函数的定义域、值域

1、2.2 函数的定义域、值域 基础知识 自主学习 要点梳理 1.函数的定义域 (1)函数的定义域是指 . (2)求定义域的步骤是： 写出使函数式有意义的不等式（组）； 解不等式组； 写出函数定义域.（注意用区间或集合的形式 写出）,使函数有意义的自变量,的取值范围,(3)常见基本初等函数的定义域： 分式函数中分母不等于零. 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. 一次函数、二次函数的定义域为 . y=ax,y=sin x,y=cos x,定义域均为 . y=tan x的定义域为 . 函数f(x)=x0的定义域为 . 2.函数的值域 (1)在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值 叫 ， 叫

2、函数的值域.,R,R,x|xR且x0,函数值,函数值的集合,(2)基本初等函数的值域 y=kx+b(k0)的值域是 . y=ax2+bx+c(a0)的值域是：当a0时，值域为 ；当a0且a1）的值域是 . y=logax(a0且a1)的值域是 . y=sin x,y=cos x的值域是 . y=tan x的值域是 .,R,y|yR且y0,R,R,-1，1,（0,+）,基础自测 1.（2009江西文，2）函数 的定 义域为 （ ） A.-4,1B.-4,0) C.（0,1D.-4,0)(0,1 解析 由题意得 -4x1且x0.即定义域为-4,0)(0,1.,D,2.（2008全国理,1）函数 的

3、 定义域为 （ ） A.x|x0B.x|x1 C.x|x10D.x|0 x1 解析 要使函数有意义,需 函数的定义域为x|x10.,C,3.函数f(x)=3x(0x2)的反函数的定义域为（ ） A.（0，+） B.(1,9 C.(0,1) D.9,+) 解析 0x2,13x9, f(x)的值域为（1，9， f（x）的反函数的定义域为（1，9.,B,4.下列函数中，值域是(0,+)的函数是（ ） A. B. C. D. 解析 A中值域为（0，1）； B中值域为0，1）； C中值域为0，+）；D中值域为（0，+）.,D,5.已知函数f(x)=lg(x+3)的定义域为M， 的定义域为N，则MN等于（

4、 ） A.x|x-3B.x|-3-3,N=x|x2. MN=x|-3x2.,B,题型分类 深度剖析 题型一 求函数的定义域 （2009江西理，2）函数 的定义域为（ ） A.（-4，-1）B.（-4，1） C.（-1，1）D.（-1，1 求函数f(x)的定义域，只需使解析式 有意义，列不等式组求解. 解析,思维启迪,C,探究提高 （1）求函数的定义域，其实质就是以 函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或 不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： 分式中，分母不为零； 偶次方根中，被开方数非负； 对于y=x0，要求x0； 对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1； 由实际问题确定的函

5、数，其定义域要受实际问 题的约束. （2）抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间 的关系.,知能迁移1 (2008湖北)函数 的定义域为（ ） A.（-，-42，+） B.（-4，0）（0，1） C.-4，0）（0，1 D.-4，0）（0，1） 解析 不等式组 的解集为 -4，0）（0，1.,当x=1时， 不满足题意，舍去. 当x=-4时， 所以函数f(x)的定义域为-4，0）（0，1）. 答案 D,题型二 求函数的值域 求下列函数的值域： 根据函数解析式的结构，确定采用 的方法： （1）可用配方法或判别式法；（2）可用换元法 或单调性法. 解 （1）方法一（配方法）,思维启迪,方法二（判别式

6、法） 得(y-1)x2+(1-y)x+y=0. y=1时，x,y1. 又xR，=(1-y)2-4y(y-1)0,（2）方法一（换元法）：设 显然函数g(t)在0，+）上是单调递减函数，,方法二（单调性法）：函数定义域是 当自变量x增大时，2x-1增大， 减小， 因此函数f(x)=2x-1- 在其定义域上是一个 单调递增函数，,探究提高 （1）若函数为分式结构（如（1）， 且分母中有未知数的平方，则常考虑分离常数法，或采用判别式法.（2）若含有根式结构的函数 （如（2），通常用换元法，若能确定其单调性 可采用单调性法.通常用单调性法求值域，常见的 有y=ax+b+ (a、b、d、e均为常数，且a

7、d0)， 看a与d是否同号，若同号则用单调性求值域，若异 号则用换元法求值域.,知能迁移2 求下列函数的值域： 解 （1）(分离常数法),(2)方法一(换元法) 1-x20,令x=sin , 方法二,题型三 根据定义域、值域求参数的取值 （12分）若函数 的定 义域和值域均为1，b（b1）,求a、b的值. 求出f（x）在1，b上的值域，根 据值域已知的条件构建方程即可解. 解题示范 解 2分 其对称轴为x=1，即1，b为f（x）的单调 递增区间. 4分 6分,思维启迪,8分 由解得 12分 本题主要考查一元二次函数的定义域和 值域问题，主要体现了配方法求函数的值域.由于含 有字母，在分析时，要

8、考虑字母的范围. 基本初等函数的定义域主要从式子的存在性入手分 析，经常考虑分母、被开方数、对数的真数等方 面，几种常见函数的定义域和值域都有必然的联系.,探究提高,知能迁移3 若函数f(x)=loga(x+1)(a0且a1)的 定义域和值域都是0，1，则a等于（ ） 解析 0 x1,1x+12, 又0loga(x+1)1,a1,且loga2=1,a=2.,D,思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的 值域，并且它是研究函数性质的基础.因此，我 们一定要树立函数定义域优先意识. 求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确 求解方程或不等式（组）；对于含有字母参

9、数 的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对 于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义. 2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵 坐标的变化范围.利用函数几何意义，数形结合 可求某些函数的值域.,3.函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数 可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别 式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是 否成立，必要时注明“=”成立的条件. 失误与防范 1.求函数的值域，不但要重视对应法则的作用， 而且还要特别注意定义域对值域的制约作用. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要 重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用. 特别要重视实际问题的最值的求法. 2.对于定

10、义域、值域的应用问题，首先要用“定 义域优先”的原则，同时结合不等式的性质.,定时检测 一、选择题 1.（2009陕西理，1）若不等式x2-x0的解集为 M，函数f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N，则MN 等于（ ） A.0，1）B.（0，1） C.0，1D.（-1，0） 解析 不等式x2-x0的解集M=x|0 x1, f(x)=ln(1-|x|)的定义域N=x|-1x1, 则MN=x|0 x1.,A,2.若函数y=f(x)的定义域是-1,1，则函数 y=f(log2x)的定义域是( ) A.-1,1B. C. ,4D.1,4 解析 由-1log2x1得 由y=log2x在（0,+）上递

11、增， 故选B.,B,3.函数 +2x的定义域为 （ ） A.(1,2)(2,3) B.(-,1)(3,+) C.(1,3) D.1,3 解析,A,4.设 则 的定义域 为（ ） A.（-4，0） （1，4） B.(-4,-1)(1,4) C.(-4,0)(0,4) D.(-4,-2)(2,4) 解析,B,5.（2008江西文，3）若函数y=f(x)的定义域是 0，2，则函数 的定义域是( ) A.0，1 B.0，1） C.0，1）（1，4 D.（0，1） 解析 y=f（x）的定义域是0，2，,B,6.在计算机的算法语言中有一种函数x叫做取整 函数（也称高斯函数），它表示x的整数部分，即 x是不

12、超过x的最大整数.如2=2，3.1 =3，-2.6=-3.设函数 则函数 y=f(x)+f(-x)的值域为（ ） A.0 B.-1 C.-1,0 D.-1,0,1 解析 f(-x)+f(x)=0,f(x)是奇函数.当x0时， 由取整函 数的定义可得值域为-1,0，故选C.,C,二、填空题 7.函数 的定义域为 . 解析 若使该函数有意义，则有 x-1且x2,其定义域为x|x-1且x2.,x|x-1且x2,8.设x2，则函数 的最小值是 . 解析 设x+1=t， 则t3，那么 在区间 2,+）上此函数为增函数，所以t=3时，函 数取得最小值即,9.若函数 的定义域为R，则实数 a的取值范围是 .

13、 解析 由题意，对任意实数xR, 恒成立， x2-2ax-a0在xR上恒成立， 0,-1a0.,-1,0,三、解答题 10.求下列函数的定义域：,解,借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为 -2x-1或1x2. 故定义域为x|-2x-1或1x2.,11.已知f(x)=log3x,x1,9，求函数y=f(x2)+ f2（x）的值域. 解 y=log3x2+log32x=log32x+2log3x,1x3. 令t=log3x0,1, y=g(t)=t2+2t=(t+1)2-1,t0,1,此时函数 单调递增，y0,3,12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)= -bx，其中a,b,cR，且满足abc，f(1)=0. （1）证明：函数f(x)与g(x)的图象交于不同的 两点A、B； （2）若函数F(x)=f(x)-g(x)在区间2,3上的 最小值为9，最大值为21，试求a、b的值. （1）证明 若