6.2垂直关系的性质

1、6垂直关系 61垂直关系的判定,学习目标1.掌握直线与平面垂直的判定定理(重点)；2.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小(重、难点)；3.掌握两平面垂直的判定定理(重点),知识点一直线与平面垂直的判定定理,两条相交直线,abP,【预习评价】 (1)线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？ 提示用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的,(2)在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子

2、所在的直线夹角是否发生变化，为多少？ 提示不变，90.,(3)下列说法中正确的个数是() 若直线l与平面内一条直线垂直，则l； 若直线l与平面内两条直线垂直，则l； 若直线l与平面内两条相交直线垂直，则l； 若直线l与平面内任意一条直线垂直，则l； 若直线l与平面内无数条直线垂直，则l. A1 B2 C3 D4,解析对，由于缺少“相交”二字，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的正确的是，故选B. 答案B,知识点二二面角,半平面,两个半平面,棱,面,棱,角,平面角,直角,l,PlQ,【预习评价】 (1)二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的

3、位置有关？ 提示无关如图，OAl，OBl， OAl，OBl，根据等角定 理可知，AOBAOB， 即二面角的平面角的大小与角的 顶点的位置无关，只与二面角的大小有关,(2)平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？ 提示二面角的平面角,知识点三平面与平面垂直 1定义：两个平面相交，如果所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直平面与平面垂直，记作 . 2画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的 垂直如图所示,直二面角,横边,3平面与平面垂直的判定定理,垂线,【预习评价】 (1)建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直当挂铅

4、锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？ 提示都是垂直,(2)两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？ 提示不一定平行，相交，垂直都有可能 (3)已知l，则过l与垂直的平面() A有1个 B有2个 C有无数个 D不存在 解析由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面，这样的平面有无数个 答案C,题型一线面垂直的判定 【例1】如图所示，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过点A作AEPC于点E.求证：AE平面PBC.,证明PA平面ABC，BC平面ABC， PABC. 又AB是O的直径，B

5、CAC. 而PAACA，BC平面PAC. 又AE平面PAC，BCAE. PCAE，且PCBCC， AE平面PBC.,规律方法证明线面垂直的方法： (1)由线线垂直证明线面垂直：定义法；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直 (2)平行转化法(利用推论)： ab，ab； ，aa.,【训练1】如图，在三棱锥SABC中，ABC90，D是AC的中点，且SASBSC. (1)求证：SD平面ABC； (2)若ABBC，求证：BD平面SAC.,证明(1)因为SA

6、SC，D是AC的中点， 所以SDAC.在RtABC中，ADBD， 由已知SASB，SDSD， 所以ADSBDS，所以ADSBDS， 所以SDBD.又ACBDD， 所以SD平面ABC. (2)因为ABBC，D为AC的中点， 所以BDAC.由(1)知SDBD. 又因为SDACD，所以BD平面SAC.,题型二面面垂直的判定 【例2】如图，已知AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，PA圆O所在的平面，AFPC于F，求证：平面AEF平面PBC.,证明因为AB为圆O的直径，所以BCAC. 因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC. 因为PAACA，所以BC平面PAC. 而AF平面PAC，所

7、以BCAF. 又AFPC，BCPCC，所以AF平面PBC. 又因为AF平面AEF，所以平面AEF平面PBC.,规律方法1.由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线，本题中证明平面AEF经过平面PBC的垂线AF较容易些 2证明面面垂直的常用方法：(1)面面垂直的判定定理；(2)所成二面角是直二面角,(1)证明连接BD，由ABCD是菱形且BCD60知，BCD是等边三角形 因为E是CD的中点，所以BECD. 又ABCD，所以BEAB. 因为PA平面ABCD，BE平面ABCD， 所以PABE.又PAABA， 因此BE平面PAB. 又BE平面PBE， 所以

8、平面PBE平面PAB.,【探究2】如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在平面，C是圆周上不同于A、B的一点，且AB2，PABC1. (1)求证：平面PAC平面PBC； (2)求二面角PBCA的大小,(1)证明A，B，C在O上， O所在平面可记为平面ABC， PA平面ABC，BC平面ABC， PABC. C在圆周上，且异于A、B，AB是O的直径， BCAC. 又ACPAA，BC平面PAC. 又BC平面PBC，平面PAC平面PBC.,【探究3】正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点求二面角ABD1P的大小 解过点P作BD1、AD1的垂线，垂足分别是E、F，连接EF.AB平面AA1

9、D1D，PF平面AA1D1D， ABPF. PFAD1，且ABAD1A， PF平面ABD1， BD1 平面ABD1， PFBD1， 又PEBD1，且PEPFP， BD1平面PEF， EF平面PEF. EFBD1，PEF为所求二面角的平面角,规律方法(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角证明计算 (2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等,课堂达标 1对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是 () Amn，m，n Bmn，m，n Cmn，n，m Dmn，m，n 解析n，

10、mn，m，又m，由面面垂直的判定定理，. 答案C,2如图所示，定点A和B都在平面内， 定点P，PB，C是平面内 异于A和B的动点，且PCAC，则 ABC为() A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法确定 解析易证AC平面PBC，所以ACBC. 答案B,3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， M，N分别是棱AA1和AB上的点，若 B1MN是直角，则C1MN_. 解析B1C1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，B1C1MN.又MNB1M，B1MB1C1B1，MN平面C1B1M，MNC1M，即C1MN90. 答案90,4已知，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线

11、，给出四个论断： mn；n；m. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(用序号表示),解析当m，mn时，有n或n.当n时，即.或当，m时，有m或m.当n时mn，即. 答案(或),5如右图所示，在四棱锥SABCD中， 底面四边形ABCD是平行四边形， SC平面ABCD，E为SA的中点 求证：平面EBD平面ABCD.,证明如右图所示，连接AC，与BD交于点F，连接EF F为ABCD的对角线AC与BD的交点， F为AC的中点 又E为SA的中点， EF为SAC的中位线， EFSC. SC平面ABCD，EF平面ABCD. 又EF平面EBD，平面EBD平面ABCD.,课堂小结 1直线和平面垂直的判定方法： (1)利用线面垂直的定义； (2)利用线面垂直的判定定理； (3)利用下面两个结论：若ab，a，则b； 若，a，则a.,2证明两个平面垂直的主要途径： (1)利用面面垂直的定义； (2)面面垂直的判定定