浅谈导数的应用问题 人教版（通用）

1、浅谈导数应用问题的人教版稔归县屈原高校张鸿斌443600 email :利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间a，b中的最大最小值，或者利用导数法解决一些实际的应用问题是函数内容的继续和扩展，解决这个问题的方法简化了复杂问题，逐渐成为新高考的另一跳可以在某个时段导出1 f(x )，并且如果f(x ) 0，则f(x )是增量函数。 f(x ) 0，f(x )是减法函数为了求出2函数的极值点，首先求出导数，然后在y=0上求出所有的导数为0的点(导数为0的点不一定是极值点，例如，在y=x3、x=0的情况下，导数为0，但是为非极值点)，导数为0的点是极值如果不更改依赖于该点左侧的符号，则不是极

2、值点，而是函数的极值点不一定是在导数为0的点取得，但函数的极值点是导数为0可以通过(a，b )内的极值和端点的函数值的比较求出3导数的最大值，但是由于导数的极值有时不能导出函数，所以一般的连续函数必须与不存在导数的点的函数值进行比较。 例如，不能用y=|x|、x=0导出(1)典型问题例的示范解说已知例子f(x)=ax3 bx2 cx(a0 )在x=1时取极值，f(1)=-1(1)试着求出常数a、b、c的值。(2)尝试2)x=1是函数的极小值还是极大值，说明理由命题是利用一次导数求函数极大值和极小值的方法在研究导数性质方面导数的持续深度是导数应用的关键知识点，通过函数极值的判定，可以使学生加深对

3、函数单调性及其导数关系的理解知识委托解题的成功是根据正确的想法的选择，从逆向思考的角度出发，根据题设构造进行逆向联想，合理地实现问题的转换，把抽象的问题具体化是解题的光点误分析本问题的难点是，求导后，不适用f(1)=0的默认条件，这成为解决问题的最大的思考障碍技巧和方法考察函数f(x )是实数域上的导数，求导数确定可能的极值，然后通过极值点和导数的关系，建立在极值点x=1确定的等价关系式，可以用保留系数法求值解(1) f(x )=3ax 22bxcx=1是函数f(x )的极值点，x=1是方程式f(x)=0，即3ax2 2bx c=0这两条从根与系数的关系另外，f(1)=-1，ABC=-1，到a

4、=、(2)f(x)=x3-x，f(x)=x2-=(x-1)(x1)在x1的情况下，f(x ) 0在-1x1的情况下，则f(x ) 0函数f(x )在(-1)和(1，)中是增加函数，在(-1，1 )中是减法函数当x=-1时，函数取极大值f(-1)=1，在x=1时，函数取极小值f(1)=-1例2在甲、乙两个工厂中，甲工厂位于一直线河岸的岸边a，乙工厂位于甲工厂和河的同一侧，乙工厂位于距河岸40 km的b，乙工厂到河岸的脚距离d和50 km，两工厂在这岸边建设了一个供水站c，从供水站到甲工厂和乙工厂的水道命题、意图、学习的目的是实际应用，本问题主要是探究学生运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法和

5、能力依靠知识解决实际应用问题的关键是建立数学模型和目标函数将“问题情景”解释为数学语言，找出问题的主要关系，将问题的主要关系近似化，形式化，抽象化为数学问题，分类为普通问题，选择合适的数学方法求解误解分析本问题的难点是如何将与实际问题相关的一些变量转换成函数关系式技巧和方法根据问题设定条件制作图形，分析各已知条件之间的关系，利用图形特征，合理选择这些条件之间的关系方式，适当选择变化，构建相应的函数关系解法从标题的意思可以看出，只要点c在线段AD上的某个适当位置，就能最大限度地节省总运费，只要c点离d点x kmBD=40，交流AC=50-x，BC=另外，总水费为y元，是题名的意思y=30(5a-

6、x) 5a (0x50 )设y=-3a、y=0，解为x=30在(0，50 )中，y只有一个极值点，根据实际问题的意义函数以x=30(km )取最小值，此时AC=50-x=20(km )供水站建在a、d之间距离甲厂20 km的地方，最能节约水管的费用设解法2为BCD=Q，则BC=、CD=40cot、(0)，AC=50-40科特总水费为f()，按题意，有f()=3a(50-40cot) 5a=150a 40af()=40a安培设f()=0，则cos=从问题的实际意义来看，cos=时，函数取最小值此时的sin=、cot=、AC=50-40cot=20(km )，即配水站建在距离a、d之间的甲工厂20

7、 km的地方，最能节约水管费用例3已知的f(x)=x2 c，并且ff(x)=f(x2 1 )设定(g(x)=ff(x)，求出g(x )的解析式。设(x)=g(x)-f(x )，询问实数是否存在，将(x )设为在(-1)内减法的函数，将(-1，从题意中得出ff(x)=f(x2 c)=(x2 c)2 cf(x2 1)=(x2 1)2 c，f (x ) =f (x21 )(x2 c)2 c=(x2 1)2 c，x2 c=x2 1，c=1f(x)=x2 1，g (x )=f (x )=f (x2)=(x2) 2(2)(x )=g (x ) -f (x )=x4(2-) x2(2-)如果存在满足条件的，

8、则(x)=4x32(2)x函数(x )是(-1)上的减法函数，在x-1的情况下，(x)0即，4x3 2(2-)x-4x2，x -1，4 x2-4求解2(2-)-4、4另外，函数(x )为(-1，0 )，是增加函数在-1x0也就是说，4x2 2(2-)x0对于x-(1，0 )始终成立2(2-)-4x2，1 x 0、-44x20且a1 )的单调区间在4半径r的圆内，形成内接等腰三角形，底边的高度为_时，其面积最大假定f(x)=ax3 x恰好具有3个单调区间，确定a的可能值的范围并获得其单调区间假设x=1和x=2是函数f(x)=alnx bx2 x的两个极值点(1)试一下常数a和b的值(2)尝试x=

9、2、x=2是函数f(x )的极大值还是极小值，说明理由7a、b是实数，bae (其中e是自然对数的底，寻求证据abba将关于8x的方程式2x2-ax-2=0这两条设为、()、函数f(x)=等式求出(f()f()的值。(2)证明f(x )是，上的增加函数。(3)在a是什么样的值时，f(x )的区间，中的最大值和最小值的差最小？(3)参考答案由于第一解析是=-1，所以存在包括0的区间(a，b )，在x (a，b )、x0的情况下，为或x1的情况下，在x 的情况下，logae0、6x50、(3x-1)(x 2)0，f(x ) 0，函数f(x )在(，)上是增加函数，在x-2的情况下，f(x ) 0。

10、函数f(x )是(-2)上的减法函数如果0a时，f(x ) 0，f(x )是(，)上的减法函数。在x 0，f(x )在(-2)上是增加函数回答(-、-2)4解析圆内接等腰三角形的底边的长度为2x，高度为h，那么h=AO BO=R，解x2=h(2R-h )，内接三角形的面积为S=xh=因此如果作为s=0，将h=R求解，则由于不考虑不存在的情况，所以位置区间(0，2r )上的列表如下h(0，r )r(2R )s0-s递增函数最大值减法函数由该表可知，x=R时，等腰三角形面积最大答案r五解f(x)=3ax21如果a0、f(x)0对x(-、)始终成立，此时f(x )只有一个单调的区间，是矛盾的。如果a

11、=0，f(x )=1 0，x(-，)，则f(x )也只有一个单调的区间，矛盾a0，f(x )=3a (x ) (x-)，此时f(x )正好有3个单调区间a0且单调减少区间为(-)和(，)，单调递增区间为(-，)6解f(x)=2bx1(1)根据极值点的必要条件，f(1)=f(2)=0，即，a 2b 1=0、4b 1=0，解方程式组为a=-、b=-，f(x)=-lnx-x2 x在2)f(x)=-x-1-x1、x-(0，1，1 )的情况下，f(x) 0，在x(2，)的情况下，f(x ) ae、abba，只需要证明blnaalnb。假设f(b)=blna-alnb(be )，则f(b)=lna-bae、lna1、 0函数f(b)=blna-alnb在(e，)上是增加函数，f(b)f(a)=alna-alna=0，即blna-alnb0，blnaalnb，abba证法二要证abba、证b