教师需要怎样的数学观.ppt

1、1,教师需要怎样的数学观华东师范大学 李士錡 2014. 7,1,2,数学观对数学的基本看法,与教学有关： 教学目标 教师角色 教学方式 教学重点 教学活动 数学过程,2,3,数学观对数学的基本看法,与教师的角色有关： 命令者 解释者 推动者,3,4,数学是一种怎样的形式？,例：教科书 平面几何系统： 公理 公设 定义 定理证明 定理证明 ,4,5,数学是一种怎样的形式？,例：数学论文 命题（定理） 定义 引理证明 引理证明 证明,5,6,一个令人吃惊的例子：,证明“任何三角形都是等边三角形”,6,7,7,8,8,9,10,10,11,对交点在哪里有疑问？,12,12,13,13,14,疑点在

2、哪里？,14,15,15,16,16,我们可以得到什么启示？,数学是要有事先规定的，包括公理系统 规定是在遇到实际困境时才设立的 设立后再放到最前面去，成为起点 欧氏几何的公理系统并不完备 数学的表达形式，与产生过程的次序正好相反 问题：数学，应该是按表达形式，还是按产生过程教？,17,18,数学观对数学的基本看法,静态的数学观 形式的、精确的、逻辑的科学 一批孤立的法则、公式 动态的数学观 解题过程为主的科学 应用于社会和生活,18,19,教师中最常见的数学观： 数学就是解题 数学就是解题技巧的掌握和应用 数学就是知道一大套法则公式，去解题 数学是思考和解决问题的方法和过程 有什么样的数学观

3、，就会有什么样的教学法,19,对数学教育来说 我们需要怎样的数学观？问题：数学结论如何形成？数学的严谨性如何建立？,20,21,经验主义的数学哲学观,21,22,Euler 多面体公式及其证明 V - E + F = 2,22,23,23,24,1. 去掉一个面，铺平,24,25,25,26,只要证明: V - E + F = 1,26,27,2. 对图形作三角形剖分,27,28,28,29,仍证明: V - E + F = 1,3. 简化图形:,29,30,30,31,31,32,3. 简化图形: 1) 去掉一条线, 减少一个面, 仍证明: V - E + F = 1,32,33,33,34

4、,34,35,35,36,36,37,3. 简化图形: 1) 去掉一条线, 少了一个面 2) 去掉两条线,一个点, 少了一个面, 仍应证明: V - E + F = 1,37,38,38,39,39,40,40,41,观察结果: V - E + F = 3 - 3 + 1 = 1,41,42,反驳: 只有两种化简方法?,42,43,43,44,44,45,45,46,46,47,47,48,48,49,49,50,50,51,51,52,52,53,53,54,再反驳: 去掉一个面, 就一定能铺平?,54,55,N = 4,55,56,多面体定义,原定义: 任何由平面围成的立体, 或: 由多边

5、形面组成其表面的立体 新定义: 由一个多边形系统组成的曲面,56,57,新的反驳,57,58,N = 3,58,59,N = 3,59,60,必须考虑“连通性” !,60,61,N = 12-30+12 = - 6,但又有反例:,61,62,按新定义: 由一个多边形系统组成的曲面,五角星算不算 “多边形” ？,62,63,什么是多边形? 多边形是这样的棱的系统: 1) 每个顶点恰有二棱相交 2) 除顶点外各棱没有公共点,63,64,新的两重反例 N = 3,64,65,“多面体” “凸多面体”,65,66,本质性的问题：必须考虑“凸性”! “多面体” “凸多面体”,66,67,多面体的定义回归

6、性地不断改进,多面体定义 连通性 多边形定义 凸性,67,68,(“最后”) 定理: 所有带单连通面的准凸多面体, 有: V - E + F = 2,68,69,拉卡托斯的思想: 数学的发展，是依靠猜想、证明、批判、反驳，不断地改进结论和推理的过程 数学是可错的，而不是一帆风顺发展，定理数量单调增长的 证明（乃至数学）：是一个实验或准实验: 思想实验 数学的严格性: 嵌入一套“熟悉的背景知识”,69,70,数学的发展，是依靠猜想、证明、批判、反驳，不断地改进结论和推理的过程 数学学习应看作为一个过程，而不只是一个结果。 数学及其思维，在其内部发展的过程中需要猜想、证明、批判、反驳等等机制。 教

7、学仅展示正确的过程是不够的，也应暴露其中的曲折。,70,71,数学是可错的，而不是一帆风顺发展、定理数量单调增长的 数学，不是一开始就是正确、精确、严谨的。在尝试、探究、前进的过程中，充满了错误，曲折，回旋,71,72,证明（乃至数学）：是一个实验或准实验: 思想实验 数学学习、数学思维, 就是一个反复尝试、探究的过程，不断修正、改进、完善的过程。例如，不仅要改进证明过程，也可能要改进原命题、原猜想。,72,73,数学的严格性: 嵌入一套“熟悉的背景知识” 数学的严格性是相对的，特别是，应根据学生的水平和能力来决定 例：判断函数 f (x) = 的单调性 当 x1 x2时, f(x1) f(x

8、2) = ,73,74,问题：,科学的数学与教育的数学是否一样？ 区别在哪里？ 严谨性 抽象性 广泛应用性,74,75,认识：,需要区分科学的数学与教育的数学 “数学的科学形态与数学的教育形态” 例：平面几何中的“边边边公理” 例：代数中的分式的定义,75,76,认识：,又要看到它们之间的联系 例：数学归纳法背后的皮亚诺公理 例：“任何三角形都是等边三角形”,76,77,数学观对数学的基本看法,教学中反面的例子: 数列问题：找规律写出第三个数： 61，52，？，94，46，18,77,78,例：写出数列的下一行： 1 1 1 2 1 1 2 1 11 1 1 2 2 1,78,79,例：船长问

9、题 有一艘船，装有75头牛，34只羊，问船长多少岁,79,80,实际问题：意义不当的训练，与训练目的、内容、时机、方法等有密切关系 经验教训：教师的数学观将直接影响学生的数学观,80,案例：分数化小数的方法,81,案例：一组减法算术题,4225 = 4326 = 4427 = 4528 = 4629 = 4730 = ,82,83,数学观对数学的基本看法,与教学有关： 教学目标 教师角色 教学方式 教学重点 教学活动 数学过程,83,“活动教学”,小学数学课堂的例子：表扬, 拍手, 发小红旗 质疑: 课堂活动的实际效果如何考虑?,84,A B C 质疑: 如何设置情境 ?,“情境教学”,“最短

10、救火路程”问题,85,“探究教学”,正弦定理的教学：请同桌同学任意画一个三角形，测量它的各角大小和各边的长，并用计算器分别计算 c/sinC, b/sinB, a/sinA 的值，看看有什么结果？,86,得到一些结果：,87,教师问：根据计算结果和小组的交流情况，同学们有什么看法？ 同学们猜出结果 教师根据大家的意见，写出正弦定理 紧接着，教学转入正弦定理的应用 质疑：这样的教学过程存在问题吗？,88,数学探究的目的是什么? 靠测量和观察, 得到的是什么? 数学结论应该靠什么来确认?,89,这个课题的本质：数学的理性思维 得到的命题必须加以证明 使用演绎方式，在系统内证明 但是上述教学过程放弃了这个本质 正弦定理的更深刻的实质意义：平面几何“大边对大角”关系的数量化，即，三角形边角关系的理性化,90,基本经验和教训： 数学教育，核心是教好数学。要防止“去数学化”的倾向 数学教师最重要的基本功是数学功底 教学方法，是为学生理解数学内容服务