,08:19,一、支持向量回归介绍,如果集合 是（以 为精度）线性可逼近：,08:19,一、支持向量回归介绍,则 中任一点到 的几何距离为：,08:19,一、支持向量回归介绍,最优超平面（以 为精度）线性可逼近的最优逼近超平面为距离

17、集合 的最大上界的超平面,求解得到最优超平面：,08:19,一、支持向量回归介绍,考虑一定的误差,08:19,一、支持向量回归介绍,非线性支持向量回归模型,08:19,一、支持向量回归介绍,非线性支持向量回归模型,SVM 处理数据映射到高维空间建模在返回原空间的方法选择一个核函数 (),常用的核函数选择： 线性核（Linear Kernel） 多项式核（Polynomial Kernel） 径向基核函数（Radial Basis Function） Sigmoid核,08:19,一、支持向量回归介绍,支持向量回归优点： 专门针对小样本情况，其期望得到的是在现有信息下的最优解，而不仅仅是样本数趋

18、于无穷大时的最优解； 是一个凸二次优化问题，保证的得到全局最优解 通过核函数解决非线性建模问题，直接得到非线性解。,08:19,二、支持向量回归R语言实现,R实现：,常用的实现包： Kernlab包 e1071包 klaR包 svmpath包,08:19,二、支持向量回归R语言实现,08:19,R中的e1071包的加载,将e1071下载到指定目标， 运行R程序，并加载e1071包。 （注意：无需解压）, library(e1071)#载入程辑包：e1071,08:19,二、支持向量回归R语言实现,08:19,#数据预处理后提前存储于F盘下四个文本文档中： try.txt 训练集数据 test.

19、txt 检测集数据,08:19,二、支持向量回归R语言实现,08:19,Step1：导入数据,try-read.table(file=“f:data2/try.txt”,header=TRUE) #读入训练集数据; test-read.table(file=“f:data2/test.txt”,header=TRUE) #读入 检测集数据; try-as.matrix(try) # 数据转换矩阵形式 test-as.matrix(test) # 数据转换矩阵形式,08:19,二、支持向量回归R语言实现,08:19,Step2：采用几种常见核函数建模并比较,svm1-svm(y.,try,ker

20、nel=linear) #使用线性核函数建模; svm2-svm(y.,try,kernel=sigmoid) #使用sigmoid核函数建模; svm3-svm(y.,try,kernel=radial)#使用高斯核函数建模; svm4-svm(y.,try,kernel=polynomial) #使用多项式核函数建模; fy1-predict(svm1,test) fy2-predict(svm2,test) fy3-predict(svm3,test) fy4-predict(svm4,test),08:19,二、支持向量回归R语言实现,08:19,Step2：采用几种常见核函数建模并比较,e