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文档简介
1、31柯西不等式(一)【学习目标】1、认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义。2、通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题。【重点难点】柯西不等式的简单应用一、自主学习要点1:二维形式的柯西不等式 (1)定义:若a,b,c,d都是实数,则(a2b2)(c2d2) ,当且仅当adbc时,等号成立要点2:(2)二维形式的柯西不等式的一些变式变式1: |acbd|(当且仅当adbc时,等号成立)变式2:(ab)(cd)()2.(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立)变式3: |ac|bd|(当且仅当|ad|bc|时,等号成立)要点3柯西不等式的向量形式 设,是两个向量,则|,当且仅当是零
2、向量,或存在实数k,使k时,等号成立 要点4(1)二维形式的三角不等式设x1,y1,x2,y2R,那么 .(2)设平面上三点坐标为A(a1,a2)、B(b1,b2)、C(c1,c2),则,其几何意义为:|AB|BC|AC|.(3)设,为平面向量,则|,等号成立的充要条件为()(0)二、合作,探究,展示,点评题型一利用柯西不等式证明不等式【例1】 已知3x22y26,求证:2xy.【变式1】 已知x,y,a,bR,且1,求证xy()2.【变式2】设:a,b,a+b=1,求证【例2】 已知a1,a2,b1,b2为正实数,求证:(a1b1a2b2)(a1a2)2.【变式2】 利用柯西不等式证明:2.
3、题型二利用柯西不等式求函数的最值【例3】 求函数y5的最大值三、知识小结柯西不等式一课时作业 一、选择题1若a,bR,且a2b210,则ab的取值范围是()A2,2 B2,2C, D,2已知4x25y21,则2xy的最大值是()A. B1 C3 D93已知x,yR,且xy1,则的最小值为()A4 B2 C1 D.4设a、bR,且ab,P,Qab,则()APQ BPQCPQ DPQ二、填空题5函数y2的最大值是_6设a,b,c,d,m,n都是正实数,P,Q ,则P与Q的大小_7函数y2cos x3的最大值为_8函数y2的最大值为_三、解答题9若2x3y1,求4x29y2的最小值,并求出最小值点10设
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