2012--§1.5.2动能定理与机械能守恒定律(1-2)06.ppt

1、大 学 物 理,主 讲：郭 远 超 主讲内容： 1.5.2 机械能守恒定律（1-2）,UNIVERSITY PHYSICS,电话：136-43170592,1.5.2.1 力的功 1.5.2.2 保守力与非保守力 1.5.2.3 质点的动能定理 1.5.2.4 质点系的动能定理 1.5.2.5 质点系的势能 1.5.2.6 质点系的机械能守恒定律,1.5.2 机械能守恒定律,本讲内容：,1.5.2.1 力的功（work）,功的定义 力在位移上的分量与该位移大小的乘积，以A表示。,功是标量：,1 恒力的功,2 变力的功,3 合力的功,合力：,1 恒力的功 A=Fcos r,功等于质点受的力和它的

2、位移的点积,单位：焦耳（J） 1 J=1NM,当 /2，功 A 为正值，力对物体作正功； 当 /2，功 A 为负值，力对物体作负功，或物体克 服该力作功； 当 =/2，功 A=0，力对物体不作功。,位移无限小时：,2 变力的功,如果力是位置的函数，设质点在力 的作用下沿一曲线运动，则功的计算如下：,dA称为元功, dr为元位移。,在元位移中将力视为恒力，力沿 ab 的功为所有无限小段位移上的元功之和。,b,a,1、功是过程量，与路径有关；,2、功是标量，只有正负，没有方向；,3、指明何种力作功,3 合力的功,合力：,合力的功：,合力的功等于各分力功的代数和。,说明, 功 率 力在单位时间内所作

3、的功,单位：瓦（W） 1W = 1J/s,平均功率：,瞬时功率：,物理意义：表示作功的快慢,几个功率的数量级： 睡觉 7080W(基础代谢) 闲谈 7080W 走路 170380W 听课 70140W 跑步 7001000W 足球 630840W, 功的计算,(1) 分析质点受力情况，确定力随位置变化的关系； (2) 写出元功的表达式，选定积分变量； (3) 确定积分限进行积分，求出总功。,例1设作用在质量为2kg的物体上的力F =6t(N)。如果物体由静止出发沿直线运动，问在头2s时间内，这个力对物体所作的功。,解：按功的定义式计算功，必须首先求出力和位移的关系式。根据牛顿第二定律 F=ma

4、 可知物体的加速度为 a=F/m=6t/2=3t 所以 dv=adt=3tdt,力所作的功为,例2：如果一质点位置的时间函数是 （m），质点受到的力中有一个力是 （N）。求：当质点从 秒位置运动到 秒位置过程中这个力的功。,解,力的功为,（J）,（J）,1. 万有引力的功,两个质点之间在万有引力作用下相对运动时 ，以M 所在处为原点, M 指向m 的方向为矢径的正方向。m 受的引力方向与矢径方向相反。,可见：万有引力作功也与路径无关，只与始末位置有关。,1.5.2.2 保守力与非保守力,万有引力、重力、弹性力、摩擦力作功的特点,2.重力的功,元功：,G,或：,在重力场中物体沿任一闭合路径运动一

5、周时，重力作功为零。,3、弹性力作功,弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点所经过的路径无关。,例 图中有一固定在天花板上的竖直弹簧。当下端挂一重物 m 时，平衡位置在 O 点。一般我们都是把平衡位置O 点作为原点建立坐标系。求重物的位置由图中 y1 移到 y2 的过程中，重力和弹力对它做的功。设弹簧的劲度系数为 k 。,解：一维运动，以正负表示物理矢量的方向。,重力作正功为,弹性力做负功为,4. 摩擦力的功,在这个过程中所作的功为,摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经的路径有关 。,摩擦力方向始终与质点速度方向相反,结论,摩擦力,例 质量 m=15kg的物体在恒力 作

6、用下，以匀速v=5m/s上坡，物体与坡面的磨擦系数 =0.2。 坡的坡度( tan ) 为0.1 求（1）1分钟内作用于物体各力所作的功 （2）合力的功 （3）力F 的功率,解：分析力：,匀速运动，合力为零：,近似值：,1分钟内物体移动距离 S=605=300m。,（1）力F 的功：,重力的功：,摩擦力的功：,支持力N 的功：,（2）合力的功：,（3）力 F 的功率：,1、保守力与非保守力,保守力：作功只与初始和终了位置有关而与路径无关这一特点的力万有引力、重力、弹性力 非保守力：作功与路径有关的力摩擦力,2、保守力作功的数学表达式,物体沿任意闭合路径运行一周时，保守力对它所作的功为零。 保守

7、力作功与路径无关和保守力沿任意路径一周所的功为零保守力的判据,小 结,质点的动能定理：合外力对物体作功等于物体动能的增量,dr,va,vb,f,a,b,说明：力对空间的积累是使质点的动能改变的原因。,1.5.2.3 质点的动能定理（kinetic energy theorem）,由功的定义,说明：,1 功反映力的空间累积，动能定理是关于过程的规律；,2 功是物体在某过程中能量改变的一种量度，过程量A可用状态量EK 表示，为解决问题提供方便。,4 功与动能的大小与参照系有关，但动能定理与参照系的选择无关。,3 动能定理只适用于惯性系。,一轻弹簧的劲度系数为k =100N/m，用手推一质量 m =

8、0.1 kg 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处, 如图所示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。,放手后，物体运动到 x 1 处和弹簧分离。在整个过程中，,解,例1,物体与水平面间的滑动摩擦系数。,求,摩擦力作功,弹簧弹性力作功,根据动能定理有,例 质量为 m=2kg的质点，沿 x轴由静止出发作直线运动，受力,解：,（一维, 用矢量分量表示）,由动能定理：,是否可直接用功定义：,但需要统一积分变量, 将变量 t 换成 x .,求：前 3 秒内力作功为多少？,例2 质量为 m 的质点在外力作用下，其运动方程为,式中A、B、 都是正的常量求外力在 t=0到t=/(2)

9、这段时间内所作的功.,解：题中外力即质点所受合外力,例3 质量 m2 kg 的物体沿 x 轴作直线运动，所受合外力 F106x2 (SI)如果在 x=0 处时速度 v00；试求该物体运动到 x4 m 处时速度的大小,168,解：用动能定理，对物体,解出 v13m/s,例题：如图，物体的质量为 m，弹簧的劲度系数 k，A 板及弹簧质量均可忽略不计，求自弹簧原长O 处，突然无初速的加上物体时，弹簧的最大压缩量。,解：以物体为研究对象,重力功,弹力功,例. 质量为 m 的一艘宇宙飞船关闭发动机返回地球时，可认为该飞船只在地球的引力场中运动已知地球质量为 M，万有引力恒量为 G，则当它从距地球中心 R

10、1 处下降到 R2 处时，飞船增加的动能应等于,(A),(B),(C),(D),(E), C , D ,例. 光滑水平地面上放着一辆小车，车上左端放着一只箱子，今用同样的水平恒力拉箱子，使它由小车的左端达到右端，一次小车被固定在水平地面上，另一次小车没有固定试以水平地面为参照系，判断下列结论中正确的是 （A) 在两种情况下，同样的水平恒力做的功相等 （B) 在两种情况下，摩擦力对箱子做的功相等 （C) 在两种情况下，箱子获得的动能相等 （D) 在两种情况下，以上结论都不对。,质点：m1 ， m2,内力：,初速度：,外力：,末速度：,两式相加得：,1.5.2.4 质点系的动能定理,即：外力的功之

11、和内力的功之和 系统末动能系统初动能,记作：A外A内EKB - EKA,所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增量。,现在的对象是质点系而不是质点。,例如：爆炸，人的跑步。都是内力做功,4、合外力之功外力之功的和,5、内力能改变系统的总动能，但不改变系统的动量,6、功和动能与参照系的选择有关，但动能定理与参照系的选择无关，是绝对的。,说明： 1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的动能。 2、EK 为动能的增量，增量可正可负， 视功的正负 而变。 3、动能是质点因运动而具有的做功本领。,一对力作功与参考系选择无关。,内力（成对）是否作功由是否发生相对位移来判断。一对内

12、力之和为零，但内力做功不一定为零。,（一对力）, 一对相互作用力的功,或者,所以计算一对内力的功，可以把一个质点看作静止，以它为坐标原点，计算另一个质点在此坐标系中受力所做的功。,讨 论,(1) 内力和为零,内力功的和是否为零？,不一定为零,(2) 内力的功也能改变系统的动能,例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转 化为弹片的动能。,例：有一面为 1/4 凹圆柱面（半径 R）的物体（质量 M）放置在光滑水平面，一小球（质量 m），从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落 （如图），小球从水平方 向离开大物体时速度 v ， 求：内力所做的功。,对 M, m 分别用质点的动量定理：,解：重力只对小

13、球做功,水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒：,这一对内力与相对位移总垂直，故这一对内力所做的功总和为零。,对 m，内力所做的功,对 M，内力所做的功,1.5.2.5 质点系的势能（potential energy）,在保守力场（在任意点受保守力的作用），质点从 b-a，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个只与位置有关的标量函数，b点的函数值减去a点的函数值，定义为从 b -a 保守力所做的功，该函数就是系统的势函数，用Ep表示。,说明： 1. 只要有保守力，就可引入相应的势能，势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。,一. 势能的引入,地球与物体 m 共同拥有,2.

14、计算势能必须规定势能零点。质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。,功是能量改变的量度，保守力所做的功必定等于该系统由位置决定的能量的变化。所以等式左边系统的势函数叫做势能。即 这种由位置决定的能量称为系统的势能。,3. 势能差与势能零点选取无关势能是质点间相对位置的单值函数。 4. 势能具有相对性，与势能零点的选取有关.,万有引力势能：,一般选无穷远处为万有引力势能零点。,注意：如果另选势能零点，则势能的值就不能用上式来计算了。,万有引力的功,重力的功,重力势能,h 相对于势能零点的位置-以物体在地面为势能零点）,弹性力的功,弹性力势能：,一

15、般选择弹簧原长处为零势能位置。,保守力作功 = 势能增量的负值。,保守力作功 = 势能减少,令,例：一弹簧原长为 R ,劲度系数为 k ,其一端固定半径为 R 的半圆环一端 A 处,另一端和一套环相连,在把小环由半圆中点 B 移到另一端点 C 的过程中,弹簧的拉力对小环所作的功。,解:弹簧拉力是保守力,保守力做功为势能增量的负值,保守力沿某一给定的 l 方向的分量等于与此保守力相应的势能函数沿 l 方向的空间变化率。,若势能为EP（x,y,z),二. 由势能求保守力,1.5.2.6 质点系的机械能守恒定律,内力分为两部分,注意： 1 判断内力或外力与所选择的系统有关 2 A外是作用于各物体的外

16、力作功之和，而不是合外力的功 3 避免保守内力作功 A内保 与势能 EP 重复计算,机械能,由功能原理：,当：,如果一个系统内只有保守力作功，其它内力和一切外力都不作功；或者它们的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能总值保持不变。 机械能守恒定律,机械能增量,机械能守恒定律,说明,(1) 守恒定律是对一个系统而言的,(2) 守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态,(3) “只有保守力作功”：1）外力不作功，系统内外无能 量交换；2）非保守力不作功：系统内不发生机械能 与其它形式的能量转化；,(4) 守恒：系统的动能和势能可相互转化，但二者之和 在全过程中应时刻保持不

17、变,把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度,解,例,物体从地面飞行到与地心相距 nRe 处经历的时间。,求,发射出去，阻力忽略不计，,把地球和物体看作一个系统，根据机械能守恒定律,用弹簧连接两个木板 m1 、m2 ，弹簧压缩 x0 。,解,整个过程只有保守力作功，机械能守恒,例,给 m2 上加多大的压力能使 m1 离开桌面？,求,例：质量为m的小珠子系在长为L的细线的一端， 细线的另一端固定。起始线与小珠子水平静 止，当珠子自由下摆角时小珠子的速率是 多少？,质点动能定理：,功能原理 m+地球：,机械能守恒 m+地球：,解2：牛顿定律求解,切向：, C ,例. 考虑下列四个实例你认为哪

18、一个实例中物体和地球构成的系统的机械能不守恒? (A) 物体作圆锥摆运动 (B) 抛出的铁饼作斜抛运动（不计空气阻力 (C) 物体在拉力作用下沿光滑斜面匀速上升 (D) 物体在光滑斜面上自由滑下,例. 如图所示，一个小球先后两次从 P 点由静止开始，分别沿着光滑的固定斜面 l1 和圆弧面 l2 下滑则小球滑到两面的底端 Q 时的 (A) 动量相同，动能也相同 (B) 动量相同，动能不同 (C) 动量不同，动能也不同 (D) 动量不同，动能相同, D ,德国物理学家和生理学家于1874年发表了论力(现称能量)守恒的演讲，首先系统地以数学方式阐述了自然界各种运动形式之间都遵守能量守恒这条规律是能量

19、守恒定律的创立者之一,亥姆霍兹 (18211894),能量守恒定律：对一个与自然界无任何联系的系统来说, 系统内各种形式的能量可以相互转换，但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭,（1）生产实践和科学实验的经验总结； （2）能量是系统状态的函数； （3）系统能量不变，但各种能量形式可以互相转化； （4）能量的变化常用功来量度,下列各物理量中，与参照系有关的物理量是哪些？（不考虑相对论效应） (1) 质量 (2)动量 (3) 冲量 (4) 动能 (5)势能 (6)功,答动量、动能、功,例 一水平放置的轻弹簧，劲度系数为 k，其一端固定，另一端系一质量为 m 的滑块 A，A 旁又有一质量相同的滑块 B，如图所示设两滑块与桌面间无摩擦若用外力将A、B一起推压使弹簧压缩量为 d 而静止，然后撤消外力，则 B 离开时的速度为,解:取弹簧和物体为系统,撤消外力后,系统机械能守恒.,当开始减速时 B 将离开，此时弹簧正处于无形变状态,小结,功与功率,质点的动能定理,万有引力、重力、弹性力作功的特点,势能,质点系的动能定理,质点系的功能原理,机械能守恒定律,例5 如图所示，劲度系数为 k 的弹簧，一端固定在墙壁上，另一端连一质量为 m 的物体，物体在坐标原点 O时弹簧长度为原长物体与桌面间的摩擦系数为 若物体在不变的外力 F 作用下向右移动，求物体