离散傅里叶变换(DFT).ppt

1、第三章 离散傅里叶变换（DFT）,傅立叶级数（DFS） 傅立叶变换（DFT） DFT应用 DFT存在的问题,FS FT DFS DTFT ：,FS：傅立叶级数展开 ,用于分析连续周期信号 ,时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点 。 FT：傅立叶变换，用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。 DTFT：离散时间傅立叶变换 ，它用于离散非周期序列分析，由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以对离散非周期信号变换后的频谱

2、为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。 DFS：离散时间傅立叶级数 ，离散周期序列信号，取主值序列 ，得出每个主值在各频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特性。,DFT的提出： 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT，它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多

3、应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。,0、离散时间傅立叶变换,“DTFT”是“Discrete Time Fourier Transformation”的缩写。传统的傅立叶变换（FT）一般只能用来分析连续时间信号的频谱，而计算机只会处理离散的数字编码消息，所以应用中需要对大量的离散时间序列信号进行傅立叶分析。DTFT就是对离散非周期时间信号进行频谱分析的数学工具之一。,其中为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。,当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要条件，但是采

4、用DFS（离散傅里叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅里叶分析。,局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为，在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角频率上却是连续的周期函数。而计算机只能处理变量离散的数字信号。所以，如果要想利用计算机实现DTFT的运算，必须建立时域离散和频域离散的对应关系。,1、傅里叶级数,是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为：,习惯上：记,是周期序列离散傅立叶级数第k次谐波分量的系数，也称为周期序列的频谱。可将周期为N的

5、序列分解成N个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为 ，幅度为,DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。,则DFS变换对可写为,DFS 离散傅里叶级数变换 IDFS离散傅里叶级数反变换。,与连续周期信号的傅立叶级数相比较，周期序列的离散傅立叶级数的特点： （1）连续性周期信号的傅立叶级数对应的谐波分量的系数有无穷多。而周期为N的周期序列，其离散傅立叶级数谐波分量只有N个是独立的。 （2）周期序列的频谱 也是一

6、个以N为周期的周期序列。,例：一个周期矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/4，一个周期的采样点数为16点，显示3个周期的信号序列波形，并要求： （1）用傅立叶级数求信号的幅度频谱和相位频谱。 （2）求傅立叶级数逆变换的图形，与原信号图形进行对比。,clear; N=16; xn=ones(1,N/4),zeros(1,3*N/4); xn=xn,xn,xn; n=0:3*N-1; k=0:3*N-1; Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).(n*k); %DFS变换 x=(Xk*exp(j*2*pi/N).(n*k)/N; %IDFS变换 subplot(2,2,1),stem(n,xn);

7、 title(x(n); axis(-1,3*N,1.1*min(xn),1.1*max(xn); subplot(2,2,2),stem(n,abs(x); %显示IDFS结果 title(IDFS|X(k)|); axis(-1,3*N,1.1*min(x),1.1*max(x); subplot(2,2,3);stem(k,abs(Xk); %序列幅度谱 title(|X(k)|); axis(-1,3*N,1.1*min(abs(Xk),1.1*max(abs(Xk); subplot(2,2,4); stem(k,angle(Xk); %序列相位谱 title(arg|X(k)|);

8、 axis(-1,3*N,1.1*min(angle(Xk),1.1*max(angle(Xk);,比较可知，逆变换的图形比原信号的图形幅度扩大很多，主要因为周期序列长度为单周期序列的3倍，做逆变换时未做处理。可将IDFS改成：x=(Xk*exp(j*2*pi/N).(n*k)/(3*3*N);,序列周期重复次数对序列频谱的影响：,理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶级数来表示。要对周期序列进行分析，可以先取K个周期处理，然后再让K趋于无穷大，研究其极限情况。基于该思想，可以观察到序列信号由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向离散谱过渡的过程。,例：一个矩形序列的脉冲宽度占整

9、个周期的1/2，一个周期的采样点数为10点，要求用傅立叶级数求信号的幅度频谱。 重复周期数分别为：1，4，7，10.,clear; xn=ones(1,5),zeros(1,5); Nx=length(xn); %单周期序列长度 Nw=1000; dw=2*pi/Nw; %把2*pi分为Nw份频率分辨率为dw k=floor(-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5); %建立关于纵轴对称的频率相量 for r=0:3; K=3*r+1; % 1,4,7,10 nx=0:(K*Nx-1); %周期延拓后的时间向量 x=xn(mod(nx,Nx)+1); %周期延拓后的时间信号x Xk=x*(e

10、xp(-j*dw*nx*k)/K; %DFS subplot(4,2,2*r+1), stem(nx,x); axis(0,K*Nx-1,0,1.1); ylabel(x(n); subplot(4,2,2*r+2), plot(k*dw,abs(Xk); axis(-4,4,0,1.1*max(abs(Xk); ylabel(X(k); end,结论：序列的周期数越多，频谱越是向几个频点集中，当序列信号的周期数N为无穷大时，频谱转化为离散谱。,DFS的局限性 ： 在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时间n 上是离散的，在频率上也是离散的，且频谱是的周期函数，理论上解决了时域离散和

11、频域离散的对应关系问题。 但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序列。无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。因此，还有必要对有限长序列研究其时域离散和频域离散的对应关系。,我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列 x(n)，长为N， 为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列 ，它由长度为 N 的有限长序列 x(n) 延拓而成，它们的关系：, 2、 离散傅里叶变换（DFT）,1）主值区间与主值序列,对于周期序列 ，定义其第一个周期 n=0N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。 x(n)与 的关系

12、可描述为： 数学表示： 其中：RN(n)为矩形序列。 符号 (n)N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。,周期序列的主值区间与主值序列：,即 n mod N：,x(n)与 的图形表示：,例： 是周期为 N=4 的序列，求 n=6 和 n=-1 对 N的余数。 因此:,例：,解：,结论：,频域上的主值区间与主值序列：,周期序列 的离散付氏级数 也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间 ，以及主值序列 X(k)。 数学表示：,周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式：,这两个公式的求和都只限于主值区间（0N-1），它们完全适用于主值序列 x(n) 与 X(k) ，因而我们可得到一个新

13、的定义有限长序列离散傅里叶变换定义。,2）离散傅里叶变换的定义,即有限长序列的DTFT,长度为N的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为： x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ，同样已知 X(k) 也就唯一地确定 x(n) ，实际上 x(n) 与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。 有限长序列隐含着周期性。,由于DFT借用了DFS，这样就假设了序列的周期无限性，但在处理时又对区间作出限定（主值区间），以符合有限长的特点，这就使DF

14、T带有了周期性。另外，DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示，所以它在频率上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样，此时采样频率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的个数。,DFT的矩阵方程表示：,有限长序列 的离散傅立叶变换（DFT）的意义：,DFT与Z变换的关系：,长度为N的序列 其Z变换：,与离散傅立叶变换（DFT）相比较有：,可见序列的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上N点的等间隔采样。显然，对于同一序列，当频率采样点数不同时，其DFT的值也不同。,例：,已知 ，分别求 和 时的 。,解：,由该例可知：频率采样点数不同，DFT的长度不同，DFT 的结果也不同。,3）

15、DFT性质：,以下讨论DFT的一些主要特性，这些特性都与周期序列的DFS有关。 假定x1(n)与x2(n)是长度为N的有限长序列，其各自的离散傅里叶变换分别为： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) (1) 线性 DFTax1(n)+bx2(n)=aX1(k)+bX2(k) ,a,b为任意常数 注意：如果两序列的长度各不相同，x1(n)为N1点，x2(n)为N2点，则ax1(n)+bx2(n)的长度为N3 =max(N1,N2) 点，其DFT也应为N3点。如果N1N2，则X1(k)应为x1(n)增补N2-N1个零值后的DFT。,循环移位的图形解释： 有限长N点序列x(n)

16、的循环移位定义为： 含义：1) x(n+m)N 表示 x(n) 的周期延拓序列 的移位： 2) x(n+m)NRN(n) 表示对移位的周期序列 x(n+m)N 取主值序列, 所以f(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。f(n) 实际上可看作序列 x(n)排列在一个N 等分圆周上，并向左旋转 m 位。,循环移位的实质：将原序列 沿一个方向从一侧移动 位，而移出主值区的各序列值又依次从另一侧进入主值区。,f(n),x(n)排列在一个N 等分圆周上的图形表示：,从图中可理解循环的概念。,（3）循环卷积（定理）,这里只取结果的主值序列，由于卷积过程只在主值区间0mN-1内进行，所以 实际上就是 x2(

17、m)的圆周移位，称为“循环卷积”，习惯上常用符号“ ”表示循环卷积，以区别于线性卷积。,说明：,与一般线性卷积不同，两个长度都为N点的序列的循环卷积的长度仍为N点，即周期为N，因此又称为圆卷积，前式又可写为：x(n)=x1(n) x2(n),循环卷积过程:,1）由有限长序列 x1(n)、x2(n) 构造周期序列,2）计算周期卷积,3）卷积结果取主值序列,循环卷积可以看作是周期性卷积，取主值区间的序列值。,每个周期内均作卷积,具体步骤：,循环卷积的图形解释：,循环卷积的矩阵表达：,例： 令x1(n)=1,2,2,x2(n)=1,2,3,4,试计算4点的循环卷积x1(n)x2(n)。,先将x1(n

18、)补零，使之成为4点序列。 x1(m)=1,2,2,0,a.时域解法,x1(n)x2(n)=,当n=0,解：,当n=1,当n=2,当n=3,所以，,x1(n)x2(n)=15,12,9,14,b.频域解法 x1(n)的4点DFT： X1(k)=5,-1-2j,1,-1+2j x2(n)的4点DFT: X2(k)=10,-2+2j,-2,-2-2j X1(k)X2(k)=50,6+2j,-2,6-2j IDFTX1(k)X2(k)=x1(n)x2(n) =15,12,9,14,（4）循环相关定理,设 和 是两个具有相同长度N的有限长实序列，定义以下序列为 和 的循环互相关序列：,（5） Pars

19、eval定理,（6）频域循环卷积定理,*,实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号x(n)通过系统h(n)，其输出就是线性卷积y(n)=x(n)*h(n)。而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。 问题：上述 x(n)与h(n)的线性卷积，如果 x(n)、h(n)为有限长序列，则在什么条件下能用循环卷积代替线性卷积而不产生失真。,（1）有限长序列的线性卷积与循环卷积（循环卷积的应用）,4）DFT的应用,（2）用DFT计算线性卷积,例：,*,=,解：因为M=3,L=3，所以M+L-1=5，即N=5,n

20、,4,，,混叠点数为前(M+L-1)-N)，N为循环卷积点数， (M+L-1)为线性卷积长度。 圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是： NM+L-1,（3）无限长序列的线性卷积,叠接相加法原理：,说明：,由于线性卷积的特点是将一个序列（如h(n)）翻转后，沿坐标轴从左边移入x(n)，在右边移出x(n)，所以在x(n)的前后将有一“过渡过程”，其长度为M-1。因此，将x(n)分段后，在每一小段的前后都将产生这样的过渡过程，,（4）用DFT对信号进行谱分析,用DFT对连续信号进行谱分析是一种近似分析方法。,对于连续的单一频率周期信号:,为信号的频率,可以得到单一谱线的DFT结果，但这是和作

21、DFT时数据的截取长度选得是否恰当有关，截取长度N选得合理，XN(k)可完全等于 Xa(j) 的采样。,窗口傅立叶变换对离散时间信号序列加窗截取会造成两个影响： a）降低了频率分辨率，也称为物理分辨率； b）造成频率的泄漏。,物理频率分辨率,计算分辨率,5）DFT应用中的几个问题,（1）频率分辨率及DFT参数的选择,（2）栅栏效应 N点DFT是在频率区间 0，2 上对信号频谱 进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散的频谱点X(k)，且它们限制在基频的整数倍上，这就好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象一样，只能在离散点处看到真实的景象，其余部分频谱成分被遮挡， 所以称之为栅栏效应。因此，那些被

22、栅栏挡住的（频谱）部分是看不到的，这就有可能漏掉一些较大频率分量。当然，在实际问题中，大的频谱分量被挡住的情形还是很少的，栅栏效应并不是一个很严重的问题。从根本上讲，用离散的DFT谱来近似连续的DTFT谱，误差总是有的，即从理论上，栅栏效应是不可能消除的。 减小栅栏效应方法：尾部补零，使谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱分量就可能被检测出来。,补零问题：（即增加DFT的计算式中的N值，同时保持原有数据不改变 ） 填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率。事实上通常规定DFT的频率分辨率为 ，这里的N是指信号x(n)的有效长度，而不

23、是补零的长度。不同长度的x(n)其DTFT的结果是不同的；而相同长度的x(n)尽管补零的长度不同其DTFT的结果应是相同的，他们的DFT只是反映了对相同的DTFT采用了不同的采样密度。,补零内插提高的叫计算分析精确度，扩展时间长度提高的是物理精确度，前者只是看着频谱变精确了，却可能忽略掉了一些细节，而后者是实实在在的提高精度。,序列补零带来分析分辨率的提高，但是弥补不了物理分辨率的不足,红色的曲线是矩形窗序列的DTFT和正弦信号的正频率分量在频域卷积后频移的结果，蓝色的对应负频率分量，绿色的曲线是最终有限长正弦序列的DTFT的模值,扩展时间长度提高物理精确度（物理分辨率）,（3）频谱泄漏 在分

24、析信号频谱的时候，由于受到计算能力的影响，只能处理有限长的信号。这就必须截取时间函数的一个有限范围，即把观测到的信号限制在一定的时间间隔之内。换句话说，就是要取出信号的某一个时间段。这种过程就是截断数据的过程。这种截断过程相当于对信号进行加窗，即信号乘以窗函数。根据傅里叶变换的卷积定理 ，信号加窗后的频谱相当于原信号频谱与窗信号的频谱在频域作卷积。显然，这种卷积过程将造成信号频谱的失真。而且，如果信号所乘的是矩形窗函数（通常，简单的截取信号就相当于乘的是矩形窗），失真频谱将产生“拖尾”（频谱延伸扩展）现象原有受限的频谱图形“扩展”开来，这就称之为频谱泄漏。注意，泄漏并不能与混叠完全分开。这是因为，频率泄漏会导致频谱扩展，从而使信号的最高频率有可能超过折叠频率fs/2，造成混叠失真。由于实际应用的需要，对信号进行截断是必须的，所以由此引起的频谱泄漏也显然是无法避免的。不过，通过改善窗函数的形状，可以达到减少泄漏的目的。通常的矩形窗在时域有突变，使得频域拖尾严重，收敛很慢。为了解决这个矛盾，人们已经研究了各种形式的窗函数，例如 ：,海明(Hamming)窗,汉宁(Hanning)窗,布莱克曼(Blackman)窗,它们都