排列、组合和二项式定理

1、排列、组合 和二项式定理,人大附中 李秋生,分类计数原理、分步计数原理 排列 排列数 排列数应用 组合 组合数 组合数应用 二项式定理,知识结构,教学内容,不仅有着许多直接应用，还是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，因此它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；作为初中多项式乘法公式的推广二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系。,从教学中的一些现象谈起,上课：听讲轻松做题难 考试：入手容易算对难 一道题目的困惑： 有5名旅行者选择旅店住宿，共有8家旅店可任意选择，那么其中任意两人不住进同一旅店的住宿方式有多少种？恰有3人

2、住进同一家旅店的住宿方式有多少种？,听讲容易做题难-章节知识特点,计数问题（分类、分步计数原理，排列、组合）无论是在科学研究中还是在生活实践中都是十分常见而又基础的。 无论问题提出、思维过程还是解答表述 ，都是学生身边的、经历过的、熟悉的。 正面：提高兴趣，增强自信 反面：注重对学生的思维习惯加以梳理、总结,解题的准确性-思维的严谨性和条理性,虽然排列和组合所涉及的基础知识比较少，但由于抽象性、思维性都较强,也可以说是高中数学中较难学的一个内容。,为什么讲排列和组合？,第三个问题引起的思考,为什么要讲排列、组合,排列、组合是常用的计数问题模型 有了排列、组合等常见模型，可以在反复应用中减少重复

3、工作量、重复思维，提高效率 计数问题有很多种常见模型，解决问题的基础是分类计数原理与分步计数原理 在遇到新的计数问题时，自然有必要去想一想它（或者其一部分）是否可以归于某个模型,解决计数问题应注重的思想方法,分类讨论的思想 转化的思想,分类讨论,贯穿中学数学学习 绝对值、几何、参数 不等式、函数 对学生的分类讨论实施能力的总结和提升 序：一个维度，一个主元,分类讨论,(5) 从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有 个 二维：有5有0，有5无0，无5有0 主元：个位为0，个位为5（再根据需要细分，选0与不选0）,在

4、6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现在要组成人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种方法： 既有内科医生又有外科医生（间接考察） 既有主任又有外科医生 情形1：有外科主任 情形2：没有外科主任，则必须有内科主任，再间接考察,教练要从6名选手中确定4100接力名单，要求选手甲不能跑第一棒，选手乙不能跑最后一棒，那么有多少种不同的报名结果？ 首先，在运用乘法原理时意识到需要分类 情形1：甲跑最后一棒 情形2：甲跑第二棒或第三棒 情形3：甲没有入选,其他的分类方法,情形1：最后一棒是甲 情形2：最后一棒不是甲， 则(最后一棒)4(第一棒)4 43,一天要排语文、数学、英语、生物

5、、体育、班会六节课，其中上午四节，下午两节。要求上午第一节不排体育，数学排在上午，班会排在下午，有多少种不同的排课方法？ 可能的某种思维过程 数学在第几节（1；24） 体育在第几节（上午；下午） 体育在上午还是下午：3323!+24!=156 第一节排数学吗：24!+3323!=156,转化的思想,建立模型 排列、组合 分组 设A=a,b,c，B=3,4,5,6,7则从集合A到集合B的映射一共有 个。 放球、选学校、比赛报名 四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_. 答案：36,转化的思想,对应的方法-一一对应 7个人排两行照相，前排3人，后排4人 屋子里散

6、放着7把椅子，7个人坐 用19组成满足百位小于十位、十位小于个位的三位数的个数 7个人照相,中间高,两边都逐渐降低 擂台赛 沿着46方格表的边从左下角用10步走到右上角，有多少种走法,多对一的对应-除法原理,组合数的推导 用19组成满足百位小于十位、十位小于个位的三位数的个数 分组问题,分组问题,9本书分给甲、乙、丙三人 (1) 甲2本，乙3本，丙4本 (2) 甲、乙、丙各3本 (3) 分成三堆，分别有2本、3本、4本 (4) 分成三堆，每堆3本,考点诠释,两个原理 两个概念 两类基本公式 组合数的基本性质 排列组合的综合应用 二项式定理,分类计数原理,学生有基础，易接受 分类讨论，互斥事件

7、分类注意事项：不重不漏 建议单就分类讨论做足功课，切勿急噪，逐步了解各种分类讨论的思维方式,分步计数原理,分类还是分步？ 相互独立事件，条件概率 如何分步？把自己假想成为任务实施者 有5名旅行者选择旅店住宿，共有8家旅店可任意选择，那么恰有3人住进同一家旅店的住宿方式有多少种？,运用分步计数原理的注意事项,确实将任务完成、并且不重复 如何检验： 会不会有两个过程的结果相同？ 能不能从结果反推出完成过程？,从6双手套中取出4只，则至少取出一双的方法有 种？ （垫底法） 如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的取法有 种。,排列,概念：不同元素 解题要点： 特

8、殊元素特殊位置 相邻与不相邻 “减法原理”：从反面想一想 “除法原理”：重复计数,12 (03,北京)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个新节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为() (A)42. (B)30. (C)20. (D)12.,在一块并排10垄田地中，选择两垄分别种植A、B两种作物，要求间隔不小于6垄，则有多少种不同的种植方案？,24. 进行8次射击,命中3次,其中恰有2次连续命中的情形共有 种. 25. 一个车库有一排连续的12个车位，早上来了8辆相同的车停下，如果要求留出一辆SUV（须占两个连续的车位）的位置，那么这8辆车有多少种停

9、法？,组合,组合数的概念和推导 组合数公式 组合数性质,计数综合问题,先选后排 7.从3名男生和3名女生中，选出3名分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，则选派方案共有（ ） （A）19种 （B） 54种 （C）114种 （D）120种 19. (06陕西)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种,二项式定理,二项式定理作为初中一种多项式乘法公式的复习和推广 二项式定理的学习过程可以看作是应用两个计数原理解决问题的典型过程 由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合恒等

10、式，这对深化组合数的认识有好处；它与后面概率中的独立重复试验和二项分布有着密切联系因此可以说二项式定理综合性较强，具有联系不同知识内容、承上启下的重要作用,知识结构,二项式定理教学建议,引入时，从以前学过的平方和与立方和公式出发，让学生从已有的知识中结合排列组合知识来分析，从而引入二项式定理，让学生领悟从“特殊到一般”的思想方法 注意相似概念的讲解 注意利用函数图像研究二项式系数对称性和增减性的数形结合的思想方法 二项式定理给出的是一个恒等式，因此对一些特定的值当然也成立这是解决二项式问题的一种重要方法,细化二项式定理的获得过程,1(a+b)n是n个多项式(a+b)的乘法问题 2展开式的每一项

11、是通过n步乘积构成的，每一步有两种选择，因此展开式的项数为2n（未合并同类项之前） 3展开式的每一项由若干个a和若干个b的乘积构成，a和b的个数之和等于n，它可以表示为an-kbk 4展开式中形为an-kbk的同类项的个数是多少呢？ 5在展开式中共有(n+1)种不同的同类项，根据加法原理，其展开式为,分层次训练,正用公式 反用公式 合理变形后再用公式 38，39 待定系数 合理赋值 34 构造证明 综合应用,一些试题,递推法-染色问题 先捆绑后插空:(05辽宁)用1,2,3,4,5,6,7,组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,3与4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻这样的八位数共有 个. 相同元素的排列 圆排列:25位骑士围绕着圆桌坐下,从中选3名骑士完成任务,那么3名骑士两两不相邻的选法有多少种?,排列组合与立体几何相结合,(07广东)如果一个凸多面体是n棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有多少条?这些直线中共有多少对异面直线? 四面体的顶点和各棱的中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有()种 (A)14