8.2换元积分法与分部积分法.ppt

1、8.2.1 换元积分法,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,在一般情况下：,由此可得换元法定理,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,定理1,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,例2 求,解,一般地,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,原式,例10 求,解,例11 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例12 求,解,例13 求,解（一）,（使用了三角函数恒等变形）,解（二）,类似地可推出,解,例14 设 求

2、.,令,例15 求,解,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,证,设 为 的原函数,令,则,第二类积分换元公式,例16 求,解,令,例17 求,解,令,例18 求,解,令,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例 中, 令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(3),（三角代换很繁琐）,令,解,例20 求,解

3、,令,说明(4),当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,例22 求,解,令,（分母的阶较高）,例23 求,解,令,基本积分表 ,8.2.2分部积分法,复习引入,一.求下列不定积分：,解：,（公式法）,（凑微分法）,(公式法与凑微分法都不能直接运用),二.函数积的微分法则,d(uv)=udv+vdu 移项得 udv=d(uv)-vdu,对上式两边求不定积分，得：,分部积分法,如果函数uu(x)及vv(x)具有连续导数，则有 (uv) uvuv， 或 uv (uv)uv。 对上述等式两边求不定积分，得,这个公式称为分部积分公式。,分部积分的过程：,新课讲授,新课讲授,一.分部积分公式：,二.

4、关键：恰当选取u和确定v.,如何选取u:(LIATE法),L-对数函数,I-反三角函数,A-代数函数,T-三角函数,E-指数函数,根据LIATE法，f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表 前面就选谁为u. 即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv。v=g(x)dx、或v=g(x).,使用分部积分公式，若选f(x)=u,则vg(x),注：,而v=g(x).,例题与练习,例1.求下列不定积分,解：,解：,例题与练习,例1.求下列不定积分,解：,解：,例题与练习,练习1.求下列不定积分,解：,常用解题技巧,()多次使用分部积分法则,解：,练习2.求不定积分,例2.,常用解题技巧,()还原法,例3.,解：,练习3：,与换元法相结合,练习4.求不定积分,解：,常用解题技巧,例5,例6,例7,例8,例9,例10,例11,解：因为,例13,练习:用什么积分法求下列积分？,第一换元积分法则：,课堂小结：,掌握常见的六种凑微分类型,(3)根据LIATE法，恰当选取u和确定v.,(4)运用分部积分公式： .,(5)掌握常用三种解题技巧.,思考题,求积分,思考题