第七章第七节.ppt

1、第七节立体几何中的向量方法,1直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：直线l上的非零向量a或与a_的向量叫做直线l的方向向量 (2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量,共线,2利用空间向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,|cosa，n|,设n1，n2分别是二面角l的两个面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是 _(如图771),二面角的平面角的大小,1直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？ 2怎样求平面的法向量？,【提示】不是唯一的都有无穷多个,1(教材改编题)设u(2,

2、2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量若，则t() A3B4C5D6 【解析】，则uv262(4)4t0， t5. 【答案】C,2已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是() AP(2,3,3) BP(2,0,1) CP(4,4,0) DP(3，3,4),【答案】A,3(2012潍坊模拟)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为() A45 B135 C45或135 D90,【答案】C,【答案】8,如图772所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90

3、，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角 (1)求证：CM平面PAD； (2)求证：平面PAB平面PAD.,利用空间向量判定平行或垂直,【思路点拨】根据PC，BC，CD两两垂直建系由PB与平面ABCD所成角求BC分别确定D，B，A，P，M坐标求出相应向量用向量法证明,1(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)解答本题的关键是由PB与平面ABCD所成角求出BC，从而确定相应点的坐标 2利用空间向量证明平行、垂直问题的优势在于将复杂的推理证明，辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象、演绎推理的难度，体现了由

4、“形”转“数”的转化思想,如图773，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证： (1)DE平面ABC； (2)B1F平面AEF.,(2011北京高考)如图774，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60. (1)求证：BD平面PAC； (2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值； (3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长 【思路点拨】(1)根据线面垂直的判定和性质定理易证BD平面PAC；(2)由题设条件，以BD与AC的交点为坐标原点建立坐标系；第(3)问根

5、据法向量垂直，求出点P的坐标，进而求|PA|.,利用空间向量求线线角和线面角,利用空间向量求二面角,如图777所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点 (1)求证：AB1平面A1BD； (2)求二面角AA1DB的余弦值 图777,直三棱柱A1B1C1ABC及三视图如图778所示，D、E分别为棱CC1和B1C1的中点 图778 (1)求二面角BA1DA的余弦值； (2)在AC上是否存在一点F，使EF平面A1BD？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由,利用空间向量解决开放性问题,【思路点拨】(1)以点C为坐标原点建立空间直角坐标系，结合三视图的数据，求各点及相关向量的坐标；(2)设出点F的坐标，由垂直关系，转化为代数方程求解,如图779所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点 (1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论 图779,从近两年高考试题看，利用空间向量求空间角是每年高考必考内容，重点考查向量方法的应用，而且从命题趋势看，创新和开放题也是命题的方向，已知空间角，探究点是否存在或者确定点的位置，进而解决问题，这类问题应引起足够重视,1如图7711所示，在四棱锥PABCD中，P