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1、3.1 定积分的简单应用,定积分的几何意义 (1)当f(x) 0时, 表示的是y=f(x)与x=a, x=b和x轴所围曲边梯形的面积。 (2)当f(x) 0时,y=f(x)与x=a, y=b和x轴所围曲边梯形的面积为,(一)复习回顾,例1.求如图所示阴影部分图形的面积。,分析:图形中阴影部分的面积由两个部分组成;,一部分是x轴上方的图形的面积(记为s1); 另一部分是x轴下方图形的面积(记为s2).,根据图像的性质: s1 =s2.,所以,所求阴影部分的面积是4.,(二)例题分析,思考:求如下图形中阴影部分面积,例2.求抛物线y=x 与直线y=2x所围成平面图形的面积。,2,求出曲线y= 与直
2、线y=2x的交点为(0,0)和(2,4)。,设所求图形的面积为S,根据图像可以看出S等于直线y=2x,x=2以及x轴所围成平面图形的面积(设为S1)减去抛物线y= ,直线x=2以及x轴所围成的图形的面积(设为S2)。,解 : 画出抛物线y= 与直线y=2x所围成的平面图形,如图所示。,思考: 求曲线y= 与直线x+y=2围成的图形的面积。,小结: 求平面图形的面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形; (2)找出范围,确定积分上、下限; (3)确定被积函数; (4)写出相应的定积分表达式; (5)用微积分基本定理计算定积分,求出结果。,抽象概括:,一般地,设由曲线y=f(x),y=g(x)以及直
3、线x=a,y=b所围成的平面图形(如图1)的面积S,则,图1,图2,图3,想一想:上图中(2)、(3)满足上面的公式吗?,例3.求曲线x= 和直线y=x-2所围成的图形的面积。,解:阴影部分面积 S=S1+S2. S1由y= ,y= - , x=1围成:,S2由y= ,y= x-2 , x=1围成:,(三)练习,1.求曲线y=1/x、直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形的面积。 2.求由曲线xy=1及直线x=y,y=3所围成的平面图形的面积。 3.求曲线y=sinx(x )和y=cosx(x ) 围成的平面图形的面积。,(2)变力沿直线所做的功,例4:如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,需做功( ) A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J,所以做功就是求定积分,A,说明:物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点,则变力F(x) 所做的功为:,(四)总结,(1)利用定积分求所围平面图形的面积,要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上、下限。,(2)当平面图形
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