以特殊三角形为背景的计算与证明

1、以特殊三角形为背景的计算与证明,题型分类典例精析,【例 1】如图，已知正方形ABCD，把边DC绕 D点顺时针旋转30到DC处，连接AC、BC、CC， 写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程,典例精析,题型分类典例精析,解 图中的等腰三角形有：DCC，DCA， CAB，CBC.理由如下： 四边形ABCD是正方形， ABADDC，BADADC90， DCDCDA， DCC和DCA为等腰三角形， CDC30，ADC90， ADC60， ACD为等边三角形，,典例精析,题型分类典例精析,ACADAB， CAB为等腰三角形， CAB906030， CDCCAB， 在DCC和ACB中，,DCCACB(S

2、AS)， CCCB，BCC为等腰三角形,典例精析,题型分类典例精析,探究提高等腰三角形的性质与线段的垂直平分线结合 在一起证明线段相等，或者与三角形的内角和定理结合 在一起求角度，可以通过列方程或方程组来解决等腰三 角形中边的计算 此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判 定与性质等知识，得出ACD为等边三角形是解题关键,典例精析,题型分类典例精析,【例 2】在等腰直角三角形ABC中，BAC 90，ABAC，直线MN过点A且MNBC，过点B为一锐角 顶点作RtBDE，BDE90，且点D在直线MN上(不与点 A重合)，如图1，DE与AC交于点P，易证：BDDP.(无需写 证明过程),典例

3、精析,题型分类典例精析,(1)在图2中，DE与CA的延长线交于点P，BDDP是否成立？ 如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； (2)在图3中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？ 请直接写出你的结论，无需证明,典例精析,题型分类典例精析,解 题干引论： 证明：如答图1，,过点D作DFMN，交AB于点F， 则ADF为等腰直角三角形， DADF. 1FDP90，FDP290， 12.,在BDF与PDA中，,BDFPDA(ASA)，BDDP.,典例精析,题型分类典例精析,(1)BDDP成立 证明：如答图2，过点D作DFMN， 交AB的延长线于点F， 则ADF为等腰直角三角形，

4、DADF. 1ADB90，ADB290， 12.,在BDF与PDA中，,BDFPDA(ASA)，BDDP.,典例精析,题型分类典例精析,(2)BDDP. 证明：如答图3，过点D作DFMN， 交AB的延长线于点F， 则ADF为等腰直角三角形， DADF. 在BDF与PDA中，,BDFPDA(ASA)，BDDP.,典例精析,题型分类典例精析,探究提高等腰直角三角形的性质“两腰相等，两底角等 于45”在几何计算与证明中应用广泛，常常与角平分线 性质结合使用本题考查了全等三角形的判定与性质、等 腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点，作辅助线 构造全等三角形是解题的关键,典例精析,题型分类对点训练,

5、1.已知等腰三角形ABC中，腰AB8，底 BC5，则这个三角形的周长为 () A. 21 B. 20 C. 19 D. 18,A,解析 三角形的周长为：88521.故选A.,对点训练,题型分类对点训练,2.已知ABC的三条边长分别为3，4，6，在 ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三 角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最 多可画 () A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条,对点训练,题型分类对点训练,解析 如图所示：,当BC1AC1，ACCC2，ABBC3，AC4CC4，ABAC5， ABAC6，BC7CC7时，都能得到符合题意的等腰三角 形故选B.,对点训练,

6、题型分类对点训练,2. (2014无锡)已知ABC的三条边长分别为3，4，6，在 ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三 角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最 多可画 () A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条,B,对点训练,题型分类对点训练,3. (2014扬州)如图，在四边形ABCD中，ABAD6，AB BC，ADCD，BAD60，点M、N分别在AB、AD边上， 若AMMBANND12，则tanMCN (),对点训练,题型分类对点训练,解析 ABAD6，AMMBANND12， AMAN2，BMDN4， 连接MN，连接AC， ABBC，ADCD，BAD60，,R

7、tABCRtADC(HL)，,AC2BC2AB2，即(2BC)2BC2AB2，,对点训练,题型分类对点训练,ANAM，MAN60，MAN是等边三角形， MNAMAN2，,对点训练,题型分类对点训练,3.如图，在四边形ABCD中，ABAD6，AB BC，ADCD，BAD60，点M、N分别在AB、AD边上， 若AMMBANND12，则tanMCN (),A,对点训练,题型分类对点训练,4. 如图，已知ABC中，ABAC，点D、E 在BC上，要使ABDACE，则只需添加一个适当的条件 是_(只填一个即可),答案：开放型问题，答案不唯一，如：BDCE,解析 BDCE.理由如下： ABAC，BC，,AB

8、DACE(SAS),对点训练,题型分类对点训练,5. 如图，在RtABC中，C90，D为AB的 中点，DEAC于点E.A30，AB8，则DE的长度是 _,2,解析D为AB的中点，AB8， AD4， DEAC于点E，A30，,对点训练,题型分类对点训练,6. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上 一点，DAE30，M为AE的中点，过点M作直线分别与 AD、BC相交于点P、Q.若PQAE，则AP等于_cm.,对点训练,题型分类对点训练,解析 根据题意画出图形，过P作PNBC，交BC于点N， 四边形ABCD为正方形，ADDCPN，,在RtADE中，DAE30，AD3，,RtADERtPN

9、Q(HL)，,对点训练,题型分类对点训练,DENQ，DAENPQ30， PNDC，PFADEA60， PMF90，即PMAF，,由对称性得到：APDPADAP321. 综上所述，AP等于1cm或2cm.,对点训练,题型分类对点训练,6. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上 一点，DAE30，M为AE的中点，过点M作直线分别与 AD、BC相交于点P、Q.若PQAE，则AP等于_cm.,1或2,对点训练,题型分类对点训练,7.如图，已知：ABC中，ABAC，M是BC的中点， D、E分别是AB、AC边上的点，且BDCE.求证：MDME.,证明 在ABC中， ABAC，DBMECM， M

10、是BC的中点，BMCM，,BDMCEM(SAS)，MDME.,对点训练,题型分类对点训练,8.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为 24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处， 则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离是多少cm?,对点训练,题型分类对点训练,解 如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A， 连接AB，则AB即为最短距离， 在RtABD中，,即蚂蚁从外壁A处到达内壁B处 的最短距离是20cm.,对点训练,题型分类对点训练,9. 如图，ABC中，ABAC，A36，称满 足此条件的三角形为黄金等腰三角形请完成以

11、下操作： (画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数 均不包括ABC) (1)在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直 接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是_ 度和_度；,对点训练,题型分类对点训练,(2)在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形； (3)继续按以上操作发现：在ABC中画n条线段，则图中 有_个等腰三角形，其中有_个黄金等 腰三角形,对点训练,题型分类对点训练,解 (1)如答图1所示：ABAC，A36， 当AEBE时，AABE36， AEB108，EBC36， 这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度,对点训练,题型分类对点训练,(2)如答图2所示

12、(3)如答图3所示：画1条直线可得到2个等腰三角形； 画2条直线可得到4个等腰三角形； 画3条直线可得到6个等腰三角形； 故在ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中 有n个黄金等腰三角形,对点训练,题型分类对点训练,10.如图，ABC中，BAC90，ABAC，AD BC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E.在ABC外有一 点F，使FAAE，FCBC. (1)求证：BECF； (2)在AB上取一点M，使BM2DE，连接MC，交AD于点N，连 接ME. 求证：MEBC； DEDN.,对点训练,题型分类对点训练,证明 (1)BAC90，ABAC， BACB45， FCBC，BCF90， ACF904545，BACF， BAC90，FAAE， BAECAE90，CAFCAE90， BAECAF，,ABEACF(ASA)，BECF.,对点训练,题型分类对点训练,(2)如图，过点E作EHAB于H， 则BEH是等腰直角三形，,HEBH，BEH45， AE平分BAD，ADBC，