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各种美式期权的随机模拟定价方法Pricing Various American Options by StochasticSimulation Method目 录摘 要1Abstract21 绪论31.1 研究背景31.2 研究内容32 期权的相关知识42.1 期权的概念与分类42.2 期权定价的基本理论42.2.1 无套利定价原理42.2.2 风险中性定价原理53 期权定价的部分数学知识63.1 布朗运动与几何布朗运动63.2 最小二乘法73.3 蒙特卡罗方法基本原理84 LSM方法104.1 相关符号说明104.2 LSM方法的具体过程介绍104.2.1 随机模拟生成股票价格路径104.2.2 计算股票价格模拟路径的最佳执行时间和期权收益114.2.3 对所有股票价格模拟路径的期权收益贴现并计算均值134.3 LSM方法的步骤总结145 美式期权的LSM方法程序实现与算例155.1 标准美式期权的LSM方法程序实现与算例155.1.1 不支付红利155.1.2 支付红利185.2 美式障碍期权的LSM方法程序实现与算例205.3 美式亚式期权的LSM方法程序实现与算例206 总结与展望226.1 总结226.2 展望22参考文献23致谢24附录25附录1 不付红利的标准美式看跌期权随机模拟定价MATLAB程序（1）25附录2 不付红利的标准美式看跌期权随机模拟定价MATLAB程序（2）26附录3 连续红利率支付的美式看跌期权随机模拟定价MATLAB程序27附录4 在固定时刻支付红利的美式看跌期权随机模拟定价MATLAB程序28附录5 美式障碍期权（上升敲出看跌期权）随机模拟定价MATLAB程序29附录6 美式亚式看跌期权随机模拟定价MATLAB程序3031各种美式期权的随机模拟定价方法摘 要【摘要】本文研究的是各种美式期权的随机模拟定价方法，在借鉴前人工作的基础上利用最小二乘蒙特卡罗方法编程完成了若干美式期权的随机模拟定价。文章先介绍了期权的相关知识和期权定价所用到的部分数学理论。然后本文重点阐述了最小二乘蒙特卡罗方法的具体过程，并总结了其为美式期权随机模拟定价的步骤。根据最小二乘蒙特卡罗方法，利用MATLAB软件编程完成了标准美式期权、美式障碍期权和美式亚式期权的随机模拟定价并给出了相关算例。最后是对本文的总结和下一步工作的展望。【关键词】美式期权；随机模拟；最小二乘蒙特卡罗方法；MATLAB编程Pricing Various American Options by Stochastic Simulation MethodAbstract【ABSTRACT】: This paper studies the stochastic simulation method for pricing various American options. Based on the previous work, it uses least squares Monte Carlo method to accomplish the pricing of several American options by programming. Firstly, this paper introduces some knowledge about the option and gives some mathematical theories of option pricing. Then it focuses on the specific process of least squares Monte Carlo method and summarizes the step of American options pricing by least squares Monte Carlo simulation. According to the least squares Monte Carlo method, it accomplishes the pricing of standard American option, American barrier option and American-Asian option by using the MATLAB programming and gives some examples. The last is the summary of this paper and the prospect of the next work.【KEYWORDS】: American options; stochastic simulation; least squares Monte Carlo method; MATLAB programming1 绪论1.1 研究背景期权是一种在未来某一时间以确定的价格买入或卖出一定数量的标的资产比如股票、期货合约等的权利。期权交易早在十八世纪后期就出现在了欧洲和美国的市场上。由于早期的期权市场制度不是很完善，期权产品品种较单一等原因，期权市场发展初期较缓慢。自1973年股票期权首次在有组织的交易所内进行交易之后，期权市场进入了快速发展阶段，并且期权的各项条款如期权的合约规模、交割地点等都逐渐标准化，期权种类也在增加。随着期权市场的不断发展，期权在金融领域中扮演着很重要的角色，而要想发挥其在金融市场中的作用，首先需解决的是期权的定价问题。Fischer Black 和Myron Scholes于1973年推导了基于不付红利的股票的任何衍生证券的价格所满足的微分方程，他们运用该微分方程推导了欧式看跌期权和看涨期权的价值1。自Black-Scholes微分方程提出后，很多学者在此基础上对期权定价问题作了很多的研究工作，与欧式期权定价相关的问题也得到了很好的解决。对于美式期权，由于其可提前执行的特点使得它成为一种依赖于股票价格路径的期权，其定价问题遇到了很多挑战，没有得到很完美的解决，这也是近年来金融领域重点关注的问题。1.2 研究内容近年来，由于美式期权自身特点及计算机的发展，关于美式期权定价问题的研究主要集中在数值模拟方法上，如Francis. A. Longstaff 和Eduardo S. Schwartz在2001年提出了最小二乘蒙特卡罗方法 2（Least Squares Monte Carlo approach）（简写为LSM方法），已成为了蒙特卡罗随机模拟美式期权价格的主要方法。目前，二叉树图方法、LSM方法和有限差分法是数值模拟主要的几种方法。本文先将介绍期权的相关知识，然后充分吸收国内外学者的研究成果，利用LSM方法编程完成若干美式期权的随机模拟定价。LSM方法不仅可以为美式期权提供随机模拟定价，对自己的动手能力也有相当大的锻炼价值。本文的结构如下：第1章是绪论，介绍了本文的研究背景和研究内容；第2章主要介绍了期权的相关知识；第3章介绍了本文随机模拟定价所用到的一些数学知识；第4章以不支付红利的标准美式期权为例，着重阐述了LSM方法的具体过程并总结了LSM方法的步骤；在第5章，分别对标准美式期权、美式障碍期权和美式亚式期权利用LSM方法编程完成其随机模拟定价，给出了相关算例；第6章则是对全文的总结和下一步工作的展望。2 期权的相关知识2.1 期权的概念与分类近年来，衍生证券在金融领域的重要性与日俱增，而期权在衍生证券中扮演着非常重要的地位，在世界上各地的交易所中都存在着期权交易。期权的种类有很多。如果按照期权的执行时间划分，一般有欧式期权、百慕大期权和美式期权。欧式期权是指只能在期权到期时刻执行的期权，美式期权可在期权有效期内的任何时候执行，而百慕大期权介于两者之间，是指在期权有效期内某些特定的时刻执行的期权，因此有的人也称之为非标准美式期权。如果根据期权所拥有的权利来划分，期权一般又可分为看跌期权和看涨期权。看跌期权指的是期权拥有者在期权执行时以某一确定的价格卖出标的资产的权利，而看涨期权指的是期权拥有者在期权执行时以某一确定的价格购买标的资产的权利。当然，对于前面所说的“权利”，期权持有者不一定必须执行，如果执行期权对自己不利就可以选择放弃。另外，我们在市场上会经常见到亚式期权和障碍期权等，这些期权都是金融机构根据不同的市场需求设计的，它们属于新型期权，大多在场外进行交易。亚式期权的收益依附于标的资产在期权有效期内至少某一段时间内的平均价格，障碍期权的收益依附于标的资产的价格在一段特定时间段内是否达到某个特定的水平6。2.2 期权定价的基本理论在为期权定价的时候，人们常常会作出一些简单合理的假设，在这些假设的基础上形成了一些定价的基本理论，可以大大简化人们的工作。2.2.1 无套利定价原理在期权定价的基本理论中，应用十分广泛也是非常重要的一个理论就是无套利定价原理。套利指投资者在无需承担任何风险和不需自由资金的情况下瞬态进入两个或多个交易市场，利用市场之间存在的价格差异以获取利润的行为，可用一个简单的例子来说明其概念。假设在美国和英国的市场上同时交易某一种股票，英国市场上股票的价格是10英镑，而美国市场上该股票的价格是17美元，当时的汇率是一英镑兑1.80美元。如果套利者在美国市场上购买该股票100股，同时又在英国市场上将之卖出，在不考虑交易费用的情况下，套利者可以获得收益美元。事实上，上述的套利在现实中是存在的，但不会长期存在。若套利者在美国市场上买入股票，在英国市场上卖出股票，因供求关系会导致股票的美元价格上升而股票的英镑价格会下降，于是就使得两个价格在当时的汇率下很快会达到均衡。我们将上述例子推广，可以认为由于存在很多套利者，当市场中存在套利机会时，他们很快进行套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中，此时的价格称无套利价格。2.2.2 风险中性定价原理在期权定价的基本理论中有一个假设是所有的投资者都是风险中性的，这个假设虽然简单，却大大简化了我们对期权价格的分析。投资者在这样的世界里不需要额外的收入吸引他们来承担风险，所有与标的资产风险相同的衍生证券的预期收益率都等于无风险利率。同样地，在风险中性的条件下，所有与标的资产风险相同的未来现金流都使用无风险利率进行折现以获得未来现金流的现值。上述就是风险中性定价原理。事实上，各投资者风险偏好不同，但是当他们从风险中性世界进入到风险厌恶世界时，期权收益贴现所用到的贴现率和标的资产价格的预期增长率都会发生改变，而这两者的改变正好相互抵消。在本文中也是在无套利和风险中性的情况下为美式期权随机模拟定价。3 期权定价的部分数学知识期权定价离不开相关的数学知识，本章将对本文为期权定价所用到的部分数学知识加以说明。3.1 布朗运动与几何布朗运动在期权定价问题中，常假设股票价格遵循几何布朗运动（geometric Brownian motion），著名的Black Scholes定价公式就是在此假设条件下得出的，当然还有其他的假设条件。说到几何布朗运动，我们当然有必要先介绍布朗运动（Brownian motion），它指的是悬浮在气体或液体中的微粒因受到周围大量分子的碰撞而作不规则运动，最先是由英国植物学家Robert Brown于1827年发现。以下是随机过程和布朗运动的具体数学定义。定义3.1.17 （随机过程）：设给定概率空间和参数集，如果对每个，都有在上的随机变量（）对应，则称依赖于参数的随机变量族为一随机过程。可简记为或者。定义3.1.28（布朗运动）：称为布朗运动，如果：（1）（2）有平稳独立增量；（3）上述定义中的“平稳独立增量”是平稳增量和独立增量的合称，平稳增量指的分布不依赖于，独立增量指对于任意的，是独立的。特别地，当时，布朗运动称为标准布朗运动，经常表示为，其密度函数为；当时，可以令，将之转化为标准布朗运动。在布朗运动的基础上我们称 （1）为几何布朗运动，上式中的，是常数，为标准布朗运动。显然，如果用几何布朗运动来描述股票价格，我们可以看到股票价格都是非负的，其自然对数遵循一般的布朗运动，并且若与的值确定了，股票价格只与现价有关，与历史价格无关，这些都比较符合人们对市场的认识。3.2 最小二乘法在现实中，经常需要通过两个或多个变量之间的观测数据寻找它们之间的关系，并用函数近似表达出来，这样的函数称为经验公式。最小二乘法就是拟合经验公式最广泛的方法，它在生物、物理、化学、经济、医学等多个领域均有应用。由于线性关系是最简单的关系，并且本文对美式期权随机模拟定价的研究也将会用到多元线性回归，所以下面就对多元线性回归详细介绍最小二乘法9。我们称 （2）为多元线性模型，其中，都是未知参数，并且称为回归系数，为回归变量。假设（）是的个观测值，则有 （3）假设上式中的相互独立且（）。因为相互独立，所以也相互独立，并且有 于是，。我们称为关于的线性回归方程。为了便于讨论及编程计算，我们引用矩阵形式来表达。令，则（2）式变为，并且一般总假定和。通常，我们需要对进行估计，设其估计量为。根据最小二乘法，我们要求的满足如下的条件： （4）上式中的。或者我们用矩阵形式来表达（4）式，即 （5）一般可以用微分的方法求解。由可以得 （6）根据假定，所以正定，存在逆矩阵，于是方程（6）的解为从而可以得到以上就是针对多元线性回归的最小二乘法，在后面我们应用蒙特卡罗方法随机模拟美式期权的价格时需要用到。3.3 蒙特卡罗方法基本原理蒙特卡罗（Monte Carol）方法是以概率统计知识为基础，通过大量的随机模拟实验而求取随机变量近似值的一种方法。在给出蒙特卡罗方法之前，我们有必要介绍与之相关的概率统计中一个重要的理论柯尔莫哥洛夫强大数定律（Kolmogorov strong law of large numbers），如下所示。定理3.3.110：设是定义在概率空间上的独立同分布的随机变量序列，记，则 其中表示几乎必然（almost surely），也就是说 现在我们开始介绍蒙特卡罗方法。假设是我们所要估计的量，任意选择某个随机变量，并且要满足。我们对进行次重复抽样，得到独立同分布的随机变量序列，然后计算它们的均值根据定理3.3.1可得所以，当我们对抽取足够多的样本（充分大）时，的概率为，也就是说可以用作的估计量。从以上的内容可以看出，蒙特卡罗方法非常便于理解，而计算机技术的发展使得它的实现也比较容易，程序结构要求相对简单，所以蒙特卡罗方法在随机模拟方面使用广泛，不过蒙特卡罗方法也存在计算量大、收敛速度慢等缺点。4 LSM方法前文已说到LSM方法已成美式期权随机模拟定价的主要方法，本节我们将详细地介绍这种方法。需说明的是，如前所述我们是在无套利和风险中性的情况下为美式期权随机模拟定价。在介绍LSM方法随机模拟期权价格的具体过程之前我们需要对一些符号进行说明。4.1 相关符号说明：期权的标的资产（股票）的价格；：期权的到期时刻；：期权的执行价格；：股票价格的预期收益率；：股票价格波动率；：无风险利率；：时间变量，;：股票在时刻的价格；4.2 LSM方法的具体过程介绍LSM方法的基本原理是将期权的有效时间段离散化，根据随机模拟的股票价格，应用最小二乘法将继续持有期权的期望收益用一组基函数的线性组合表示，并将所得的期望收益与立即执行期权的收益相比较，若前者小于后者，那么就立即执行期权，反之则继续持有期权。下面我们将以不付红利的标准美式期权为例介绍LSM方法随机模拟美式期权价格的具体过程。4.2.1 随机模拟生成股票价格路径我们假设股票价格遵循几何布朗运动，根据（1）式变形即有 （7）在风险中性条件下，以代，由Ito定理6得 （8）现在我们考虑将期权执行的有效时间均分为段，则每段时间长度为，并且在实际随机模拟时取值一般较大。假设期权在时间区间内的执行时间点为，并且满足，同时记为股票在时刻的价格。于是根据（8）式我们可以得到 （9）上式中是服从的随机样本。假设股票在时的价格为，则由（9）式迭代可得股票在时刻的价格为 （10）我们根据（10）式可以得到股票的一条价格随机模拟路径。经过模拟次，我们就可以得到股票价格的条价格随机模拟路径，记为，其中（）为第条股票价格模拟样本路径在时刻的股票价格。易知每条价格模拟路径上都有个价格，并且第一个价格都是相同的即股票的初始价格。我们考虑将所有随机模拟路径上的所有价格用矩阵形式表达，于是可以得股票价格的模拟路径矩阵，记为，则4.2.2 计算股票价格模拟路径的最佳执行时间和期权收益LSM方法的目标是提供一个寻找出期权的最佳执行时间的计算方法，使得期权在所找到的时刻执行可以获得最大的收益。我们记为第条随机模拟的股票价格路径在时刻立即执行期权的收益（未贴现），则有 （11）显然，我们根据的可以很容易地计算得到所有的。同时，我们还记 （12）为第条随机模拟的股票价格路径在时刻股票价格为条件下继续持有期权的期望收益。因为期权可以在任意的时刻执行，我们需要比较比较与的大小。我们从的表达式（12）式中可以看出在计算时需要考虑下一步执行期权的决策，所以它只能通过倒推求解的方法获得。LSM方法的基本思想是构造一组基函数，用这组基函数的线性组合来表示继续持有期权的未来期望收益，即 （13）上式中，表示所选的基函数，为常数。基函数的选择范围非常广泛，如拉格朗日多项式（Laguerre Polynomial）、勒让德多项式（Legendre Polynomial）等等。本文考虑选择简单的多项式和拉格朗日多项式作为基函数，下面不妨以三次多项式为例来说明，于是可以近似表达为 （14）不妨设在时刻立即执行期权价值大于零也就是的价格模拟路径的集合为，则，并且。我们先选择所有的路径，并将这些路径上的贴现到时刻作为值。然后根据表达式（14），将所选价格模拟路径在时刻的股票价格与对应的利用最小二乘法线性回归就可以得到，和。在得到回归系数后，将随机模拟的股票价格代入（14）中就可以得到所选的价格模拟路径在时刻继续持有期权的收益。因为是通过倒推求得的，而在时刻每条价格模拟路径的收益（未贴现）是这是容易得到的，所以首先我们需要计算。如前所述，我们先选择所有即的价格模拟路径并将所选价格模拟路径的贴现到时刻作为值，将时刻的与对应的值采用最小二乘法求得系数，和，从而得到 （15）然后，将满足的路径的代入上式中的即可得到所选价格模拟路径在时刻的期望收益。现在，我们对于的路径，比较与的大小来决定目前期权的最优执行策略。如果，那么就继续持有期权，此时与之对应的价格模拟路径的最佳执行时间就是；如果，那么就执行期权，此时与之对应的价格模拟路径的最佳执行时间是。将时刻倒退一步，仿照在时刻的做法，直到时刻。于是，我们就可以得到所有价格模拟路径的最佳执行时间及对应的收益。 根据上述叙述的过程，我们可以得出：（1）可能存在（可能性极小）某些价格模拟路径，从时刻开始一直倒退到时刻，总是小于的，在这些模拟路径上期权就不会被执行，其期权收益当然为零；（2）每条价格模拟路径的最佳执行时间在内最多只有一个。我们不妨设第条股票价格模拟路径的最佳执行时间为，则在时刻执行期权的收益（未贴现）为。4.2.3 对所有股票价格模拟路径的期权收益贴现并计算均值经过前面的过程，我们得到了股票价格模拟路径的以及在时刻执行期权的收益（未贴现）（）。我们将所有的贴现到零时刻并且加上那些未执行期权的价格模拟路径的收益（为零）之后求均值即可得到最后我们所要的期权价值。我们通过随机模拟得到的最后的期权价格的数学表达式为 （16）4.3 LSM方法的步骤总结上一小节阐述了用LSM方法为美式期权随机模拟定价的具体过程，在此基础上，我们对LSM方法作了概括总结。美式期权随机模拟定价的LSM方法的若干步骤如下所示：步骤1：将期权的执行时间离散化，由股票初始价格随机模拟生成条股票价格模拟路径；步骤2：求所有股票价格模拟路径在各个时刻执行期权所获得的价值；步骤3：挑选在时执行期权的价值大于零的价格模拟路径，并将挑选的价格模拟路径在时立即执行期权的价值贴现到时刻；步骤4：针对上一步挑选出的路径，利用最小二乘法对上一步中的贴现价值和在时刻的股票价格回归，从而得到所选路径在继续持有期权的收益；步骤5：比较上一步中得到的期望收益与在时刻执行期权的价值的大小，确定当前最优的执行策略；步骤6：将时间倒推至前一个执行时间点，重复步骤3步骤5，直到时刻；步骤7：在上一步之后可得股票价格模拟路径的最佳执行时间或者不执行，将各价格模拟路径的收益贴现到零时刻取均值即为所求期权在零时刻的价格。5 美式期权的LSM方法程序实现与算例在第4章，我们以标准美式期权为例，在不考虑红利的情况下详细叙述并总结了LSM方法。至于其他美式期权，都可以参照第4章第3节的步骤应用LSM方法完成随机模拟定价。本章将应用LSM方法编程完成标准美式期权和美式障碍期权及美式亚式期权的随机模拟定价并给出算例。有必要说明一下一些基本假设：（1）没有交易费用和税收；（2）不存在套利机会；（3）标的资产为股票且只有一个；（4）股票价格波动率和无风险利率都是常数；（5）股票价格遵循几何布朗运动。5.1 标准美式期权的LSM方法程序实现与算例本小节，我们给出不付红利和付红利两种情况下标准美式期权的随机模拟定价LSM方法的程序实现与算例。5.1.1 不支付红利不妨以美式看跌期权为例。根据LSM方法，利用MATLAB软件编程11，程序见附录1，以下是算例。对于首次算例，本文给出了较详细的结果和说明，以后的算例就只给出必要的说明和模拟的期权价格。例1：假设一个不付红利的美式看跌期权，股票的初始价格为，执行价格为，股票价格波动率，期权有效期年，无风险年利率。首先为了方便显示结果，我们仅仅将期权的执行时间段分为段，模拟路径数为，并且对继续持有期权的期望收益采用三次多项式表达。随机模拟的股票价格路径如下表所示。表1 股票价格随机模拟路径表时间路径12345678150.895750.405251.697160.961269.973669.213767.042469.9653254.448261.363856.995457.516963.093258.171460.550356.3123348.652450.694247.607752.029554.984255.550459.732257.6772455.021455.388459.122161.438563.627865.243163.024064.4524551.472552.331459.194658.261757.605652.174654.980454.6309651.297446.346343.760342.729943.406840.159639.792235.0086757.178660.016165.743261.531163.582362.130770.914772.9179848.100850.998548.011143.755150.220846.797646.827649.3251949.767454.674053.576153.779354.446951.564149.568251.52771050.229747.694247.626651.337053.733051.359756.176555.9459注：（1）上表中的时间代表期权可以执行的时间点，下表中的执行时间意思与此相同，不再说明；（2）每次模拟结果不尽相同。为了直观显示股票的价格模拟，我们将上表的数据用图形表示，如下图所示。图1 股票价格随机模拟路径图期权在各条股票价格随机模拟路径的最佳执行时间如下表所示。表2 各条股票价格随机模拟路径的最佳执行时间表路径12345678910最优执行时间3111241113本次随机模拟所得的期权价格为9.0540。以上随机模拟的股票价格路径数和期权的可执行时间点都很少，得到的期权价格精确度不高，与“理论值”会有一定的差距。现在为得到不错的随机模拟结果，取和，总共模拟8次，随机模拟的期权价格如下所示。由于随机模拟数量增加，各条价格路径及其最佳执行时间就不再给出，只给出我们最后所需要的期权价格。在后文的随机模拟中，若无特别说明，我们都取和。表3 期权价格模拟结果模拟次数12345678期权价格10.025310.018310.00799.989510.019410.01529.983810.0091从上表可以看出，模拟的期权价格在9.983810.0253之间波动，波动范围很小，它们的均值为10.0086，这与之前的9.0540相比差距较大，也更接近“理论值”，说明在一定程度上增加期权的可执行时间点数目和股票价格随机模拟路径数目可以提高期权价格的精确度。虽然得到的期权价格精确度变好了，但程序运行的时间也变长了，这说明要想获得较好的期权价格需要牺牲程序运行的时间，也就是说某一方面的提升会导致另一方面要有所损失。当然程序运行的时间增大的原因一方面和计算量的增加有关，另一方面也与笔者的编程能力有关。我们还选取拉格朗日多项式和常数作为基函数来线性表示继续持有期权的期望收益。拉格朗日多项式的数学表达式如下：我们不妨选取前三项和常数作为基函数，MATLAB程序见附录2，对例1重新随机模拟8次，期权价格随机模拟结果如下表所示。表4 期权价格模拟结果模拟次数12345678期权价格10.03149.99959.99229.996610.00849.98659.983610.0519从上表可以看出，模拟的期权价格在9.983610.0519之间波动，均值为10.0057。比较表4与表3，两个表格的期权价格很接近。综合表3与表4，我们最后认为期权价格在9.983510.0520之间比较合理。在下文的随机模拟期权定价中，若无特别说明，我们均以拉格朗日多项式的前三项和常数作为线性表示继续持有期权的期望收益的基函数。5.1.2 支付红利在实际中很多股票都会有红利支付，一般有两种：（1）连续红利率支付；（2）在某些固定时刻支付一定数额的现金或者以当时股票价格的某一百分比支付红利。我们分别给出连续红利率支付和在某些固定时刻以当时股票价格的某一百分比支付红利的算例结果。（1）连续红利率支付如果股票提供年率为的连续红利率，那么在有连续红利率的情况下，股票价格模拟公式会有所变化，第4章第2节的（8）式应该变为 （17）相应地，（9）式和（10）式变为 （18） （19）LSM方法步骤与第4章中所述相同，只不过我们要根据（19）式来随机模拟股票的价格路径，相应MATLAB程序见附录3。例2：假设某美式看跌期权，股票提供年率为的连续红利率，其初始价格为，执行价格为，股票价格波动率，期权到期日为年，无风险年利率。我们取不同的值，期权价格模拟结果如下表所示。表5 取不同值的期权价格模拟结果表模拟次数19.999010.028210.082529.987410.020010.1302310.014610.048210.1292410.02799.983810.140059.993110.051210.048069.987810.065910.1318模拟的均值10.001610.032910.1103期权定价范围9.987010.02809.983510.066010.048010.1400（2）在某些固定时刻以股价一定比例支付红利假设按照股票价格支付红利的百分比为，则在支付红利的时刻，股票价格应该下降为原来的，并且还假设支付红利后的瞬时可以执行期权。例3：假设某美式看跌期权，股票初始价格为，执行价格为，股票价格波动率，期权到期日为年，并且分别在时都会按照当时股价的付红利，无风险年利率。相应的MATLAB程序见附录4，取不同的值随机模拟，结果如下所示。表6 取不同值的期权价格模拟结果表模拟次数19.99339.99379.996929.973510.00089.9847310.00739.99419.998949.97139.95569.9771510.00549.98239.996469.99159.97039.9790模拟的均值9.99049.98289.9889期权定价范围9.971010.00559.956010.00109.97709.99905.2 美式障碍期权的LSM方法程序实现与算例本节将应用LSM方法编程完成对美式障碍期权随机模拟定价。美式障碍期权定价的LSM方法步骤与第4章中所述相同，只是在计算立即期权执行的收益时与标准美式期权会有所不同。我们以上升敲出看跌期权为例，若其股票价格达到某一个值时，那么期权就作废，这个“值”就是股票价格“障碍”，通常要大于股票的初始价格。不妨假设障碍水平为，如果，则；如果，则。以下是不支付红利的例子，相应的MATLAB程序见附录5，而对于支付红利的期权，处理方式与上节类似，本节就不再给出相关算例。例4：假设一个不付红利的美式上升敲出看跌期权，初始价格为，执行价格为，股票价格波动率，股票价格的障碍水平为，期权到期日为年，无风险年利率。取不同的值，期权价格模拟结果如下表所示。表7 取不同值的期权价格模拟结果表模拟次数114.998514.977514.9966214.982215.044015.0319314.992815.005415.0171415.003714.963314.9927515.016414.970415.0134614.997514.999315.0334模拟的均值14.998514.993315.0142期权定价范围14.982015.016514.977515.044014.992515.03205.3 美式亚式期权的LSM方法程序实现与算例本节我们将应用LSM方法编程完成对美式亚式期权的随机模拟定价。亚式期权分为平均价格看跌期权和平均价格看涨期权，我们以平均价格看跌期权为例。对于平均价格看跌期权，执行期权的收益是，其中是期权有效期某段时间内股票价格的平均价格，并且“平均价格”的计算一般分为几何平均和算术平均。因为对支付红利的期权，前文已在标准美式期权随机模拟定价中给出了处理方式及相关算例，其他期权都与之类似，本节也只针对不支付红利的美式亚式期权。我们不妨以期权生效时刻到执行时刻所有股票价格的算术平均作为，则前文第4章LSM方法中的期权执行的价值的表达式为 （20）例5：假设某美式亚式看跌期权，股票初始价格为，执行价格为，股票价格波动率，期权到期日为年，无风险年利率。相应的MATLAB程序见附录6，随机模拟的期权价格如下所示。表8 期权价格模拟结果表模拟次数12345678期权价格9.999610.03219.96579.969610.032510.026310.001010.0415上表中的期权价格在9.965710.0415之间波动，均值为10.0089，我们可以认为期权价格定在9.965510.0415之间较合理。LSM方法适用于多种美式期权的随机模拟定价，本文就不再一一举例。6 总结与展望6.1 总结本文研究的是各种美式期权的随机模拟定价方法，参考了大量国内外的文献，在借鉴前人的工作基础上利用最小二乘蒙特卡罗方法（LSM方法）编程完成了标准美式期权、美式障碍期权和美式亚式期权的随机模拟定价。首先，本文介绍了期权的概念、分类和其基本的定价原理等知识。然后，本文介绍了LSM方法所用到的一些数学知识，所述的数学知识对我们理解LSM方法并利用程序实现有很大的帮助。接着，我们以不支付红利的标准美式期权为例详细叙述了LSM方法的具体过程，并且在其基础上总结了LSM方法为美式期权随机模拟定价的步骤。本文最后根据LSM方法步骤，利用MATLAB软件编程完成了若干美式期权的随机模拟定价并给出了相关算例。从我们随机模拟定价的结果来看，LSM方法适用于多种类型的美式期权，并且对不同的美式期权，在编程实现随机模拟定价的过程中程序变动范围很小，这些都是LSM方法的优点。当然LSM方法还存在一些不足之处，比如：股票的价格都是通过随机模拟得到的，会有一些偏差，在利用最小二乘法回归时会产生较大误差；再者，随机模拟中产生的随机数是伪随机数，有聚集性，导致计算结果精确度不高，为了达到一定精度，需要大量随机模拟。6.2 展望本文利用LSM方法编程完成了若干美式期权的随机模拟定价，限于知识水平，本文中美式期权定价的条件和利用的方法比较简单，可以完善和延伸拓展的地方还有很多。上一小节中说到的LSM方法的不足之处就是我们后续工作可以改进的地方，比如可以考虑利用总体最小二乘回归、加权最小二乘回归和重新构造新的随机数序列等手段来改进LSM方法。此外，本文假设了在股价波动率和无风险利率都是常数以及标的资产（股票）是一维的条件下为美式期权随机模拟定价，我们还可以研究利用LSM方法为在随机利率、随机波动率和多维标的资产等情况下的美式期权随机模拟定价。参考文献1 Black F. , Scholes M. .The Pricing of Options and Corporate Liabilities J. Journal of Political Economics, 1973, 81(3): 637-654.2 Longstaff F. ,Schwartz E. Valuing American options by simulation: a simple least-squares approach J. Rev Financ Stud, 2001, 14(1): 113-147.3 Raymond H. Chan, Chi-Yan Wong, Kit-Ming Yeung. Pricing multi-asset American-styleoptions by memory reduction Monte Carlo methods J. Applied Mathematics and Computation, 2006, 179: 535-544.4 Snorre Lindset, Arne-Christian Lund . A Monte Carlo approach for the American put under stochastic interest rates J. Journal of Economics Dynamics &Control, 2007, 31:1081-1105.5 Hajime Fujiwara, Masaaki Kijima. Pricing of Path-dependent American options by Monte Carlo simulation J. Journal of Economics Dynamics &Control, 2007, 31:3478-3502.6 美John C. Hul.期权, 期货和其它衍生品(第三版)M. 张陶伟译. 北京: 华夏出版社,2004.7 田铮, 秦超英. 随机过程与应用M. 北京: 科学出版社, 2007.8 Sheldon M. Ross. 应用随机过程：概率模型导论（第9版）M. 龚光鲁译. 北京：人民邮电出版社, 2007.9 师义民, 徐伟, 秦超英, 许勇. 数理统计M. 北京: 科学出版社, 2009.10 林正炎，苏中根. 概率论M. 杭州：浙江大学出版社，2008.11 薛定宇,陈阳泉.高等数学问题的MATLAB求解（第二版）M.北京:清华大学出版社，2010.12 郑小迎, 陈金贤. 关于美式期权定价方法的研究J. 陕西工学院学报, 1999, 15(3): 1-5.13 梁义娟, 徐承龙. 美式期权定价的数值方法J. 应用数学与计算数学学报, 2013, 27（1）：101-113. 14 梅正阳，刘次华. 一类随机波动率的美式期权定价J. 山西大学学报（自然科学版）2008，31（3）：443-446.15 易卫民，黄世为. 美式期权定价的前向蒙特卡洛模拟方法J. 中南财经政法大学研究生学报，2013,2：60-69.致谢本论文的顺利完成，要特别感谢张晓敏老师。从论文的选题、资料收集到最后的写作，张老师都给予了悉心指导，给出了很多有建设性的意见和建议，对本论文的顺利完成帮助很大，在此表示衷心的感谢。同时，还要感谢在大学所有教过我的老师，他们对我学习和生活上的关心和帮助让我获益匪浅，为今后学习打下了基础。十分感谢我的家人和同学，大学四年离不开他们的帮助和支持。最后还要感谢在百忙之中抽出时间评阅论文和参与答辩的老师。附录附录1 不付红利的标准美式看跌期权随机模拟定价MATLAB程序（1）function price=option1(S0,X,r,T,sigma,N,M) %函数变量设置,输出结果为期权价格dt=T/N;miu=r-0.5*(sigma2);syms tt; %最优执行时间% Step 1 生成M条样本路径w=randn(M,N); %生成随机数矩阵S=zeros(M,N); %价格矩阵for j=1:M for i=1:N W=sum(w(j,1:i); S(j,i)=S0*exp(i*miu*dt+sigma*sqrt(dt)*W);%第j条路径在i时刻的模拟价格 endend%S% Step 2 逆向求解出每条样本路径最优执行时间，并求出其相应期权收益tt=ones(M,1);tt=N*tt; %初始化最优执行时间E=zeros(M,N);%继续持有期权收益矩阵C=max(X-S,0); %立即执行期权的价值,未贴现E(:,N)=C(:,N);i=N-1;while(i=1) J=find(C(:,i); %找出执行期权收益大于零的路径C(:,i)0，J中元素为对应的路径 H=size(J); %判断J的大小，H的元素是J的行数和列数 L=zeros(H(1),1); f=zeros(H(1),1); for k=1:H(1) f(k)=exp(-r*dt)*C(J(k),i+1); %贴现得到Y值（注意贴现对象） L(k)=S(J(k),i); end a=polyfit(L,f,3); %回归系数(三次多项式) for k=1:H(1) E(J(k),i)=a(4)+a(3)*L(k)+a(2)*(L(k).2)+a(1)*(L(k).3); %继续持有期权收益 if E(J(k),i)=1) J=find(C(:,i); %找出执行期权收益大于零的路径C(:,i)0，J中元素为对应的路径 H=size(J); %判断J的大小，H的元素是J的行数和列数 L=zeros(H(1),1); f=zeros(H(1),1); for k=1:H(1) f(k)=exp(-r*dt)*C(J(k),i+1); %贴现得到Y值（注意贴现对象） L(k)=S(J(k),i); endA=ones(H(1),1),exp(-L/2),exp(-L/2).*(1-L),exp(-L/2).*(1-2*L+0.5*(L.2); %拉格朗日前三项和常数作为基函数 a=Af; %拟合系数 for k=1:H(1) E(J(k),i)=A(k,:)*a; %回归后的继续持有期权收益 if E(J(k),i)=1) J=find(C(:,i); %找出执行期权收益大于零的路径C(:,i)0，J中元素为路径 H=size(J); %判断J的大小，H的元素是J的行数和列数 L=zeros(H(1),1); f=zeros(H(1),1); for k=1:H(1) f(k)=exp(-r*dt)*C(J(k),i+1);
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