九年级数学下册 1.5《三角函数的应用》教案 （新版）北师大版

1、三角函数的应用教学目标（一）教学知识点1经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用2能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明（二）能力训练要求发展学生的数学应用意识和解决问题的能力（三）情感与价值观要求1在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气2选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望教学重点1经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用2发展学生数学应用意识和解决问题的能力教学难点根据题意，了解有关

2、术语，准确地画出示意图教学过程（一）复习旧知，引入新课1一物体沿坡度为18的山坡向上移动，则物体升高了m答案：12在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45，沿水平方向，再向塔底前进am，又测得塔尖的仰角为60，那么电视塔的高为m答案：a3如图所示，在高2m，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要_m答案：4创设问题，引入新课海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流（二）讲授新课1思路点拔（1）

3、我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？应该是“上北下南，左西右东”（2）请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25处示意图如下（3）货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险A到BC所在直线的最短距离为过A作ADBC，D为垂足，即AD的长度我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较（4）下面我们就来看AD

4、如何求根据题意，有哪些已知条件呢？已知BC=20海里，BAD=55，CAD=25（5）在示意图中，有两个直角三角形RtABD和RtACD你能在哪一个三角形中求出AD呢？在RtACD中，只知道CAD=25，不能求AD在RtABD中，知道BAD=55，虽然知道BC=20海里，但它不是RtABD的边，也不能求出AD（6）那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC=BD-CDBD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系（7）有何联系呢？在RtABD中，；在RtACD中，利用BC=BD

5、-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55-ADtan25=20总结：其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一解：过A作BC的垂线，交BC于点D得到RtABD和RtACD，从而BD=ADtan55，CD=ADtan25，由BD-CD=BC，又BC=20海里得 ADtan55-ADtan25=20AD（tan55-tan25）=20， （海里）这样AD20.79海里10海里，所以货轮没有触礁的危险2小组合作，探索问题（1）想一想你会更聪明：接下来，我们再来研究一个问题还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看他是怎样测的，

6、并根据他得到的数据帮他求出塔的高度如图，小明想测量塔CD的高度他在A处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至B处测得仰角为60那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m）（2）思路点拔：我想请一位同学告诉我什么是仰角？在这个图中，30的仰角、60的仰角分别指哪两个角？当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角30的仰角指DAC，60的仰角指DBC很好！请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形RtADC和RtBDC的公共边，在RtADC中，即，在RtBDC中，即，又AB=AC-BC=50 m，得解得CD43（m），

7、即塔CD的高度约为43 m提出质疑，再探新知：小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时是否应考虑小明的身高？在实际测量时，的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？示意图如图所示，由前面的解答过程可知CC43 m，则CD=43+1.6=44.6 m即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m3巩固新知、解决问题：现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40减至35，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯

8、会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.0l m）请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，（先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法）（1）思路点拔 要注意调整前后梯楼的高度是一个不变量根据题意可画示意图（如右图）其中AB表示楼梯的高度AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度；AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度ACB是原楼梯的倾角，ADB是调整后的楼梯的倾角转化为数学问题即为：如图，ABDB，ACB=40，ADB=35，AC=4m求AD-AC及DC的长度（2）解决问题解：由条件可知，在RtABC中，即AB=4sin40m，原楼梯占地长BC=4c

9、os40m调整后，在RtADB中，则m楼梯占地长m调整后楼梯加长（m），楼梯比原来多占（m）（三）随堂练习1如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40夹角，且DB=5m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？解：在RtCBD中，CDB=40，DB=5 m，BC=DBsin40=5sin40（m）在RtEDB中，DB=5 m，BE=BC+EC=2+5sin40（m）根据勾股定理，得（m）所以钢缆ED的长度为7.96 m2如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD=6 m，坡长CD=8 m坡底BC=30 m，ADC=135（1）求ABC的大小；（2）如果坝长1

10、00 m那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01 m3）解：过A、D分别作AEBC，DFBC，E、F为垂足（1）在梯形ABCD中ADC=135，FDC=45，EF=AD=6 m在RtFDC中，DC=8mDF=FC=CD（m）（m）在RtAEB中，（m）ABC17821（2）梯形ABCD的面积：（m2）坝长为100 m，那么建筑这个大坝共需土石料（m3）综上所述，ABC=17821，建筑大坝共需10182.34 m3土石料（四）活动与探究，拓展知识例题：如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受到影响（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？ 过程这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征在转化、抽象成数学问题上下功夫 结果（1）过点B作BDAC垂足为D依题意，得BAC=30，在RtABD中，B处会受到台风影响（2）以点B为圆心，200海里为半径画