24.7弧长与扇形面积

1、第24章 圆,24.7 弧长与扇形面积,第1课时 弧长与扇形面积,庐江县白湖镇顺港学校,马 欣,1,课堂讲解,弧长公式 扇形面积公式,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,3、 什么叫弧长？,1、圆的周长公式是什么？,2、 圆的面积公式是什么？,圆上两点以及两点之间的部分叫做弧长,1,知识点,扇形,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。,图中劣弧AB所围成的橘红色部分,图中优弧AB所围成的白色部分,1,知识点,扇形,2,知识点,弧长公式,把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角。我们把每一份这样的弧叫做1的弧。所以，圆心角的度数和它所对的弧的度

2、数相等。,圆的弧长也是一样，把一个圆平均分成360份，那么圆弧的公式就是：C1,即C1=,2,知识点,弧长公式,弧长公式：在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧 长C1的计算公式为C1 要点精析：(1)应用公式时“n” 和“180”不应写单位. (2)题目若没有写明精确度，可以用含“”的式子表示 弧长. (3)在弧长公式中，已知C1，n，R中任意两个量，都可 求出第三个量.,弧、弧长、弧的度数间的关系： 弧相等表示弧长、弧的度数都相等； 度数相等的弧，弧长不一定相等； 弧长相等的弧，弧的度数不一定相等,知识点,知识点,知识点,弧长公式,2,3,知识点,扇形面积公式,（1）S扇形,（2）在半径为R

3、的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算公式为C1=,n的圆心角的扇形面积公式为,C1=,=,(C1是扇形的弧长),3,知识点,扇形面积公式,应用方法： 当已知半径 R 和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式S扇形,当已知半径 R 和弧长求扇形的面积时，选用公式 S扇形 C1R.,特别注意：(1)已知S扇形，C1，n，R四个量中的任意两个量，可以求出另外两个量 (2)在扇形面积公式S扇形 中，n表示1的n倍， 360表示1的360倍，n，360不带单位,知识点,3,扇形面积公式,例1 一滑轮装置如图，滑轮的半径R =10 cm，当重物上升15.7 cm时，问滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转

4、的角度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取 3.14) 解：设半径绕轴心O按逆时针方向旋转 n，则 解方程，得n 90 答：滑轮按逆时针方向旋转的角度 约为90.,知识点,4,例题讲解,重物上升的高度等于半径OA绕轴心O旋转时点A所画的弧长。,例2 如图，O的半径为6 cm，直线AB是O的切线，切点为点B，弦BCAO，若A30，则劣弧BC的长为_cm. 设由切线性质可知OBA90. 因为A30，所以BOA60，因为 BCAO，所以CBO60.又因为OBOC，所 以OBC为等边三角形，所以BOC60，代 入公式C1 ，得 2(cm),2,导引：,知识点,4,例题讲解,总 结,求弧长需要两个条件：

5、(1)弧所在圆的半径；(2)弧所 对的圆心角当题中没有直接给出这两个条件时，则 需利用圆的相关知识：弦、弦心距、圆周角、切线等 求出圆的半径或弧所对的圆心角,例3 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长 (或子午圈长)的简单方法.如图,点S和点A分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，亚历山大在赛伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里(1希腊里158.5 m).当太阳光线在赛伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为，实际测得是7.2，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？,知识点,4,例题讲解,解：因为太阳光线可看作平行的，所以圆心角AOS = =7

6、.2. 设地球的周长（即O的周长）为C，因为弧长与圆周长的比等于圆心角与周角的比， 则 =250 000(希腊里) 39 625(km). 答：地球的周长约为39 625 km.,例题讲解,知识点,4,知识点,5,随堂练习,已知：扇形AOB的半径为12 cm , AOB=120，求 的长度和扇形AOB的面积. 已知：扇形的圆心角为150，弧长为20，求扇形面积.,例4 如图，在O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上的一点，ADB30. (1) 求AOC的度数； (2) 若弦BC6，求图中阴影部分的面积 (1)根据垂径定理得到相等的弧，再由同 圆或等圆中，弧、圆心角、圆周角之间的

7、关系求得 AOC的度数；(2)先求出O的半径，再求出圆心 角BOC的度数，利用面积割补法求出阴影部分的 面积,导引：,知识点,6,知识拓展,(2)弓形的面积： 当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇形面 积与三角形面积的差，即S弓形S扇形S三角形； 当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S弓形S扇形S三角形； 当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半， 即S弓形 S圆,(1)弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形,知识点,6,知识拓展,(1)弦BC垂直于半径OA，BECE， . 又ADB30，AOCBOA60. (2)BC6，CE BC3. 在RtOCE中，OCE30， 设OEx，则OC2x，CE x3，解得x . OE ，OC2 . ，BOC2AOC120， S阴影S扇形BOCSOBC (2 )2 6 43 .,解：,知识点,6,知识拓展,知识点,7,随堂练习,如图，圆柱