浅谈函数解析性的判断方法

1、专业代码：070101学号：100704010073贵 州 师 范 大 学（本科）毕 业 论 文题 目：浅谈函数解析性的判断方法学 院：数学与计算机科学学院专 业：数学与应用数学年 级：2010级姓 名：游延超指导老师：罗永贵完成时间：2014年04月01日目 录摘要3引言4一、 解析函数的概念 4二、 函数解析的判断 51、 根据解析函的定义判断 5例：1 5例：2 52、 根据CauchyRiemann条件证明函数的解析性 6定理1： 6例：3 7定理2： 8定理2的证明 83、 根据初等函数的解析性判断 94、 利用积分形式的等价定理 10例：4 5、 关于幂级数形式的等价定理 106、

2、 根据导函数的解析性 10例：5 117、 根据级数来判断函数的解析性 11三、总结 11参考文献 12浅谈函数解析性的判断方法游延超摘 要：解析函数是局部上由收敛幂级数给出的函数，解析函数可分成实解析函数和复解析函数。二者有类似之处，同时也有重要的差别。此外在超度量域上也可以定义解析函数，这套想法在当代数论与算术代数几何中有重要的应用。解析函数也是复变函数的一个研究的重要对象。解析函数理论在数论、电学、工程等方面都有重要的应用，解析函数的涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论

3、等学科，对他们的发展有极其深远的影响。本文的主要工作如下：第一 根据解析函数的定义判断，第二 根据 CauchyRiemann 条件证明函数的解析性，第三 根据初等函数的解析性判断，第四 利用积分形式的等价定理，第五 关于幂级数形式的等价定理，第六 根据导函数的解析性判断，第七 根据级数判别函数的解析性。关键词：解析函数；连续性定义；CauchY-Riemann；积分；初等函数；幂级数；导函数；级数；实解析函数；复解析函数。Abstract: Theanalytic function islocally givenby theconvergent power series. Theanalyt

4、ic functioncan be divided intoreal analyticfunctions and complexanalytic function.Both of them have something in common, butthere are alsoimportant differences.In addition, itcan be also defined in theultrametricdomain. Thisidea hasimportant applicationin modernnumber theory andarithmetic algebraicg

5、eometry.Animportant object of the complex variableanalytic functionis theanalytic function.Analytic function theoryhas important applications innumber theory,electrical,engineering and other aspects. The usageof analytic functionis very wide,and there are many complicatedcalculationssolved by it.In

6、theapplication ofthe solution of fluid mechanicsand aviationmechanicsproblem, it has madethe important contribution.It has depth to thedifferential equation,integral equation,probability theory,andnumber theoryand other disciplines, and thathas afar-reaching influence on thedevelopment of them. The

7、main work of this paperare as follows:firstly, the definition of analytic function is used to makejudgment;secondly, according to Cauchy Riemannsconditions, I use it to prove the analyticfunction;thirdly, I will make analyticjudgment by elementary function; fourthly, I do theequivalence theoremin in

8、tegral form;fifthly,aboutthe form of power series;sixthly, according toguidefunction I will make theanalyticjudgment; seventhly,according to the analysis ofseriesof discriminant functions.Keywords:analytic function;continuity definition;Cauchy-Riemann;integration;elementary function;power series;der

9、ivative;series;real analytic functions; complex analytic functions.引言：解析函数是局部上由收敛幂级数给出的函数，解析函数可分成实解析函数和复解析函数。二者有类似之处，也存在重要的差异。另外也在超度量域上也是可以定义为解析函数，这套想法在现代数论与算术代数几何中有作重要的应用。解析函数也是复变函数研究的一个重要对象，解析函数理论同时也在数论、电学、工程等多方面都有作重要的应用价值，解析函数的涉及面很广，在很多复杂的计算过程都是用它来解决的。在运用复变函数论解决航空力学和流体力学等方面的问题上也是做出了巨大贡献的。它已经深入我们学

10、习的积分方程、微分方程、数论和概率论等学科，对这些学科的发展是有极其深远的影响的。解析函数也是复变函数论主要研究的对象，在复变函数和数学的整个发展的历史时期都占据着很重要的地位，它在不断延续和发展的同时也影响了很多学科的发展。一、解析函数的概念在。如果函数f(z)在区域D内任一点解析，则称f（z）在区域D内解析。注：1）如果函数f(z)在区域D内的解析，那么D内每一点都是它的内点，从而D是开区域。2）如果函数f(z)是闭圆盘 上包含该圆盘的某个区域内解析。 3）f（z）在z解析，则f（z）在z可导；f（z）在z可导，则f（z）在z不一定解析。但是f（z）在区域D内解析和可导是等价的。 4）一个

11、解析函数不可能仅有一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。定理：在区域D内解析的两个函数f（z）与g（z）的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D内解析。所以由此定理可以知道：A：所有的多项式在复平面内是处处解析；B: 任何一个有理分式函数在不含分母为零的点的区域内是解析的，使分母为零的点是它的奇点。二、函数解析的判定1 根据解析函数的定义判定 要考察函数在某一点的解析性，首先看函数在该点是否有定义，然后看函数在该点极其领域内是否可导。定义： （1）f（z）在z解析：f（z）在z的某领域内可导。z称为解析点，否则称为奇点。例1：讨论函数f（z）=1/z的解析性。解：，故f（z）=1/

12、z在z时处处解析；z=0是它的一个奇点。（2） f（z）在区域D内解析：f（z）在D内处处解析。函数在一点解析在该点可导。反之不一定成立。在区域内：解析可导例2：因为f（z）=Z在整个复平面上处处可导；且则由解析的定义可知。若函数 w= f (z)在区域 D 内可微, 则称 f (z) 为区域D 内的解析函数, 或称 f (z) 在区域D 内解析.例如： 复变函数 f (z)= u(x, y)+ iv( x, y)，如何判别其解析性？（）设函数w=f（z）= u(x, y)+ iv( x, y)在D内解析。 即存在于是： 称为Cauchy-Riemannf方程即w=f（z）=u(x, y)+i

13、v(x, y)在D内一点（x，y）解析u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足柯西黎曼Cauchy-Riemann)方程。设u(x, y)与v（x，y）在点（x，y），并且满足柯西黎曼（Cauchy-Riemann）方程。于是有 =( 即函数 f (z)在点 z = x + iy 处可导，由 z 的任意性可知：w=f(z)=u(x , y)+iv(x , y)在D内解析。2、 根据 CauchyRiemann 条件证明函数的解析性由于复变函数的表示法的不同, 下面给出三个相互等价的定理. 其在应用中可根据题目中的函数而灵活运用复变函数 f (z)= u(x, y)+ iv( x,

14、 y)在区域 D 内有定义, 则在区域 D 内解析的充要条件: 在D 内连续; (b)u( x, y), v(x, y) 在 D 内满足 C- R 条件 .这种方法在证明复变函数的解析性中有最广泛的应用, 是5复变函数论6中最重要的方法之一. 另外, 应用 CauchyRiemann 条件证明函数解析性还有另外两种等价的定理.定理1：设函数 f ( z)= u(r, H)+ iv( r, H) 在区域 D 内有定义, 则 f ( z) 在 D 内解析的充要条件为：在D 内连续, 且满足 C- R 条件 例3：判断函数f（z）=的解析性。解：令z=则 处处不满足C-R条件，所以f（z）在z平面上

15、处处不解析。 由上例可看出这两种形式的 CauchyRiemann 条件各有其方便之处, 在做题目时, 可以选择适当的形式, 从而简化证明过程. 下面再介绍另一种形式的 CauchyRiemann 条件.定理 2：设函数 f (z)定义在区域 D 上, 对于 D 内任一点上的两个相互垂直的方向 s 与 n, 其中由 s到n 是按逆时针方向, 则函数 f (z)在 D 内解析的充要条件是: f (z)的实部与虚部在 D 内可微并且在D内每一点满足证明 必要性：由 f (z)解析显然有 f (z)的实部与虚部可微设 s与正实轴交角为H, n 与正实轴交角为。在s方向上，对任意点z，： = = （1

16、）在n方向 （2）可得 充分性：由 f (z)的实部与虚部可微得, 存在使 （3）令 故 两边除以t，取极限后得到 （4）同样，若令 在式（3）的两边除以t，取极限后得 （5）由（4），（5）可解出 同样对v(x, y)用完全相同的过程且设无穷小量为E，E得由条件 利用在上式两边同时除以后再取极限就得到这说明了函数3、 根据初等函数的解析性判定 若复变函数是初等函数，则我们可以根据初等函数的解析性来进行判定1）指数函数在整个复平面上解析；指数函数： 定义对任意的复数，规定函数 为z的指数函数，记做 2）对数函数lnz的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析； 对数函数定义为指数函数

17、的反函数。我们把满足方程 的函数称为对数函数，记作 设 由于是多值的，于是对于每个非零z，复对数也就是多值的。 3）幂函数，数在除去原点以外的整个复平面上解析；，在除去原点和负实轴的复平面上解析；在各自的定义域内解析。定义：设z为不为零的复变数，为任意一个复数，我们定义 当z为正实数、为整数时，上式与微积分中的乘幂的定义一致；当z为复变数、为复数时， （ k为整数） 4）sinz，cosz在整个复平面上解析；4、 利用积分形式的等价定理复变函数 f ( z)在区域 D 内解析的充要条件为: f (z)在 D 内连续并且对任一围线 c, 只要 c 及其内部全含于D内，就有。例4：。解：由+ie在

18、z平面上连续对于z平面上任一围线c，有，。则 。所以f（z）在z平面上解析。5、 关于幂级数形式的等价定理 函数f (z) 在 D 内解析的充要条件是: f ( z)在D内任一点a 的邻域内可以展开成(z- a)的幂级数.由于此种方法的要求是在任一点都可以展开成幂级数， 可以用来求在一点的可微性。6、 根据导函数的解析性(1)设 函数f (z)在区域 D 内是解析的, 则在 D 内是具有各阶导函数的, 且在 D 内解析. 这种判别方法一般可以用在已经知道原函数是解析函数的情况下. 下面我们再给出一种判别的方法, 其本质上还是运用解析函数的各阶导数的存在并且解析而得到的。(2) 设f (z)在单

19、连通区域D 内连续, 并且沿区域D 内任一围线的积分为零(从而与路径无关)，则函数F(z)=（为内任意一点）在D解析。例5：试判断。解：由(z)=又在z平面上连续，且由例 4知对任一闭曲线 c 有所以在z平面上解析。此方法比较适合于原函数较好判别的情况。7、根据级数来判别函数的解析性。利用级数判别解析区域的方法：设双边幂级数的收敛圆环为 H ：r ，0。则在H内绝对收敛且内闭一致收敛于f（z），并且f（z）在H内解析。三、总结：以上是我对函数解析性的判断的几种证明方法的归纳，在我们的学习中学会对已学过的知识点进行归纳总结是一种重要的学习方法。这种方法不仅让我们对学过的知识加以巩固，获得新知识；还能是我们的学习思维起到