07 化工过程最优化.ppt

1、第七章 化工过程最优化,7.1 化工过程最优化实例,例 7.1 假设某厂有原料M1=60kg， M2=100kg， M3=60kg，可生产P1、P2两种产品。生产1kg P1需M1 2kg、 M2 2kg，生产1kg P2需M1 1kg、 M2 5kg、 M3 4kg。销售1kg P1的收入为6元，销售1kg P2的收入为7元。问如何安排生产计划，可使收入最大。,设P1的产量为x1kg， P2的产量为x2kg，则问题为：,目标函数,约束条件,线性规划,例7.2 已知管路摩擦系数与雷洛数Re之间函数形式为下式所示，且根据实验获得如表所示数据，要求获得下式中的公式参数a、b和c。,无约束 非线性规

2、划,例7.3 下图为苯（50%）和甲苯（50%）混合物单级绝热闪蒸分离示意图，进料温度为110C ，压力为182.4kPa，试调整闪蒸压力和分流系数s，使气相产物中苯产量最大。,流程优化,例 7.4 某间歇式反应器中进行反应 A B C，设xA、xB分别为A、B的浓度，反应速率方程如下，问如何确定温度函数使得t=1时B产率最高。,动态优化,7.2 最优化的基本概念,除动态优化问题外，其余问题可统一写为：,-目标函数objective function,-约束条件restriction 常见的有：不等式约束条件 等式约束条件,若f (X)、hi(X) 、gj(X)均为线性-线性规划 若f (X)

3、、hi(X) 、gj(X)中含有非线性函数-非线性规划 其中，若f (X)为二次函数， hi(X) 、gj(X)为线性函数-二次规划,-可行域valid region 满足约束条件的点的全体集合,-闭域与开域 若可行域包括边界上的所有点，则称此可行域为闭域，否则，称为开域。,极值 函数的极值只是局部的最优值，但却是全局最优值的侯选者。,极值条件 对一元连续函数,存在极值点的必要条件是：,充分条件是：,若H为正定（即各阶主子行列式的值均大于零）时，X*为极小点； 若H为负定时（所有偶数行列式为正，所有奇数行列式为负），X*为极大点； 否则， X*为鞍点。,对多元连续函数,存在极值点的必要条件是,

4、充分条件是：,7.2 无约束优化方法,基本思想： 通过反复迭代，不断缩小搜索区间，最终求取函数近似 极值点。 下面以具有一个极值点的问题为例说明：,一、一维无约束优化问题,一个好的搜索法应满足： 区间缩短率大； 选点方式简便； 对函数形式无特殊要求； 对初始点的选择要求不高。,在原始搜索区间（a0,b0）内任选两点x1、x2， 计算f(x1)、 f(x2)，并比较两者的大小； 在新区间内重复进行以上两步，直到区间小于预定的精度要求为止。,黄金分割法 一种常用的一维搜索法，其基本思想： 从原始搜索区间（a0,b0）的每一端距离0.382处选两点x1、x2， 除开始需选两点外，以后每次选一个即可。

5、,0.618具有如下性质：,区间缩短率,例 7.5 黄金分割法求 f (x) = x2 - x + 2的极小点，初始区间为 -1, 3，要求迭代三步。,a = -1，L = a + 0.382(b-a); b = 3， R = a + 0.618(b-a);,L,R,新区间 a, R,L,R,新区间 L, b,L,R,新区间 a, R,黄金分割法流程图,作业 7.1 编制黄金分割法程序求解例7.5。,作业 7.2 编制黄金分割法通用程序。,极值所在区间确定的进退法,最小值所在区间：,最小值所在区间：,二、多维无约束优化问题,I 最速下降法,显然沿着负（正）梯度方向，函数值下降（或上升）最大，即

6、负（正）梯度方向函数值下降（上升）最快，故取负（正）梯度方向为搜索方向。,改进：,为何改进？,步长如何确定？,最优步长的确定,最速下降法步骤：,例 7.6 最速下降法优化:,梯度函数向量：,步长优化问题：,第k步迭代时：,例 7.2 的最速下降法求解,初始点：,最速下降法 for k = 1:1000 sse, grad = ex3_3(x0); if sse 1e-5 x = x0; break; end t = gold(x0); x = x0 - t*grad; x0 = x; end x,函数值及梯度计算 function sse, grad = ex3_3(x) Re = 4658

7、5820 6525 7400 9045; 10350 11050 11820 12850 13840; nap = 0.0399 0.0386 0.0368 0.0362 0.0349; 0.0339 0.0341 0.0323 0.0324 0.0321; a = x(1); b = x(2); c = x(3); e = a*Re.b + c - nap; sse = sumsqr(e); da = sum(e.*Re.b); db = sum(a*b*e.*Re.(b-1); dc = sum(e); grad = da; db; dc;,黄金分割法一维寻优 function t = g

8、old(x0) a = -2; b = 2; tao = 0.618; lft = b - tao*(b-a); rit = a + tao*(b-a); sse, grad = ex3_3(x0); fl = ex3_3(x0 - lft*grad); fr = ex3_3(x0 - rit*grad); for k = 1:20 if flfr a = lft; lft = rit; fl = fr; rit = a + tao*(b-a); fr = ex3_3(x0 - rit*grad); elseif flfr b = rit; rit = lft; fr = fl; lft =

9、b - tao*(b-a); fl = ex3_3(x0 - lft*grad); else a = lft; b = rit; lft = b - tao*(b-a); rit = a + tao*(b-a); sse, grad = （ex3_3, x0); fl = ex3_3(x0 - lft*grad); fr = ex3_3(x0 - rit*grad); end if (b-a)1e-3 t = (a+b)/2; break; end end t = (a+b)/2;,耗时2s，迭代869次，最终 sse = 9.9815e-006。,梯度下降法 寻优速度较慢,1、化工中有些问题

10、不能或很难写出变量之间关系的明确表达式，此时可以用差分来逼近偏导数向量的各分量；,2、锯齿现象。,梯度下降法注记,II 牛顿及阻尼牛顿法,将待优化函数在某点附近做二阶Taylor展开：,则Q (x)的最优点求解为：,牛顿法搜索方向,牛顿法迭代公式：,阻尼牛顿法迭代公式：,阻尼牛顿法步骤：,作业 7.3 分别用最速下降法和阻尼牛顿法求解：,III LM法,参数回归问题可以统一写为下式：,x：待确定公式参数向量； e (x) :误差向量函数，其维数等于实验点数。,对于例7.2，有：,针对上式的特点，有下列寻优迭代公式：,设：,阻尼因子值需自适应调节，通常搜索初期较大，后期则较小。,阻尼因子mu调节

11、程序 mu_init = 1e-3; mu_inc = 10; mu_dec = 0.1; mu_max = 1e5; while (mu = mu_max) dx = -(jj+ii*mu) je; 计算新的函数值new_f if (new_f f), break, end mu = mu * mu_inc; end,作业 7.3 分别用阻尼牛顿法和LM法求例7.2。,7.2 有约束优化方法,一、线性规划问题,-目标函数objective function1,-约束条件restriction 常见的有：不等式约束条件 等式约束条件,若f(X)、hi(X) 、gj(X)均为线性-线性规划 若f

12、(X)、hi(X) 、gj(X)中含有非线性函数-非线性规划 其中，若f(X)为二次函数， hi(X) 、gj(X)为线性函数-二次规划,有约束条件问题模型的一般表达式：,线性规划可表述为：,注： 初始约束条件为等式的-标准型初始模型； 初始约束条件有等式的和“”的-规范型初始模型； 初始约束条件中有“”的-一般型初始模型；,-表示所有变量为非负值,-表示约束方程组为线性,可行解-满足所有约束条件的解。 基本解-对如下问题，令n-m个变量等于0（n，总自变量数；m，约束方程数），联立解式2所得到的解。,基本可行解-同时满足式3的基本解。,例1：,x2,I 主要术语,最优解-基本可行解中使目标函

13、数达到最优的那个解，称为。 基本变量-又称基础变量，指基本可行解中的变量（必大于零），m个； 非基本变量-又称非基础变量，指除基本变量以外的其它变量，n-m个。 凸-如果在一个形体中任取两点联结成一根直线，线段上所有的点都在这个形体内部，就称这种形体为凸形的。反之，则称为非凸的。 凸集合-设在可行域内的任意两点x1、x2之间联线，若线段仍在可行域内，则称这种域为。,凸函数-对于两点x1、x2之间联线上的任意点x，若0 1，则有,则称f(x)为凸函数。 若等号去掉，则称其为严格凸函数。 若第2式中不等号反向，则称f(x)为凹函数。,对凸集合，凸函数f(x)的局部最小值点就是全局最小值点。 对凸集

14、合，严格凸函数f(x)有唯一的最小值点 因此，若已知所处理的问题的可行域和目标函数都是凸性的，则求得的极小值点必定是最小值。,1.可行解的集合可表示为一个凸集合，基本可行解就是这个凸集合的顶点（又称极点）； 2. 极值点一定位于边界的交点上，而不会在区间内部。理由：,II 线性规划的解的重要性质,例1：,x2,x1,可行解的集合,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,0,2,4,6,8,10,12,例2：,最优解：,III 单纯形法,基本思路：先求得基本可行解，然后在其中找到最优。 从几何上，就是在凸集合的顶点之间进行变 换，找到最优。 单纯形法并不需要检测每一个顶点

15、才能找到 最优解， 可以证明，一般计算次数在m2m 之间。m-约束方程个数。,单纯形法步骤： 1.将问题标准化 将约束方程组以等式形式表示，方法是加入松弛变量slack variable（0时）， 或减去剩余变量surplus variable （0时） 。每个方程加入一个。 为使引入的松弛变量不影响目标函数，松弛变量在目标函数中的系数应均为0。,A一定行满秩,标准问题求解的表格法,由于A行满秩：,xB 基变量 xN 非基变量,通过上述变换，xB即为基本可行解，xN=0，目标函数值为,2）哪个非基变量入基？,可使函数值下降最大的非基变量即最小的rj对应的非基变量。,1）何时能获得标准问题的最优

16、解？,对任一可行解，有：,只有当所有检验数都非负时，才可认为当前解最小。,3）哪个基变量出基？,0,min f = c x s. t. Ax = b x 0,初始解基本可行解,对任一可行解，有：,B：基变量集 N：非基变量集,x1 x2 x3 x4 x5 b,x1从0增加则函数值下降,r,为保持解可行性，有：,因此x1最大可取2，此时x4=0,x1入基，x4出基，利用初等行变换，得：,f = -2,解的可行性要求：,因此x2最大可取2，此时x5为0,此时检验数皆正，已最优,最优解：,最小f = -3,例4：假设某厂有原料M1=60kg， M2=100kg， M3=60kg，可生产P1、P2两种

17、产品。生产1kg P1需M12kg、 M22kg，生产1kg P2需M11kg、 M25kg、 M34kg。销售1kg P1的收入为6元，销售1kg P2的收入为7元。问如何安排生产计划，可使收入最大。,解：设P1的产量为x1kg， P2的产量为x2kg,建模：,1.将问题标准化 引入3个松弛变量，将上式变为标准形式：,指定为x1， x2非基本变量,基本解：,相当于不安排生产时的情况（收入为零）,2. 选一组基本变量（m个），构成初始的基本可行解。 一般选松弛变量或剩余变量作为基本变量最为简便。,求最大值时，若所有的j0，则为最优，否则，有一个j 0，就不是最优解。,由于1 、2 0，故上述基

18、本可行解不是最优解。,3. 对上述基本可行解进行检验，看是否为最优解。 检验指标为：,4. 如果不是最优解，就进行换基运算， 当求最大值时，具有正的最大j的变量进入基本变量； 显然，此题中， 2 最大，故x2 为入基变量。,5. 确定离基变量：使入基变量变化最小的基本变量为离基变量。,若i为负时，可不必考虑此项。,i 基本变量，j 非基本变量,于是基本变量变为x2、 x3、x4，非基本变量为x1、 x5。,6. 重复步骤25，直至使所有的j0为止。,指定为x1， x5非基本变量,基本解：,最优解：,即表示生产 P1 25kg， P2 10kg，用完M1、 M2，剩余M320kg时，可得最大收入

19、220元。,一般总是采用松弛变量和剩余变量构成初始可行解，但有时没有松弛变量或其个数不够，此时，需引入人工变量（Artificial Variable）以补充。 当达到最优解时，所有的人工变量应为零，否则就不满足原约束条件。 例如下列已标准化的线性规划为：,VI 有关初始基本可行解的一些问题,为迫使所有的人工变量在最后的解答中为0，这些人工变量在目标函数中应具有一个 - M系数（求最大值时），或+ M系数（求最小值时）。,违背了变量非负的限制，故引入人工变量x7 、x8，于是,作业16： 用单纯形法解下列线性规划问题，要求写出第一轮过程的步骤。,作业17： 用单纯形法解下列线性规划问题，要求写出第一轮过程的步骤。,用KNO3、 Ca3(PO4)2、 (NH4)2SO4可配制A、B、C三种牌号的化肥，其中 A含KNO357、Ca3(PO4)243%； B含KNO357、Ca3(PO4)229%、 (NH4)2SO414% ； C含KNO329、Ca3(PO4)229%、 (NH4)2SO442% 3种化肥的售价分别为350、300、250元/吨。现有KNO37