甘肃省静宁县第一中学2020学年高二数学上学期期中试卷 理（含解析）（通用）

1、静宁一中2020学年度高二第一学期中期考试题（卷）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（ ）A. 15,5,2 B. 15,15,15 C. 10,5,30 D. 15，10，20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=

2、，则在高一年级抽取的人数是300=15人，高二年级抽取的人数是200=10人，高三年级抽取的人数是400=20人，故答案为：D【点睛】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目2.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A. 0.4 B. 0.6 C. 0.8 D. 1【答案】B【解析】5件产品中有2件次品，记为，有件合格品，记为，d，从这件产品中任取件，有10种，分别是，(a,d)，(c,e)，恰有一件次品，有6种，分别是，(a,e)，设事件=“恰有一件次品”，则()=610=0.6，故

3、选B考点：古典概型视频3.已知命题：xR,sinx1，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】 因为全称命题的否定是特称命题，全称命题命题“xR,sinx1”的否定为特称命题“”，故选C.4.“”是“方程x23k+y2k1=1表示双曲线”的( )A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】方程x23-k+y2k-1=1表示双曲线（3k）（k1）0，解得k范围，即可判断出结论【详解】方程x23-k+=1表示双曲线（3k）（k1）0，解得k3或k1k3是方程x23-k+y2k-1=1表示双曲线的非充分非必要条件故答案为：D【点睛

4、】本题考查了双曲线的标准方程、充要条件的判断、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5.下列说法错误的是（ ）A. 对于命题，则p:x0R,x02+x0+10B. “”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C. 若命题为假命题，则p,q都是假命题D. 命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则”【答案】C【解析】试题分析：对于A,全称命题的“非”是存在性命题，且否定结论，即A正确；对于B，时，成立，但反之，时，x=1或x=2，所以B正确；对于C,，命题为假命题，说明至少有一为假命题，所以C错；对于D，逆否命题否定原命题条件和结论并互换，D正确，故选C考点：1、逆

5、否命题；2、充分条件与必要条件；3、复合命题【名师点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题解题时一定要注意时，p是的充分条件，q是的必要条件，否则很容易出现错误充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化6.已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）A. 虚轴长为4 B. 焦距为C. 离心率为 D. 渐近线方程为【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；对于B，双曲线的方程

6、为y24-x29=1，其中a=2，b=3，则，则焦距为213，则B错误；对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则c=4+9=13，则离心率为e=ca=132，则C错误；对于D，双曲线的方程为y24-x29=1，其中a=2，b=3，则渐近线方程为2x3y=0，则D正确.故选：D.【点睛】本题考查双曲线虚轴长、焦距、离心率以及渐近线方程等概念，考查基本分析求解能力，属基础题.7.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )A. 14 B. 4 C. 13 D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用几何概型的概率公式求解.【详解】设正方形的边

7、长为2a,则圆的半径为a,由几何概型的概率公式得,故答案为：B【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.8.当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A. B. C. D. 30【答案】D【解析】第一次循环，s=2,k=2，第二次循环，s=6,k=3，第三次循环，第四次循环，s=30,k=5，结束循环，输出，故选D9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A. 91.5和91.5 B. 91.5和92 C. 91和91.5 D. 92和92【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图写出这组数

8、据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果【详解】由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，所以其中位数为91+922=91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故答案为：A【点睛】本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与平均数的求法在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求10.抛物线y2=2px(p0)上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则（ ）A. B. 1C. 2 D.

9、 4【答案】C【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p的值即可.【详解】抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）A. 74 B. 12764 C. 94 D. 12964【答案】C【解析】 抛物线y=12x2的焦点为(0，12)m2=(12)2=14m=94故选C12.已知点M(3,8)在双曲线：上，的焦距为6，则它的离心率为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D.

10、 5【答案】B【解析】【分析】由题得c=3,再求出a的值得解.【详解】由题得c=3,所以左右焦点为（-3,0），（3,0），所以，所以离心率为e=31=3.故答案为：B【点睛】本题主要考查双曲线的定义和离心率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.静宁一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“xR,x2+2x+m0”是假命题，求的范围。王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“xR,x2+2x+m0”是真命题，求m的范围。你认为，两位同学题中的范围是否一致？_（ 填“是”或“否”

11、）【答案】是【解析】【分析】利用特称命题和全称命题的否定进行判断得解.【详解】若命题“xR,x2+2x+m0”是假命题，所以该命题的否定是真命题，即命题“xR,x2+2x+m0”是真命题，所以两位同学题中m的范围是一致的.故答案为：是【点睛】本题主要考查全称命题和特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14.椭圆上一点到左焦点F1的距离为2，N是的中点，则ON等于_【答案】【解析】试题分析：根据椭圆的定义：,所以,是MF1中点，是的中点，所以考点：1椭圆的定义；2椭圆的几何意义15.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是

12、正三角形，则这个椭圆的离心率是_.【答案】21【解析】试题分析：设椭圆的标准方程为，(ab0)，焦点F1(c，0)，F2(c，0)，如图：将x=c带入椭圆方程得c2a2+y2b2=1；解得y=b2a；|F1F2|=|AF1|；2c=b2a，b2=a2c2；2ac=a2c2，整理得：；即e2+2e1=0解得（负值舍去）；故答案为：考点：1直线与椭圆的位置关系；2椭圆的离心率16.若，为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，则PF+PA的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D

13、，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得【详解】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为3+=故答案为：【点睛】本题主要考查了抛物线的应用考查了学生数形结合的思想和抛物线定义的应用三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题关于x的方程x22m1x+m2=0有实数根，命题方程x2m1+y2m+2=1表示双曲线.（1）若是真命题，求的取值范围;（2）若命题是真命题，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.

14、【解析】【分析】（1）由题得（m-1）(m+2)0，解不等式即得m的取值范围.(2)先化简命题p求出m的范围，再求出，再根据命题是真命题求出m的取值范围.【详解】（1）由题得（m-1）(m+2)0，所以.(2) 因为关于的方程x2-2m-1x+m2=0有实数根，所以所以命题p:m12,p:m12,因为命题(p)q是真命题，所以-2m12，所以m的取值范围为12mb0)的左、右焦点分别为F1c,0，直线交椭圆E于，两点，ABF1的周长为16，的周长为12.（1）求椭圆的标准方程与离心率；（2）若直线与椭圆E交于两点，且是线段CD的中点，求直线的一般方程.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：

15、(1)由题意可得关于的方程组，求解方程组计算可得：标准方程为x216+y212=1，离心率为；(2)很明显直线的斜率存在，设出点的坐标，利用点差法可得CD中点坐标为，且kCD=34，利用点斜式方程可得直线l的一般方程是 .试题解析：（1）由题知，解得， 椭圆E的标准方程为，离心率.（2）由（1）知，易知直线的斜率存在，设为，设,则，又是线段CD的中点，故直线的方程为，化为一般形式即.点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0或说明中点在曲线

16、内部.19.已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）若直线l:y=kx+2与双曲线恒有两个不同的交点和B，且(其中为坐标原点)，求实数取值范围.【答案】（1）y21（2）(1，)(33，1)【解析】(1)设双曲线C的方程为x2a2y2b21(a0，b0)由已知得a3，c2，再由c2a2b2得b21，所以双曲线C的方程为x23y21(2)将ykx2代入x23y21中，整理得(13k2)x26kx90，由题意得，故k213且k22得xAxByAyB2，xAxByAyBxAxB(kxA2)(kxB2)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)913k22k62k13

17、k223k2+73k21，于是3k2+73k212，即3k2+93k210，解得13k23由得13k21，所以k的取值范围为(1，33)(33，1)20.某高校在2020年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组75,80，第2组80,85，第3组85,90，第4组90,95，第5组95,100得到的频率分布直方图如图所示（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试

18、，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率【答案】()，； ()，；()35【解析】试题分析：()根据频率分布直方图的性质和所给的频率分布直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率；()由()求得的频率可得到、组各自的频数，再根据分层抽样的定义进行求解；()由题意知从六位同学中抽两位同学基本事件共有共种，第组的位同学至少有一位同学入选的基本事件共有种，由古典概型概率公式可得结果.试题解析：()由题设可知，第组的频率为0.065=0.3，第组的频率为，第组的频率为()第组的人数为0.3100=30，第组的人数为0.2100=20，第5组的人数为因为第，组共有60名学生，所以利用分层

19、抽样在名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第3组：30606=3， 第组：20606=2，第5组：10606=1所以第3，4，5组分别抽取人，人，人()设第组的位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1则从六位同学中抽两位同学有：(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1), (A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共15种可能其中第4组的2位同学为B1，B2至少有一位同学入选的有：(A1,B1),

20、(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),共9种可能，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为915=35考点：1、频率分布直方图及分层抽样方法；2、古典概型概率公式.21.已知椭圆经过点(0,3)，离心率为12，左右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0).（1）求椭圆的方程；（2）若直线：y=12x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足ABCD=534，求直线的方程.【答案】（1）x24+y23=1（2）y=12x+33或y=12x33.【解析】试题分析：（1）由题意可得，解出，b的值，即可求出椭圆的方程；（2）由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，利用点到直线的距离公式得：圆心到直线的距离d1，可得m的取值范围，利用弦长公式可得|CD|=21d2，设A(x1,y1),B(x2,y2)，把直线的方程与椭圆的方程联立