MATLAB解方程与函数极值

1、第7章MATLAB解决方案方程和函数极限7.1线性方程组解决方案7.2非线性方程数值解决方案7.3常微分方程初值问题的数值解决方案7.4函数极值，7.1线性方程组解决方案7.1.1直接解决方案1左除法运算符直接解决方案线性方程组Ax=b的情况，可以使用左除法运算符“”解决。x=Ab，命令如下：A=2，1，-5，1；1，-5，0，7；0，2，1，-1；1，6，-1，-4；B=13，-9，6，0；使用X=Ab，2矩阵的分解来解决线性方程组矩阵分解意味着根据特定原理，使用特定算法之一将矩阵分解变成多个矩阵的乘积。典型的矩阵分解LU分解、QR分解、Cholesky分解、Schur分解、Hessenbe

2、rg分解和奇异分解。(1) LU分解矩阵的LU分解是用交换三角矩阵和三角矩阵的乘积表示一个矩阵。事实证明，线性代数中防尘A不奇怪的话，LU分解总是可能的。MATLAB提供的LU函数用于分解矩阵，以生成父三角数组U和变换格式的子三角数组L(行更换)，以匹配L、U=lu(X): X=LU。其中矩阵X必须是防震的。生成父三角形阵列U和子三角形阵列l以及变位矩阵P，以匹配l，U，P=lu(X): PX=LU。当然，矩阵x也必须是正方形。LU分解通过线性方程组Ax=b的解密x=U(Lb)或x=U(LPb)大大提高了计算速度。示例7-2使用LU分解执行示例7-1中的线性方程组解决。命令如下：A=2，1，-

3、5，1；1，-5，0，7；0，2，1，-1；1，6，-1，-4；B=13，-9，6，0；l，U=Lu(A)；X=U(Lb)或LU分解的第二种格式，命令L、U、P=LU(A)；X=u (LP * b)，(2) QR分解将矩阵x分解为QR。也就是说，x分解为正交矩阵q和三角矩阵r的乘积。QR分解只能由对方队进行。MATLAB的函数QR可用于以Q，R=qr(X)格式分解矩阵。生成正交矩阵q和三角矩阵r，以满足X=QR。q，R，E=qr(X):生成正交矩阵q、三角矩阵R和变位矩阵E以满足XE=QR。实施QR分解后，线性方程组Ax=b的解决方案x=R(Qb)或x=E(R(Qb)。范例7-3使用QR分解来

4、执行范例7-1中的线性方程组解决。命令如下：A=2，1，-5，1；1，-5，0，7；0，2，1，-1；1，6，-1，-4；B=13，-9，6，0；q，R=QR(A)；X=R(Qb)或QR分解的第二种格式，命令为Q，R，E=qr(A)。X=E*(R(Qb)，(3) Cholesky分解矩阵x为对称正定时，Cholesky分解将矩阵x分解为子三角矩阵和父三角矩阵的乘积。将“三角矩阵”设置为R将旋转三角矩阵(X=RR)。MATLAB函数chol(X)用于对矩阵X执行Cholesky分解，调用格式为R=chol(X): RR=X生成父三角形阵列R。如果x为不对称正定，则输出错误消息。r，p=chol(

5、X):牙齿命令格式不输出错误消息。如果x是对称修正，则p=0，r得到的结果与上述格式相同。否则，p是正整数。如果X是整个排名矩阵，则r是具有q=p-1阶的父三角形阵列，满足RR=X(13360 q，1:q)。实施Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变为RRx=b，因此x=R(Rb)牙齿。示例7-4使用Cholesky分解执行示例7-1中的线性方程组求解。命令如下：A=2，1，-5，1；1，-5，0，7；0，2，1，-1；1，6，-1，-4；B=13，-9，6，0；R=chol(A)？-嗯？-嗯？在执行error using=CHOL matrix must be positive def

6、inite命令时，出现错误消息a不是正定矩阵。7.1.2迭代解决方案迭代解决方案适用于大系数矩阵的方程组解决。在数值分析中，迭代解决方案主要包括Jacobi迭代方法、Gauss-Serdel迭代方法、超松弛迭代方法和两阶段迭代方法。对于1Jacobi迭代法线性方程组Ax=b，如果A是非防震的，即AI0 (I=1，2，N)，则可以将A分解为A=D-L-U。其中D是对角阵列，元素A的对角元素序列x(k 1)收敛到x，则x必须是方程Ax=b的解。，Jacobi迭代法的MATLAB函数档案Jacobi.m如下所示：function y，n=jacobi (a，b，x0，EPS)if NAR gin=3

7、 EPS=1.00 else if NAR gin=EPS x0=y；y=b* x0 f；n=n 1；End，示例7-5使用Jacobi迭代法解决以下线性方程组问题：将迭代初始值设置为0，将迭代精度设置为10到6。命令调用函数档案Jacobi.m。命令为A=10，-1，0。-1，10，-2；0，-2，10；B=9，7，6；x，n=Jacobi (a，b，0，0，0，0，1.0e-6)，2 Gauss-Serdel迭代方法在Jacobi迭代过程中已在计算中获得，因此不再需要使用，Gauss-Serdel迭代方法的MATLAB函数档案gauseidel.m如下所示：function y，n=gau

8、 Seidel (a，b，x0，EPS)if NAR gin=else if NAR gin=EPS x0=y；y=G * x0 f；n=n 1；End，示例7-6使用高斯-serdel迭代方法解决以下线性方程组问题：将迭代初始值设置为0，将迭代精度设置为10到6。命令调用函数档案gauseidel.m。命令为A=10，-1，0。-1，10，-2；0，-2，10；B=9，7，6；x，N=Gauseidel (A，B，0，0，0，0，0，1.0E-6)，示例7-7分别使用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代方法，以验证是否可以通过以下线性方程组求解收敛命令如下：a=1，2，-2；1，1

9、，1；2，2，1；b=9；7；6；x，n=jacobi(a，b，0；0；0) x，n=gauseidel(a，b，0；0；0)，7.2非线性方程数值分析7.2.1单变量非线性方程求解提供了fzero函数，该可用于MATLAB查找单变量非线性方程的根。牙齿函数调用的格式为z=fzero(fname，x0，tol，trace)。其中fname是查找根的函数档案名称，x0是搜索的起点。一个函数可以有多个根，但是fzero函数仅提供最接近x0的根。Tol控制结果的相对精度。默认情况下，tol=eps，trace使用trace=0表示是否在操作中显示迭代信息，1表示是否显示迭代信息，0表示不显示迭代信息

10、，默认情况下使用trace=0。示例7-8查找f(x)=x-10 x 2=0 x0=0.5附近的根。步骤如下：(1)创建函数档案funx.m。function FX=funx(x)FX=x-10 . x 2；(2)调用fzero函数查找根。Z=f zero (funx，0.5) z=0.3758，7.2.2非线性方程组解决方案非线性方程组F(X)=0的fsolve函数数值解决方案。Fsolve函数调用的格式为X=fsolve(fun，X0，option)。其中x是返回的解决方案，fun是定义需求解决方案的非线性方程组函数档案名称，X0是根进程的初始值，option是最优化工具箱中的选项设置。最

11、优化工具箱包含20多个可使用optimset命令显示的选项。要更改这些选项中的任何一个，可以通过调用optimset()函数进行更改。例如，Display选项确定调用函数时中间结果的显示方式。其中off不显示，ITER显示每个步骤，final仅显示最终结果。Optimset(Display，off)将Display选项设置为off。示例7-9求出了(0.5，0.5)附近的下一非线性方程组数值分析。(1)创建函数档案myfun.m。function q=my fun(p)x=p(1)；y=p(2)；q(1)=x-0.6 * sin(x)-0.3 * cos(y)；q(2)=y-0.6 * cos

12、(x)0.3 * sin(y)；(2)在给定初始值x0=0.5，y0=0.5处，调用fsolve函数以获得方程式的根。X=f solve (myfun，0.5，0.5，optim set (display，off) x=0.6354 0.3734，您可以解析为原始方程式以确认结果是否正确，7.3常微分方程秒值Y0是初始状态栏矢量。t和y分别提供时间向量和相应的状态向量。示例7-10存在初始值问题。尝试数字解释，并与正确的解决方案进行比较(正确的解释是y(t)=)。(1)创建函数档案funt.m。Function yp=funt (t，y)yp=(y2-t-2)/4/(t1)；(2)解决微分方程。t0=0；Tf=10y0=2；t，y=ode23(funt，t0，tf，y0)；%数值分析y1=sqrt(t 1)1；%正确的解决方案t y y1 y是数值解决方案，y1是正确的值，显然两者都是近似值。7.4函数极限MATLAB提供基于单向算法解决方案函数极值的函数fmin和fmins。分别用于单变量函数和多变量函数最小值，x=fmin (fname，x1，x2) x=fmins (fname其中fmin函数用于查找单变量函数最小值点)。Fname是最小化的目标函数名称，x1和x2限制参数的范围。Fmins函数用于查找多元函数的最小值，x0是解决方案的初始值矢量。MATL