高中数学第五章推理与证明5.2直接证明与间接证明5.2.2间接证明反证法课件.pptx

1、5.2.2间接证明：反证法,【课标要求】,1了解间接证明的一种基本方法反证法 2了解反证法的思考过程、特点 3结合已经学过的数学实例，理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系,1间接证明不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的为假，或改证它的 为真，以间接地达到目的 是间接证明的一种基本方法 2一般地，先假设原命题的 ，从这个假设出发，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结果，这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立，从而间接肯定了原命题结论成立，像这样一种间接证法，称为 3反证法证题的一般步骤：(1) ，(2) ，(3) 4运用反证法的关键是,自学导引,反论题,等价命题

2、,反证法,否定成立,反证法,反设,归谬,结论,导出矛盾,有人说，反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？ 提示这种说法是错误的，反证法是否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题命题的否定与原命题是对立的，原命题为真，其命题的否定一定为假,自主探究,1用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个大于等于60”时，反设正确的是 () A三个内角都小于60 B三个内角都大于60 C三个内角中至多有一个大于60 D三个内角中至多有两个大于60 解析“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都小于60” 答案：A,预习测评,2

3、反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是 () 与已知条件矛盾与假设矛盾与定义、公理、定理矛盾与事实矛盾 A B C D 答案D,3“x0，且y0”的否定形式为_ 答案：x0或y0 4用反证法证明：“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定为_ 答案ab,间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的结论的否定不成立，或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，即从原命题的否定入手，由p与綈q合乎逻辑地推出,

4、名师点睛,一个矛盾结果；根据矛盾律，两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假，断定命题的否定为假；从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真由此肯定命题“若p则q”为真 用反证法证明命题“若p则q”，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：,应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤： 第一步：分清命题“pq”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q； 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假定綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真 第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义

5、、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况,典例剖析,题型一“至多”、“至少”型问题,方法点评从正面说明需分多种情况讨论，而从反面进行证明只要研究一种情况的题目，适宜用反证法,证明假设方程f(x)0在a，b上至少有两个实根，即f()f()0. ，不妨设. 又f(x)在a，b上为增函数， f()f()，这与f()f()0矛盾 所以f(x)0在a，b上至多有一个实根,【例2】 如图所示，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直,题型二“否定性”“肯定性”问题,证明假设AC平面SOB，因为直线SO在平面SOB内，所以SOAC.因

6、为SO底面圆O，所以SOAB.所以SO平面SAB.所以平面SAB底面圆O.这显然与平面SAB与底面圆O相交矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直 方法点评否定性的问题常用反证法，例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾,【训练2】 若a是整数，且a2能被4整除，求证：a能被2整除 证明假设a不能被2整除，则a2n(nZ)，所以a24n2，所以a2不能被4整除，这与已知相矛盾，假设不成立，即a能被2整除,【例3】 函数f(x)在R上为增函数，对命题“若ab0(a、bR)，则f(a)f(b)f(a)f(b)” (1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论 解(1)逆命题是：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.(真命题)下面用反证法证明： 假设ab0，则ab，ba.因为f(x)是(，)上的增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)，与已知条件矛盾，故假设不成立，所以逆命题为真,题型三综合性问题,(2)逆否命题：若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0，(真命题)下面用反证法证明： 假设ab0，所以ab，ba，因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)