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文档简介

1、第2讲概率与统计,高考定位1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用,同时渗透互斥事件、对立事件;2.在概率与统计的交汇处命题,主要以解答题形式呈现,中档难度.,1.(2019全国卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(),解析设两位男同学分别为A,B,两位女同学分别为a,b,则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示.,真 题 感 悟,答案D,2.(2018全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记

2、为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则(),A.p1p2 B.p1p3 C.p2p3 D.p1p2p3,答案A,3.(2018天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; 设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.,解(1)由已

3、知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.,(2)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G,共21种.,4.(2019北京卷)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了1

4、00人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:,(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数; (2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率; (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.,解(1)由题知,样本中仅使用A的学生有27330(人),仅使用B的学生有24125(人),A,B两种支付方式都不使

5、用的学生有5人. 故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有1003025540(人).,(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2 000元”. 假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)0.04. 答案示例1:可以认为有变化.理由如下: P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化. 所以可以认为有变化.,答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下: 事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有

6、变化.,1.古典概型的概率,考 点 整 合,2.几何概型的概率,3.概率的性质及互斥事件的概率 (1)概率的取值范围:0P(A)1. (2)必然事件的概率:P(A)1. (3)不可能事件的概率:P(A)0.,热点一几何概型,【例1】 (1)某单位试行上班刷卡制度,规定每天8:30上班,有15分钟的有效刷卡时间(即8:158:30),一名职工在7:50到8:30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的,则他能有效刷卡上班的概率是(),A.4 500 B.4 000 C.3 500 D.3 000,解析(1)该职工在7:50到8:30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的,设其构成的区域为线段AB,且A

7、B40,职工的有效刷卡时间是8:15到8:30之间,设其构成的区域为线段CB,且CB15,如图,,(2)依题设(如图),区域确定的面积SS矩形212.,答案(1)D(2)A,探究提高1.几何概型适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积时,应考虑使用几何概型求解. 2.求解关键:寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域. 易错警示在计算几何概型时,对应的是区间、区域还是几何体,一定要区分开来,否则结论不正确.,解析(1)当0 x1时,恒有f(x)exe,不满足题意. 当1xe时,f(x)ln xe. 由ln xee,得1xe.,热点二古

8、典概型的概率,【例2】 (2019天津卷)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人? (2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.,试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; 设M为事件“抽取的2人享受的专

9、项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.,解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6910,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工, 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.,(2)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15种. 由表格知,符合题意的所有结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,E,F,共11种.,探究提高1.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数. 2

10、.两点注意:(1)对于较复杂的题目,列出事件数时要正确分类,分类时应不重不漏. (2)当直接求解有困难时,可考虑求其对立事件的概率.,【训练2】 (1)甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊,为庆祝兄弟相聚,甲发了一个9元的红包,被乙、丙、丁三人抢完,已知三人抢到的钱数均为整数,且每人至少抢到2元,则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率是(),(2)(2019雅礼中学联考)博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此

11、车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为p1,p2,则(),解析(1)设乙、丙、丁分别抢到x元,y元,z元,记为(x,y,z),,答案(1)C(2)C,热点三概率与统计的综合问题 角度1概率与频率分布的综合应用,【例31】 手机支付也称为移动支付(Mobile Payment),是指允许移动用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.继卡类支付、网络支付后,手机支付俨然成为新宠.某金融机构为了解移动支付在大众中的熟知度,对1565岁的人群随机抽样调查,调查的问题是“你会使用移动支付吗?”其中,回答“会”的共有

12、100个人,把这100个人按照年龄分成5组,然后绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图.,(1)求x; (2)从第1,3,4组中用分层抽样的方法抽取6人,求第1,3,4组抽取的人数; (3)在(2)抽取的6人中再随机抽取2人,求所抽取的2人来自同一个组的概率.,(3)设第1组抽取2人为A1,A2,第3组抽取3人为B1,B2,B3,第4组抽取1人为C. 则从6人中随机抽取2人有如下情形:A1,A2,A1,B1,A1,B2,A1,B3,A1,C,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A2,C,B1,B2,B1,B3,B1,C,B2,B3,B2,C,B3,C共有15个基本事件. 记“抽取的2人来自

13、同一个组”为事件M,则事件M有A1,A2,B1,B2,B1,B3,B2,B3共4个基本事件.,角度2概率与统计案例的综合应用,【例32】 (2019石家庄调研)某省确定从2021年开始,高考采用“312”的模式,取消文理分科,即“3”包括语文、数学、外语,为必考科目;“1”表示从物理、历史中任选一门;“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门,共计六门考试科目.某高中从高一年级2 000名学生(其中女生900人)中,采用分层抽样的方法抽取n名学生进行调查. (1)已知抽取的n名学生中含男生110人,求n的值及抽取到的女生人数;,(2)学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目

14、,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到的n名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目).下表是根据调查结果得到的22列联表,请将列联表补充完整,并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关? 说明你的理由;,(3)在(2)的条件下,从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人,再从这6名学生中抽取2人,对“物理”的选课意向作深入了解,求2人中至少有1名女生的概率.,(2)列联表为:,(3)从90个选择物理的学生中用分层抽样的方法抽6名,这6名学生中有4名男生,记为a,b,c,d;2名女生记为A,B.抽取2人所有的情况为(a,

15、b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共15种,选取的2人中至少有1名女生情况的有(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共9种.,探究提高1.概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等,在解题中首先要处理好数据,如数据的个数、数据的分布规律等,即把数据分析清楚,然后再根据题目要求进行相关计算. 2.在求解该类问题时要注意两点: (1)明确频率与概率的关系,频率可近似替代概率.

16、(2)此类问题中的概率模型多是古典概型,在求解时,要明确基本事件的构成.,【训练3】 某科研所共有30位科研员,其中60%的人爱好体育锻炼.经体检调查,这30位科研员的健康指数(百分制)如下茎叶图所示.,体检评价标准指出:健康指数不低于70者为身体状况好,健康指数低于70者为身体状况一般.,(1)根据以上资料完成下面的22列联表,并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”?,(2)从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道,求这2人中至多1人爱好体育锻炼的概率.,解(1)22的列联表如下:,所以有99.5%的把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关”. (2)记“健康指数高于90的5人中爱好体育锻炼的”为ai(i1,2,3),“健康指数高于90的5人中不爱好体育锻炼的”为bj(j1,2),由题意知“从健康指数高于90的5人中随机选取2人”的所有基本事件是:a

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