1.1.3四种命题间的相互关系

1、1.1.3四种命题的相互关系,2020/8/9,回顾,交换原命题的条件和结论，所得的命题是_ 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是_ 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是_,逆命题。,否命题。,逆否命题。,2020/8/9,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,四种命题形式: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:,若 p, 则 q 若 q, 则 p 若p, 则q 若q, 则p,2020/8/9,观察与思考,？,你能说出其中任意两个命题之间的关系吗?,2020/8/9,课堂小结,原命题 若p则q,逆命题 若q则p,否命题 若 p则 q,逆否命题 若 q则p,互为逆否 同真同假,

2、互为逆否 同真同假,2）原命题：若a=0, 则ab=0。,逆命题：若ab=0, 则a=0。,否命题：若a 0, 则ab0。,逆否命题：若ab0,则a0。,(真),(假),(假),(真),(真),2.四种命题的真假,看下面的例子：,1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。,逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。,否命题：若x2且x3, 则x2-5x+60 。,逆否命题：若x2-5x+60，则x2且x3。,(真),(真),(真),3）原命题：若xAB，则x U A UB。,Help,假,假,假,假,2020/8/9,四种命题的真假,有且只有下面四种情况:,2020/8/9

3、,想一想？,（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。,由以上三例及总结我们能发现什么？,即 原命题与逆否命题同真假。,原命题的逆命题与否命题同真假。,（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。,(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).,几条结论:,2020/8/9,1.判断下列说法是否正确。,1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；,（对）,2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。,（对）,2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。,答：0个、2个、4个。,如：原命题：若AB=A, 则AB=。,逆命题

4、：若AB=，则AB=A。,否命题：若ABA，则AB。,逆否命题：若AB，则ABA。,（假）,（假）,（假）,（假）,3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。,（错）,4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。,（错）,练一练,2020/8/9,练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。,（1）若q1,则方程 有实根。 （2）若ab=0,则a=0或b=0. （3）若 或 ，则 。 （4）若 ，则x,y全为零。,2020/8/9,总结,2020/8/9,反证法：,要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。 即

5、反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。,2020/8/9,反证法的步骤：,假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。 从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。,2020/8/9,例 证明：若p2q22，则pq2.,将“若p2q22，则pq2”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。,即证明 为真命题,2020/8/9,假设原命题结论的反面成立,看能否推出原命题条件的反面成立,尝试成功,得证,例 证明：若p2q22，则pq2.,

6、2020/8/9,变式练习,1、已知 。求证：,这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。,解：假设p+q2,那么q2-p,根据幂函数 的单调性，得,即,所以,因此,2020/8/9,可能出现矛盾四种情况：,与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。,2020/8/9,证明:,因为,所以,例 用反证法证明：如果ab0，那么 .,2020/8/9,练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.,证明：,假设弦AB 、CD被P平分，,P点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推论，,有,OPAB, OPCD,即 过点P有两条直线与OP都垂直，,这与垂线性质矛盾，,弦AB、CD不被P平分。,2020/8/9,若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.,证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令