第二章 符号运算.ppt

1、13:59,1,第二章 符号计算,13:59,2,符号计算功能,matlab自产生起就在数值计算上功能卓著,深受各专业计算人员的欢迎.但由于在数学,物理等各种科研和工程应用中经常会遇到符号运算的问题. 为此, 公司于1993年购买了 Maple 软件的使用权,并在此基础上,开发了符号计算工具箱 (Symbolic Toolbox),MATLAB中实现符号计算功能的三种途径,1) 调用matlab自己开发的各种功能函数进行常用的符号运算.包括符号表达式与符号矩阵的基本操作,符号矩阵的运算, 符号微积分, 符号线性方程求解, 符号微分方程求解等.,2) 为了特殊专业人员提供方便, matlab还保

2、留mpa.m 和maple.m两个函数与Maple接口,3) 符号函数计算器功能,13:59,3,符号运算与数值运算的区别：,符号运算中，解算数学表达式、方程时，不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式和数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果。这种计算建立在数值完全准确表达和推演严格解析的基础上，所得结果是完全准确的。,符号运算-代数运算，公式推导,数值运算-算术运算,代值,13:59,4,2.1 符号对象和符号表达式,在matlab中,数值和数值变量用于数值的存储和各种数值计算.而符号常量,符号变量,符号函数,符号操作等则是用来形成符号表达式,严格按照代数,微积分等课程中的规则,公式

3、进行运算,并尽可能给出解析表达式.,2.1.1 符号对象的生成和使用, 数值计算-变量先赋值,再使用., 符号计算-先定义基本的符号对象(可以是常量,变 量,表达式),然后用这些基本符号对象去构成新的表达式,再进行所需的符号运算,13:59,5,符号对象的创建和衍生,1. 生成符号对象的基本规则, 任何基本符号对象（数字、参数、变量、表达式）都必须借助专门的符号函数指令sym或syms定义。 任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号对象的属性。即任何包含符号对象的表达式、方程也一定是符号对象。,13:59,6,符号对象的定义：,f=sym(arg)-把数字,字符串或表达式arg转为符号对象,

4、f=sym(argn,flagn)-把数值或数值表达式转换为flagn格式的符号对象,f=sym(1/2), s=sym(1/3), y=sym(pi), a=sym(b*c ),f=1/2, s=1/3, y=pi, a=b*c,f=sym(1/2,d), s=sym(1/3, d), y=sym(pi, d) f=sym(1/2, r)= sym(1/2),f = .50000000000000000000000000000000 s = .33333333333333331482961625624739,13:59,7,syms(argv1, argv2, argvk)-把字符argv1

5、, argv2, argvk定义为基本符号对象,syms argv1 argv2 argvk-上述格式的简洁形式,各符号对象间不得有逗号,argv=sym(argv,flagv)-按flagv指定的要求把字符串argv定义为符号对象argv,f=sym(pi), s=sym(2*pi+sin(60*pi*180)+exp(2),f=pi, s=2*pi+sin(60*pi*180)+exp(2),syms(a,b,c),a=a, b=b, c=c,syms a b c,a=a, b=b, c=c,13:59,8,说明： f=sym(argn, flagn)中的argn是数值或数值表达式时,fl

6、agn可 选: d-最接近的十进制浮点精确表示. r-最接近的有理表示,缺省选项.有理是指用两 个正整数p,q 构成的p/q, p*pi/q, sqrt(p), 2q, 10q的形式之一 argv=sym(argv,flagv)中的argv是字符时,flagv可取限定选项 positive-限定argv是“正，实”符号变量 real-限定argv是“实”符号变量 unreal- argv是非实符号变量,13:59,9,2 符号数字的定义,格式：sc=sym(num) % sc为值为num的符号数字 注意： i) 单引号必须在英文状态下输入，构成字符串 ii) num为一个具体的数字,如： sc

7、=sym(1.5) sb=sym(pi+sqrt(5),13:59,10,3 符号参数,定义格式：,i) syms para para=sym(para) syms a; a=sym(a),ii) syms para flag para=sym(para, flag) syms a positive; a=sym(a, positive),iii) syms a b c syms a b c flag,flag为参数属性： positive-参数取正实数 real-参数为实数 unreal-参数为限定的复数,4 符号变量,表达式中的自变量,无逗号,13:59,11,例2.1.1-1 符号对象的

8、生成,a1= 1/3, pi/7, sqrt(5), sqrt(9), 5.1, pi+sqrt(5) a2=sym(1/3, pi/7, sqrt(5), sqrt(9), 5.1, pi+sqrt(5) a3=sym(1/3, pi/7, sqrt(5), sqrt(9), 5.1, pi+sqrt(5) ,a1 =0.3333 0.4488 2.2361 3.0000 5.1000 5.3777 a2 =1/3, pi/7, sqrt(5), 3, 51/10, q*2(- 50) a3 =1/3, pi/7, sqrt(5), sqrt(9), 5.1, pi+sqrt(5),q=60

9、54707603575008,a23=a2-a3,a23= 0, 0, 0, 0, 0, 189209612611719/35184372088832-pi-5(1/2),13:59,12,例5.1.1-2 把字符表达式转换为符号变量,y=sym(2*sin(x)*cos(x) y=simple(y),y=sin(2*x),说明：,1)是数值常数， 是最接近的有理表示， 是绝对准确的符号数值表示,2) 部分元素相同，是因为 中的那几个元素是有理表示的基本形式，所以也是绝对准确的,3) 指令产生的符号数值总是绝对准确的，因此建议：在产生符号常量时应优先使用这种输入方式，把数值放入单引号对中，数组

10、元素间一定要采用逗号分隔,在符号运算中,如果事先没有对表达式中的独立变量进行定义,那么系统将自动检查哪些字符是符号函数,哪些是符号变量,并且总是把在英文字母表中离x最近的字母认做独立符号变量,13:59,13,例2.1.1-3 用符号计算验证三角等式,syms phi1 phi2; y=simple(sin(phi1)*cos(phi2)-cos(phi1)*sin(phi2);,y= sin(phi1-phi2),例2.1.1-4 求矩阵,的行列式,逆和特征值,syms a11 a12 a21 a22; A=a11,a12;a21,a22; DA=det(A), IA=inv(A), EA=

11、eig(A),A = a11, a12 a21, a22,DA = a11*a22-a12*a21,13:59,14,例2.1.1-4 验证积分,syms A t tao w; yf=int(A*exp(-i*w*t), t, -tao/2, tao/2); yf=simple(yf),yf = 2*A*sin(1/2*tao*w)/w,13:59,15,2.1.2 符号计算中的算符和基本函数,由于新版matlab采用了重载技术, 使得用来构成符号计算表达式的算符和基本函数,无论在形状, 名称,还是使用方法上,都与数值计算中的算符和基本函数几乎完全相同,这给编程带来了极大的方便.,(2) 关系

12、运算符 在符号对象的比较中,没有大于,大于等于,小于,小于等于的概念,而只有是否等于的概念. ”=“ “=“分别用来对算符两边的对象进行相等和不等的比较,返回为逻辑量,(1) 基本运算符 算符 ”+”, ”-”, ”*”, ”, “/”,“” 分别构成矩阵的加, 减, 乘,左除,右除,求幂运算. 算符 ”.*”, “./”, “.”, “.” 分别实现元素对元素的数组乘,除,求幂运算.算符” ”, “ . ” 分别实现矩阵的共轭转置,非共轭转置,13:59,16,(4) 指数,对数函数 函数sqrt, exp, expm在两者中用法相同符号计算中只有自然对数，而没有数值计算中的log2, lo

13、g10,(5) 复数函数 conj, imag, real, abs在两者中用法相同.但在符号计算中没有求相角的指令.,(6) 矩阵代数指令 在符号计算中, matlab提供的常用矩阵代数指令有：diag, triu, tril, inv, det, rank, rref, null, colspace, expm, poly, eig, svd,(3) 三角函数,双曲线函数以及他们的反函数,除atan2只能用于数值计算外,另外的在两种运算中使用方法相同.,13:59,17,数值计算对象,符号计算对象,字符串是MATALB中最常用的数据对象.他们遵循各自不同的运算法则,但有时在外形上却十分相似

14、.MATLAB提供了一些识别不同数据对象的指令,常用的有class, isa, whos,例2.1.3-1 数据对象及其识别指令的使用,(1) 生成三种不同类型的矩阵，给出不同的显示形式,clear, a=1;b=2;c=3;d=4 % 产生四个数值变量,Mn=a,b,c,d % 利用已赋值变量构成数值矩阵,Mc=a,b,c,d % 字符串中的a,b,c,d与前面输入的数值变量无关,Ms=sym(Mc) % 符号变量，与前面的各变量无关,Mn = 1 2 3 4,Mc = a,b;c,d,Ms = a, b c, d,2.1.3 对象类别的识别,13:59,18,(2) 三个矩阵的大小不同,S

15、izeMn=size(Mn), SizeMc=size(Mc), SizeMs=size(Ms),SizeMn = 2 2,SizeMc = 1 9,SizeMs = 2 2,(3) 用class获得每种矩阵的类别,CMn=class(Mn), CMc=class(Mc), CMs=class(Ms),CMn = double,CMc = char,CMs = sym,(4) 用isa判断每种矩阵的类别,isa(Mn,double), isa(Mc,char), isa(Ms,sym),ans = 1,ans = 1,ans = 1,13:59,19,(5) 利用whos观察内存变量的类别和其

16、他属性,Name Size Bytes Class Mc 1x9 18 char array Mn 2x2 32 double array Ms 2x2 312 sym object,a=0:1:6; theta=sym(30*pi/180*a) alfa=sym(30*pi/180)*a,theta = 30*pi/180*a,alfa = 0, 1/6*pi, 1/3*pi, 1/2*pi, 2/3*pi, 5/6*pi, pi,a与数组a无关,13:59,20,2.1.4 符号表达式中自由变量的确定,findsym(expr)-确认表达式expr中所有自由符号变量 findsym(exp

17、r,n)-从expr中确认出靠x最近的n个独立自变量,例2.1.4-1 对独立自由符号变量的自动辨认,(1) 生成符号变量,syms a b x X Y; k=sym(3); z=sym( c*sqrt(delta)+y*sin(theta) ); expr=a*z*X+(b*x2+k)*Y;,(2) 找出expr中的全部自由符号变量,findsym(expr),ans = X, Y, a, b, c, delta, theta, x, y,13:59,21,(3) 从expr中确定1,2,3个自由变量,findsym(expr,1), findsym(expr,2), findsym(exp

18、r,3),ans = x,ans = x, y,ans = x, y, theta,findsym 确认的是表达式中的”自由” ,”独立”的符号变量,由于k不是自由的, z不是独立的,所以该指令不将其作为自由变量。,该指令把expr表达式中n个最靠近x的自由符号变量确认为“独立自由变量”, 并且认为大写字母离x的距离总大于所有小写字母离x的距离,作用:在符号函数调用中,当没有明确制定所针对的变量时,系统自动确定所操作的自由变量,13:59,22,2.2 符号对象的操作与转换,2.2.1 符号表达式的操作,例2.2.1-1 简化,sym x; f=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3);

19、 g1=simple(f) g2=sinple(g1),g1 = (2*x+1)/x,g2 = 2+1/x,验证: f2=g23; expand(f2),13:59,23,例2.2.1-2 因式分解 9876542,fx=sym(9876542); factor(fx),ans = (2)*(13)*(19)*(19993),例2.2.1-3 因式分解x12-1,syms x; f=x12-1; factor(f),例2.2.1-4 pretty, horner的使用,syms x; f=exp(-x); f1=taylor(f); pretty(f1) fh=horner(f1),ans =

20、 (x-1)*(x2+x+1)*(x+1)*(1-x+x2)*(x2+1)*(x4-x2+1),13:59,24,2 3 4 5 1 - x + 1/2 x - 1/6 x + 1/24 x - 1/120 x fh = 1 + (-1 + (1/2 + (-1/6 + (1/24 - 1/120*x)*x)*x)*x)*x,expand的使用,syms x y; f=sin(x+y) u=expand(f),f = sin(x+y),u = sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y),13:59,25,2.2.2 置换操作,作用:把复杂表达式中所含的多个相同子表达式用一个符号代替

21、,使表达简洁,RS, ssub=subexpr(S, ssub)-运用符号变量ssub置换子表达式,重写S为RS,例2.2.2-1 表达式置换,syms a b c d W; V,D=eig(a,b;c,d); RVD,W=subexpr(V;D,W),说明: 被置换的子表达式是机器自动寻找的,置换原则为,只有比较长的子表达式才被置换,比较短的子表达式,即使出现多次, 也不被置换.,1) 子表达式置换操作,指令格式：,13:59,26,2) 通用置换指令,RES=subs(ES, old, new)-用new置换ES中的old后产生RES,RES=subs(ES,new)-用new置换ES中的

22、自由变量后产生RES,例2.2.2-2 subs置换规则示例,(1) 产生符号函数,syms a x; f=a*sin(x)+5;,(2) 符号变量置换,f1=subs(f, sin(x), sym(y),(3) 符号常数置换,f2=subs(f,a,x,2,sym(pi/3),f1 = a*y+5,a=2,x=pi/3,符号数字,f2 = 3(1/2)+5,double(f2),代值,13:59,27,(4) 双精度数值转换(所有自由变量被双精度数值取代)自定义函数的赋值,f3=subs(f,a,x,2,pi/3),f3 = 6.7321,(5) 数值数组置换一 (取a=2,x=0:pi/6

23、:pi),f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi),f4 = 5.00 6.00 6.73 7.00 6.73 6.00 5.00,(6) 数值数组置换二 (取a=0:6, x=0:pi/6:pi ),f5=subs(f, a,x,0:6, 0:pi/6:pi),f5 = 5.00 5.50 6.73 8.00 8.46 7.50 5.00,13:59,28,f6=subs( f, a,x, 0:6, 0:pi/6:pi ),f6 = 5.00 5.50 6.73 8.00 8.46 7.50 5.00,比较：,f7=subs( f,a,x, 2,pi/6 ),f8=s

24、ubs( f,a,x, 2, sym(pi/6) ),6.73205080756888,3(1/2)+5, subs指令的属性取决于new的属性,当new中全部为数值数字时,所得结果为双精度数据,当new中有符号数字时,所得结果也为字符数字。 new可以是数组,【说明】,13:59,29,求n0.5 (n=1,2,.10)之值,syms x; f=sqrt(x); res=subs(f, x, 1:1:10),?思考：如何求f=a*n0.5+b (其中(a=2,3,411, n=1,2,3,10, b=0.1,0.2,0.3,1) 的值,13:59,30,例2.2.2-2 猴子吃桃问题：猴子第

25、一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不瘾，又多吃了一个，第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。到第10天早上想再吃时，见只剩下一个桃子了。求第一天共摘了多少。,syms r; f=2*(r+1); u=f; for k=1:1:8 u=subs(f,r,u); end total=subs(u, r, 1),u = 512*r+1022,total=1534,13:59,31,2.2.3 符号数值精度控制和任意精度的计算,数值计算受计算机字长的限制,每次数值操作都带有截断误差,因此任何数值计算不管采用什么算法都将产生积累误差.在matlab中

26、,每个算术操作结果的相对精度约为16位数字.但是符号计算的结果是绝对准确的,不包含任何计算误差.符号计算中与数值精度计算有关的指令有：,double(x)-把符号常数转化为16位相对精度的浮点数值对象 digits(n)-设置以后的数值计算以n位相对精度进行 xs=vpa(x)-在digits指定精度下，给出x的数值型符号结果xs xs=vpa(x,n)-在n位相对精度下，给出x的数值型符号结果xs,13:59,32,说明： double指令运作所得结果一定是双精度数值对象 除了vpa(x,n)对特定符号对象指定具体精度外,所有vpa(x) 的精度都受 到其前面的digits指令控制,digi

27、ts指令缺省精 度为32位 x可以是符号对象或数值对象,但运行后所得结果xs一定是符 号对象,13:59,33,2.2.4 符号对象与其他数据对象间的转换,数值,符号,字符是matlab中三种不同的数据类型,matlab为每种数据类型提供了各自特定的生成指令和操作指令.为实现不同数据类型间的交互, matlab 提供了一系列的转换指令,数值型 符号结果,符号常数,数值,符号量(表达式),字符串(表达式),ASCII码,vpa,double,vpa,sym,double,str2num,str2double, sscanf,int2str, num2str, mat2str,char,sym,c

28、har,abs double,13:59,34,数值数字和符号数字之间的相互转换,1) 数值数字符号数字,sk=sym(num, flag),flag: r-数值类数字的广义有理表达 d-十进制浮点近似表达 e-带误差的理性近似表达 f-十六进制浮点近似表达,PI=sym(pi, r);,PI = pi,注意：在符号运算中，数值类数字会自动转换为符号数字,syms t; y=1/3*sin(t)+2/4,y = 1/3*sin(t)+1/2,sk=sym(num),sk=sym(num),13:59,35,PI=sym(pi, d);,PI = 3.1415926535897931159979

29、634685442,2) 符号数字数值数字,double(num_sym),PI=sym(pi); double(PI),ans = 3.1416,13:59,36,2.2.5 符号表达式的复合函数和反函数,1) 复合函数运算, compose(f, g)-返回复合函数f(g(y), 这里f=f(x), g=g(y), compose(f,g,z)-返回自变量为z的复合函数f(g(z), 这里,2) 反函数, g=finverse(f)-返回符号函数f的反函数g,满足g(f(x)=x, g=finverse(f,v)-返回自变量为v的符号函数f的反函数使得,f=f(x), g=g(y),g(f

30、(v)=v,当f包含不止一个符号变量时,使用这种格式.,13:59,37,例2.2.5-1 复合函数和反函数示例,syms x y; f=1/x3; g=tan(y); fg=compose(f,g) fin=finverse(fg),fg = 1/tan(y)3 fin = atan(1/y(1/3),13:59,38,2.3 符号微积分,1) 符号极限,limit(F,x,a)-计算F在xa时的极限 limit(F,x,a, left/right)-计算左/右极限,例5.3-1 极限示例,syms x; f=3/(x2+6); val1=limit(f,x,inf) val2=limit(

31、f,x,0),val1 = 0 val2 = 1/2,13:59,39,例 已知f(x)=sin(|x|), 求fx(0), fx(x),f(x)=sin(|x|)曲线图,13:59,40,syms x; syms dx positive; x0=sym(0); f_p=sin(x); df_p=limit(subs(f_p, x, x+dx)-f_p)/dx, dx,0) df_p0=limit(sin(x0+dx)-sin(x0)/dx, dx, 0),数学分析： f(x)=sin(|x|),13:59,41,绘图,要绘制原函数在x0时的导函数曲线，应先将导函数离散化，采用通用置换指令进行

32、离散化,deltx=pi/200; xx=-pi:deltx:0; y=subs(df_p, x, xx); plot(xx, y);,13:59,42,2) 符号序列求和,对于数学上的求和,可用matlab的求和指令解决.其指令为:,s=symsum(f,v,a,b)-求通式f字指定变量v取遍a,b中所有整数时的和.,说明:, f是矩阵时,对矩阵的元素逐个求和,但自变量定义在整个矩阵上, v缺省时 f中的自变量由findsym自动辨认;b可以取有限整数, 也可以取无穷大inf, a,b可同时缺省, 此时默认求和的自变量区间为0,v-1,13:59,43,例2.3-2 求,syms n; f=

33、n2, 1/n2; s1=symsum(f(1),1,100) s2=symsum(f(2),1,inf),s1 = 338350 s2 = 1/6*pi2,13:59,44,例2.3-3 求,syms k t; f1=t, k3; f2=1/(2*k-1)2, (-1)k/k; s1=simple(symsum(f1); s2=simple(symsum(f2,1,inf),3) 符号微分和Jacobian矩阵,求导数，高阶导数，偏导数和多元向量函数的Jacobian矩阵是数学分析的重要内容，有机器实现求导的指令有：,dfdvn=diff(f,v,n)-求,fjac=jacobian(f,v

34、)-求多元向量函数的Jacobian矩阵,13:59,45, f是矩阵时,求导对矩阵的元素逐个进行,但自变量定义在整个 矩阵上., v缺省时,自变量会自动由findsym确认,n缺省时,默认n=1, 在数值计算中，指令diff是用来求差分的, 如,f的Jacobian矩阵为,说明：,13:59,46,例2.3-4 求,syms a t x; f=a, t3; t*cos(x),log(x); df=diff(f), dfdt2=diff(f,t,2), dfdxdt=diff(diff(f,x),t),13:59,47,4) 符号积分,与数值积分相比,符号积分指令简单,适应性强,但可能占用机器

35、时间很长.,intf=int(f,v)-f对v的不定积分,intf=int(f,v,a,b)- f对v的定积分,说明： 当f是矩阵时，积分对矩阵的元素逐个进行 v缺省时，积分对findsym确认的变量进行 a,b分别是积分的上下限,例2.3-5 求,syms a b x; f=a*x, b*x2; 1/x, sin(x); int(f),13:59,48,例2.3-6 求积分,syms x y z; f=x2+y2+z2; s=int(int(int(f, z, sqrt(x*y), x2*y), y, sqrt(x), x2), x, 1, 2),第一重积分,第二重积分,13:59,49,数

36、学分析：,syms a r theta phi positive; x=a*theta*cos(theta); y=a*theta*sin(theta); dx=diff(x,theta); dy=diff(y,theta); f=sqrt(dx2+dy2); L=int(f, theta, 0, phi); L=simple(L),1) 求曲线长度函数,L = 1/2*a*(phi*(phi2+1)(1/2)+log(phi+(phi2+1)(1/2),13:59,50,2) 求a=1, phi=2pi 的曲线长度,Ln=subs(L, a, phi,sym(1,2*pi) double(L

37、n),ans= 21.25629414820910,3) a=1时曲线的绘制,L1=subs(L, a, sym(1); ezplot(L1*cos(phi), L1*sin(phi),0,2*pi); grid on; hold on; x1=subs(x, a,sym(1); y1=subs(y, a,sym(1); h1=ezplot(x1, y1, 0,2*pi);,13:59,51,13:59,52,ft=ilaplace(Fs, s, t)-求频域函数Fs的Laplace反变换ft,FZ=ztrans(fn, n, z)-求时域系列fn的Z变换FZ,fn=iztrans(FZ, z

38、, n)-求频域系列FZ的Z变换fn,5) 符号积分变换,傅立叶变换,拉普拉斯变换,Z变换在信号处理和系统动态特性研究中起着重要作用,Fw=fourier(ft, t, w)-求时域函数ft的傅立叶变换Fw,ft=ifourier(Fw, w, t)-求频域函数Fw的傅立叶反变换ft,Fs=laplace(ft, t, s)-求时域函数ft的Laplace变换Fs,13:59,53,2.4 符号代数方程求解,1) 线性方程组的符号解,矩阵计算是求解线性方程组最简单有效的方法,在matlab中,不管数据对象是数值还是符号,实现矩阵运算的指令形式几乎完全相同.,例2.4-1 求:d+n/2+p/2

39、=q, n+d+q-p=10, q+d-n/4=p, q+p-n-8d=1线性方程组的解,A=sym(1,1/2,1/2 , -1; 1, 1, -1,1; 1, -1/4, -1,1; -8, -1, 1, 1); b=sym(0; 10; 0; 1) x=Ab,13:59,54,2) 一般代数方程组的解,这里所讲的一般代数方程包括线性,非线性和超越方程等, 求解指令为solve.,S=solve( eq1 , eq2 , eqn, v1, v2, ,vn)-方程组指定变量的解 (推荐格式),S=solve(exp1, exp2, expn, v1, v2,vn)-方程组指定变量的解 (可用

40、格式),13:59,55,说明： eq1, eq2, eqn或是字符串表达的方程,或是字符串 表达式. v1, v2, ,vn是字符串表达的求解变量名 exp1, exp2, expn只能是符号表达式. v1, v2,vn是 求解的符号变量 如eq1, eq2,eqn是不含等号的表达式,则指令是对eq1=0, eq2=0, ,eqn=0求解 S是一个结构数组,如要显示求解结果, 必须采用S.V1, S.V2, ,S.Vn的援引方式.,13:59,56,例2.4-1 求(x+2)x=2的解,syms x; S=solve(x+2)x=2, x),13:59,57,2.5 符号微分方程求解,S=dsolve(eqn1, eqn2, )-符号微分方程组求解指令格式.,说明： 输入宗量包括三部分内容:微分方程,初始条件,指定独立变量.其中微分方程是必不可少的.其余可以没有 对于独立变量,若要指定独立变量,总是由全部输入宗量的最后一个指令,默认的独立变量