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文档简介
1、平面向量数量积及其应用,知识回顾,知识回顾,1定义:平面内两个非零向量的数量积(内积)的定义 = 向量夹角的概念:平移两个非零向量使它们起点重合,所成图形中0180的角称为两个向量的夹角 规定 与任何向量的数量积为0,2向量的数量积的几何意义:数量积 等于 的长度与 在 方向上投影 的乘积 3两个向量的数量积的性质: 设 , 为两个非零向量, 是单位向量, 是 与其它向量的夹角 (1) ; (2) ; (3) 特别的 或 ; (4) = ;,(1)设 则 = (2) =( ) = (3) cos = = (4)非零向量 = 0 (注意与向量共线的坐标表示区别),4.平面向量数量积的坐标表示:,
2、(1) (2) =( ) = (3) cos = = (4)非零向量 = 0 (注意与向量共线的坐标表示区别),5.平面向量数量积的应用 (1)把几何学问题转化为向量问题 :如利 用向量证明平面几何问题;直线的方向向量等 (2)把物理学问题转化为向量问题 :数学中的向量就是物理中的矢量,所以利用向量可以解决物理学问题,例一 .(数量积一第9题),解:,=,=1-,设向量 , , 是单位向量,且 =0 , 求 的最小值,例一.数量积一第9题,思考:设向量 是两个互相垂直的单位向量,若向量 满足 =0,求 的最大值.,答案:,小结:将题给条件稍作变化,就能得到一个与原题类似的问题,且所用知识点也大
3、致相同,大家平时在学习时不妨用这个方法给自己出出题,以更好的理解知识点.,例二.(数量积一第15题第2问),已知 且向量 与 的夹角为 ,试 求 的取值集合,使( )与( ) 的夹角为钝角,例二.数量积一第15题第2问,分析:两向量 的夹角公式为 则当两向量的夹角为钝角时有-1 0,解右边不等式可得 0,但左边不等式解答比较复杂,所以,我们可以考虑在余弦小于0的情况下去掉夹角为180度的情况,即去掉两向量平行的情况,所以本题的解答如下:,由题意: ( )( )0 且( )与( )不平行 即 且 且 且 ,思考:两向量夹角是锐角的等价条件是什么?,小结:解题时若计算复杂则容易出错,大家要善于化繁
4、为简,有时,稍作变动就能大大简化计算,使问题得以更好的解决.,例三. 数量积二第10题,已知向量 = ,向量 = ,求 的最大值.,解法一(代数方法),例三.数量积二第10题,解法二(几何方法),x,y,o,B,如图,用 表示 , 以O为圆心,2为半径作圆,则2 可看成以O为起点,终点在圆O上的向量,由向量减法的几何意义可知答案为4,小结:向量有数和形两种表示方法,有时,数形结合可使问题的解决更加方便,例四.数量积二第15题,已知: ,存在实数 和 ,使 得 ,且 ,试求 的 最小值。,分析:本题是涉及两个字母的最值问题,且不可用基本不等式,所以考虑利用等量关系互相表示,转变为关于其中一个字母
5、的函数来处理 .,解答如下: 由条件得: , ,由 ,得 =0,即 =0, 则有 则 = 则当 =-2时, 有最小值,小结:有一些解答题看似字母比较多,比较复杂,但如果耐心将题目看完,将题给的每个条件都稍作化简,联系“已知的是什么?”,“所求的是什么?”,“中间搭哪一座桥?”,很多问题都会变得清晰明了,从而迎刃而解了.本题涉及关于两个字母的表达式的最值问题,这类问题往往从(1)基本不等式(2)等量代换这两个方面去考虑.,例五 .向量应用第10题,在 中, 为中线 上的一个动点,若=2,求 的最小值,A,B,C,M,O,分析:如图,因为 为 的中点,所以 , 则本题可转化成两个反向 向量数量积的
6、最小值问题, 解答如下:,=2 =-2 由基本不等式,得 =1 , 所以,所求最小值为-2,小结:因为向量加法有平行四边形法则,所以进行向量运算时要充分利用这一点来简化问题,从而有利于计算.,例六 .向量应用第15题,给定两个长度为1的平面向量 和 ,它们的夹角为 . 如图所示,点 在以 为圆心的圆弧 上变动.若 其中 ,求 的最大值 .,O,A,B,C,分析:因为三个向量的模均为1,且已知 与 的夹角,所以,本题可以考虑利用向量数量积将向量转化为实数,同时可将 用三角函数表示出来,解答如下:,设 ,则有 即 ,则,小结:向量的数量积是联系向量与实数的纽带,利用向量的数量积是一个实数,可以将向量问题转化为实数计算,从而有利于问题的解决.,小结,小结:,平面向量数量积是高考的重点
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