1.6 回顾与思考.ppt

1、3.三角函数的有关计算,沈阳南昌中学九年级,九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系,在RtABC中，C为直角，A、B为锐角， 它们所对的边分别为c 、a、b ，其中除直角c 外， 其余的5个元素之间有以下关系：, 三边之间的关系：, 锐角之间的关系：, 边角之间的关系：,在RtABC中，C=90：,已知A、 c, 则a=_;b=_。,已知A、 b, 则a=_;c=_。,已知A、 a，则b=_;c=_。,已知a、b，则c=_。,已知a、c，则b=_ 。,已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦； 求邻边，用锐角的余弦。,已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切； 求斜边，用锐角的余弦。,已知一

2、锐角、对边，求邻边，用锐角的余切； 求斜边，用锐角的正弦。,单元知识网络,直角三角形的边角关系,解直 角三角形,知一边一锐角解直角三角形,知两边解直角三角形,添设辅助线解直角三角形,知斜边一锐角解直角三角形,知一直角边一锐角解直角三角形,知两直角边解直角三角形,知一斜边一直角边解直角三角形,实际应用,抽象出图形，再添设辅助线求解,直接抽象出直角三角形,解直角三角形,目标一,目标二,目标三,1在下列直角三角形中，不能解的是（ ） A 已知一直角边和所对的角 B 已知两个锐角 C 已知斜边和一个锐角 D 已知两直角边,2在ABC中，C=90，根据下列条件解这个直角三角形。,A=600，斜边上的高C

3、D= ；,A=600，a+b=3+,达标练习一,B,75,A,B,C,D,450,如图，在ABC中，已知AC=6，C=75， B=45，求ABC的面积。,达标练习二,60,6,E,1、 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为565米，如果这辆坦克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？,达标练习三,2、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域。如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间的距离为160海里，海岸线是过A、B的一条直线。一外国船只在P点，在A点测得BAP=450，同时在B点测得ABP=600，问此时

4、是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.,C,6.一个人先爬了一段45o的山坡300m后，又爬了一段60o的山坡200m，恰好到达山顶。你能计算出山的高度吗？,A,B,C,D,300m,200m,解：过B作BECD于E，BFAD于F.,在RtABF中，A45 BFABsin45=150,在RtABF中,CBE60 CEBCsin60=100,山高(150 100 )m,7.热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30,看这栋高楼底部的俯角为60,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?,=30,=60,120,A,B,C,D,解；在RtABD中，BAD30 BDADta

5、n30=40,在RtACD中,CAD60 CDADtan60=60,山高100 m,BCBD+CD100,3、 山顶上有一旗杆，在地面上一点A处测得杆顶B的俯角 =600，杆底C的俯角 =450，已知旗杆高BC=20米，求山高CD。,在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.,1.解直角三角形,(1)三边之间的关系:,a2b2c2（勾股定理）；,2.解直角三角形的依据,(2)两锐角之间的关系:, A B 90；,(3)边角之间的关系:,知识回顾,(必有一边),感悟：利用解直角三角形的知识解决实际问题 的一般步骤:,1.将实际问题抽象为数学问题;,(画出平面图形

6、,转化为解直角三角形的问题),2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形;,3.得到数学问题的答案;,4.得到实际问题的答案.,(有“弦”用“弦”; 无“弦”用“切”),已知斜边求直边，,已知直边求直边，,已知两边求一边，,已知两边求一角，,已知直边求斜边，,计算方法要选择，,正弦余弦很方便；,运用正切理当然；,函数关系要选好；,勾股定理最方便；,用除还需正余弦；,能用乘法不用除.,优选关系式,a,b,c,问题：如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30方向8km处，位于景点B的正北方向，还

7、位于景点C的北偏西75方向上.已知AB=5km.(1)景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(结果精确到0.1km) (2)求景点C与景点D之间的距离.(结果精确到1km),(参考数据：,=1.73，,(参考数据： =1.73, =2.24，sin53=cos37=0.80，sin37=0.60 cos53=0.60，tan53=1.33，tan37=0.75，sin38=cos52=0.62，sin52=cos38=0.79，tan38=0.78，tan52=1.28，sin75=0.97，cos75=0.26，tan75=3.73.),解直

8、角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解.,温馨提示,怎样解决一般三角形中的问题呢？,问题:如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？,学以致用,1,2,10,10,F,如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A

9、的什么方向？,解：过点C作CD AB,垂足为D,10,5,10,F,灯塔B在观察站A北偏西45的方向, B=45,sinB =,CD=,BCsinB=,10sin45=,10 =,在RtDAC中， sin DAC=, DAC=30,CAF=,BAF -DAC=,45-30=15,45,45,灯塔C处在观察站A的北偏西15的方向,如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？,解：过点A作AEBC，垂足为E,10,10,设CE=x,在RtBAE中，BAE=45 AE=

10、BE=10+x,在RtCAE中，AE2+CE2=AC2,x2+(10+x)2=(10)2,即：x2+10 x-50=0,(舍去),灯塔C处在观察站A的北偏西15 的方向,sin CAE=,CAE15,45,巩固练习,建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60,观察底部B的仰角为45,求旗杆的高度(精确到0.1m),40,(课本17页),在山脚C处测得山顶A的仰角为45问题如下: 沿着水平地面向前300米到达D点在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB.,D,巩固练习,1.,准确计算,2. cos230cos260tan45,解：,原式,1,猜一猜,这座古塔

11、有多高,你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗?,A,B,1,2,小明在A处仰望塔顶,测得1的大小为,再往塔的方向前进50m到B处,又测得2的大小为,根据这些他就求出了塔的高度.,你会做的吗,解：在RtACD中,BDA45 CD=AD, AD2 +2,体会这两个图形的“模型”作用.将会助你登上希望的峰顶.,典型题2.如图,D90,B=30, ACD=45,BC=4cm,求AD.,A,B,C,45,30,4,D,BD= AD,在RtABD中，B30 tan30=,BDCD=BC, 即 ADAD4,x,x,x,典型题1 . 如图，ABC中，B=45，C=30，AB=2，求AC的长.,解：过A作A

12、DBC于D， 在Rt ABD中,B=45,AB=2，,D,45,30,2,AD=ABsinB,sinB =,在RtACD中，C=30,=2sin45=,AC=2AD =,问题：海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？,B,A,D,F,60,12,30,解：过A作AFBD于F.设AFx海里 在RtABF中,BAF60, x=6 8,在RtADF中，DAF30 DF=AFtan30= x,BFDF=BD ，即,没有触礁的危险,

13、BF=AFtan60 x,x,问题：如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75方向上.已知AB=5km.(1)景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(结果精确到0.1km) (2)求景点C与景点D之间的距离.(结果精确到1km),(参考数据：,=1.73，,(参考数据： =1.73, =2.24，sin53=cos37=0.80，sin37=0.60 cos53=0.60，tan53=1.33，ta

14、n37=0.75，sin38=cos52=0.62，sin52=cos38=0.79，tan38=0.78，tan52=1.28，sin75=0.97，cos75=0.26，tan75=3.73.),解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解.,温馨提示,怎样解决一般三角形中的问题呢？,巩固练习,建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60,观察底部B的仰角为45,求旗杆的高度(精确到0.1m),40,(课本17页),在山脚C处测得

15、山顶A的仰角为45问题如下: 沿着水平地面向前300米到达D点在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB.,D,巩固练习,练一练,1.在Rt ABC中，C90，已知a， A的值，则c的值为 A. atanA B. asinA C. D. （ ） 2.在Rt ABC中，C90，已知 ，BC6， 则AC ，AB . 3.在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形； (1) A45, a= 3; (2) c=8,b=4;,思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元素呢？,D,8,10,一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素（其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解

16、.,2009沈阳中考 16如图，市政府准备修建一座高AB6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角ACB的正 弦值为 ，则坡面AC的长度为 m,2008沈阳中考 14如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD， BCAD，迎水坡AB长13米，且tanBAE ，则河堤的高BE为 米,再见,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角一般要满足50 75.现有一个长6m的梯子.问:,(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的平房?(精确到0.1m),这个问题归结为: 在RtABC中,已知A= 75,斜边AB=6,求BC的长,角越大,攀上的高度就越高.,你能解决吗?,要想使人安全

17、地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角一般要满足50 75.现有一个长6m的梯子.问:,(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角等于多少(精确到1)?这时人能否安全使用这个梯子?,这个问题归结为: 在RtABC中,已知AC=2.4m,斜边AB=6, ,求锐角的度数?,你能解决吗?,角是否在50 75内,例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a22， 求电线杆AB的高（精确到0.1米）,1.20,22.7,知识应用,仰角和俯角,铅直线,水平线,视线,视线,仰角,俯角,在进行测量时， 从下向上看，

18、视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.,介绍:,例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a22， 求电线杆AB的高（精确到0.1米）,1.20,22.7,22,知识应用,E,例2:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30,看这栋高楼底部的俯角为60,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?,=30,=60,120,A,B,C,D,巩固练习,建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50,观察底部B的仰角为45,求旗杆的高度(精确到0.1m),40,(课本93页),例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）,65,34,P,B,C,A,指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30 点B在点O的南偏西45（西南方向）,方位角,介绍:,例3.